問題
右の図のような長方形ＡＢＣＤの辺上を点Ａからスタートし，
点Ｄまで毎秒 \(2 cm\) ずつ動く点Ｐがある。
\(x\) 秒後の△ＡＤＰの面積を \(y cm^2\) とするとき，
次の各問いに答えなさい。
（１） ２秒後の△ＡＤＰの面積を求めなさい。
（２） 点Ｐが次の辺上にあるとき， \(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
① ＡＢ ② ＢＣ ③ ＣＤ
（３） △ＡＤＰの面積が \(30 cm^2\) になるとき， \(x\) の値を求めなさい。
解説
２秒後の△ＡＤＰの面積を求めなさい。
点Ｐ は毎秒\(2 cm\)ずつ動くので、
２秒後には点Ａから \(4 cm\) の位置にあります。
よって、△ＡＤＰの面積は，
△ＡＤＰ＝\(12\:✕\:4\:✕\:\cfrac{1}{2}\)
＝\(24\)
より \(24 cm^2\) になります。
点Ｐが各辺上にあるとき，\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
辺ＡＢ上にある場合
時間ごとに長さが変化しない辺ＡＤを基準にすると、
点Ｐが辺ＡＢ上を動いている間は、
△ＡＤＰの高さが時間ごとに増えていきます。
高さが増える割合は毎秒 \(2 cm\) なので，
\(x\) 秒後の△ＡＤＰの高さは \(2x\) と表すことができます。
よって、\(x\) と \(y\) の関係は，
\(y\) ＝ＡＤ✕ＡＰ✕\(\cfrac{1}{2}\)
＝\(12\) ✕ \(2x\) ✕ \(\cfrac{1}{2}\)
＝\(12x\)
となります。
辺ＢＣ上にある場合
点Ｐが点Ｂの位置に来たときの△ＡＤＰの面積は、
△ＡＢＰ＝ＡＤ✕ＡＢ✕\(\cfrac{1}{2}\)
＝\(12\) ✕\(6\)✕\(\cfrac{1}{2}\)
＝\(36\)
になります。
点Ｂから点Ｃまでの間は、点Ｐは辺ＡＤと平行に動くので，△ＡＤＰの高さは変わりません。
つまり，△ＡＤＰの底辺と高さがともに変わらないので，面積も変わりません。
よって，\(x\) と \(y\) の関係は，
\(y＝36\)
となります。
辺ＣＤ上にある場合
点Ｐが辺ＣＤ上を動いている間は、辺ＡＢの場合とは逆に毎秒 \(2 cm\) の割合で
△ＡＤＰの高さが減っていきます。
点Ｐが点Ｃの位置に来るのは、
(ＡＢ＋ＢＣ) ÷ ２(cm/秒) ＝\((6＋12) \)÷\(2\)
＝\(9\)
より，９秒後です。
また，このときの△ＡＤＰの面積は，\(y＝36 cm^2\) です。
次に，点Ｐが点Ｄの位置に来るのは、
(ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ) ÷ ２(cm/秒) ＝\((6＋12＋6) \)÷\(2\)
＝\(12\)
より，１２秒後です。
また，このときの△ＡＤＰの面積は，\(y＝0 cm^2\) です。
よって，ＣＤ間の直線の式を \(y=ax+b\) とすると，点Ｃ(９，３６)，点Ｄ(１２，０)を通るので、
\(36=9a+b\)
\(0=12a+b\)
これを解くと、\(a=-12\)，\(b=144\)
よって，\(x\) と \(y\) の関係は，
\(y=-12x+144\)
になります。
△ＡＤＰ＝\(30 cm^2\) になるとき，\(x\) の値を求めなさい。
右のグラフのとおり，△ＡＤＰの面接が \(30 cm^2\) になるのは、点Ｐが辺ＡＢ上にあるときと辺ＣＤ上にあるときの２つの場合があります。
辺ＡＢ上のとき
\(y=12x\) と \(y=30\) の交点にあたるので、
\(12x=30\)
\(x=\cfrac{5}{2}\)
辺ＣＤ上のとき
\(y=-12x+144\) と \(y=30\) の交点にあたるので、
\(-12x+144=30\)
\(x=\cfrac{19}{2}\)
となります。
