縦，横，斜めのどの列を合計しても同じ数になるように、異なる数を並べたものを魔方陣といいます。
ここでは，１から９までのすべての自然数を１回ずつ使って９マスの魔方陣をつくっていきます。
縦，横，斜めの３つの数字の合計の値を求める
それぞれのマスに右の図のようにＡからＩの名前をつけます。
１から９の合計は４５なので，次の式が成り立ちます。
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝４５ ･･･ （１）
また，縦，横，斜めの３つの数字の和はどこでも等しいので，
Ａ＋Ｂ＋Ｃ ＝ Ｄ＋Ｅ＋Ｆ ＝ Ｇ＋Ｈ＋Ｉ ･･･ （２）
（１）に（２）を代入すると，
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝４５
(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)＋(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)＋(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)＝４５
３(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)＝４５
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１５
よって，縦，横，斜めの３つの数字の合計は１５になります。
中央の数字を求める
次に右の図のように，縦，横，斜めの３つの数字をすべて足すと，
縦１列，横１列，斜め２列の合計４列分の和で６０になります。
(Ｂ＋Ｅ＋Ｈ)＋(Ｄ＋Ｅ＋Ｆ)＋(Ａ＋Ｅ＋Ｉ)＋(Ｃ＋Ｅ＋Ｇ)＝６０
(Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＋Ｉ)＋３Ｅ＝６０
４５＋３Ｅ＝６０
３Ｅ＝１５
Ｅ＝５
よって，中央の数字は５になります。
残りの８マスを埋めていく
ここまでで
・縦，横，斜めの３つの数字の和は１５
・中央の数字は５
であることがわかったので，
Ａ＋Ｉ ＝ Ｂ＋Ｈ ＝ Ｃ＋Ｇ ＝ Ｄ＋Ｆ ＝１０
となります。
１，２，３，４，６，７，８，９ の数字の中で，和が１０となるような２つの数字の組み合わせは，
(１，９)，(２，８)，(３，７)，(４，６) となります。
ここまでできれば，４つの組み合わせを順番にあてはめていけば魔方陣を完成させることができます。
Ａ＝１，Ｉ＝９の場合を試してみる
Ａ＝１，Ｉ＝９となるとき，Ｃ＋Ｆ＋９＝１５，Ｇ＋Ｈ＋９＝１５ と
なります。ＦとＨには２以上の自然数が入るので，ＣとＧはどちらも４以下でなければなりません。しかし，先程の組み合わせの中にどちらも５以下になる組み合わせはありません。
よって，Ａ＝１，Ｉ＝９は成立しません。
Ａ＝２，Ｉ＝８の場合を試してみる
Ａ＝２，Ｉ＝８となるとき，Ｃ＋Ｆ＋８＝１５，Ｇ＋Ｈ＋８＝１５ と
なります。ＦとＨには１以上の自然数が入るので，ＣとＧはどちらも６以下でなければなりません。先程の組み合わせの中でどちらも６以下になる組み合わせは (４，６) になります。
Ｃ＝４，Ｇ＝６となるとき，４＋Ｆ＋８＝１５，６＋Ｈ＋８＝１５ なので，Ｆ＝３，Ｈ＝１となります。
Ｆ＝３，Ｈ＝１となるとき，Ｂ＋５＋１＝１５，Ｄ＋５＋３＝１５ なので，Ｂ＝９，Ｄ＝７となります。
これで，魔方陣が完成しました。
一応，Ａ＝３，Ｉ＝７の場合を試してみる
Ａ＝３，Ｉ＝７となるとき，Ｃ＋Ｆ＋７＝１５，Ｇ＋Ｈ＋７＝１５ と
なります。ＦとＨには１以上の自然数が入るので，ＣとＧはどちらも７以下でなければなりません。先程の組み合わせの中でどちらも７以下になる組み合わせは (４，６) になります。
Ｃ＝４，Ｇ＝６となるとき，３＋Ｄ＋６＝１５ となるので，Ｄ＝６となり，６を２回使うことになり，１から９までのすべての自然数を１回ずつ使うという条件を満たしません。
よって，Ａ＝３，Ｉ＝７は成立しません。
このようにすることで，条件の絞り込みをして効率よく魔方陣を完成させることができます。
