問題
曲線 \(y=\cfrac{3}{x}\) と２直線 \(y=3x\) ，\(y=\cfrac{1}{12}x\) がある。
図のように \(x≧0\) において、それぞれの直線と曲線の交わる点をＰ、Ｑとする。
このとき、次の問いに答えなさい。
１．点Ｐと点Ｑの座標を求めなさい。
２．点Ｐと点Ｑを通る直線の式を求めなさい。
３．△ＯＰＱの面積を求めなさい。
４．点Ｑを通り，△ＯＰＱの面積を二等分する直線の式を求めなさい。
解説
点Ｐと点Ｑの座標を求めなさい。
点Ｐの座標を求める
点Ｐは \(y=\cfrac{3}{x}\) と \(y=3x\) の交点なので、
この２つの式を連立方程式にして解くことで、点Ｐの座標を求めることができます。
\(\left\{
\begin{array}{}
y=\cfrac{3}{x} ・・・ （1）\\
y=3x ・・・ （2）\\
\end{array}
\right.\)
\(\cfrac{3}{x}=3x\)
\(3=3x^2\)
\(x^2=1\)
\(x=±1\)
これを解くと、\(x=±1\) となりますが、問題に \(x≧0\) という条件があるので、
\(x=1\)となります。
これを \(y=3x\) に代入すると， \(y=3\) となり、点Ｐの座標は（\( 1\;,\;3 \) ）になります。
点Ｑの座標を求める
同様に、点Ｑは \(y=\cfrac{3}{x}\) と \(y=\cfrac{1}{12}x\) の交点なので、
この２つの式を連立方程式にして解くことで、点Ｑの座標を求めることができます。
\(\left\{
\begin{array}{}
y=\cfrac{3}{x} ・・・ （1）\\
y=\cfrac{1}{12}x ・・・ （3）\\
\end{array}
\right.\)
\(\cfrac{3}{x}=\cfrac{1}{12}x\)
\(36=x^2\)
\(x=±6\)
これを解くと、\(x=±6\) となりますが、問題に \(x≧0\) という条件があるので、
\(x=6\)となります。
これを \(y=\cfrac{3}{x}\) に代入すると， \(y=\cfrac{1}{2}\) となり、点Ｑの座標は（\(6\;,\; \cfrac{1}{2}\)）になります。
点Ｐと点Ｑを通る直線の式を求めなさい
点Ｐと点Ｑを通る直線の式を \(y=ax+b\) とします。
傾き \(a\) を求める
傾き \(a\) ＝ \(\dfrac{yの増加量}{xの増加量}\) で表されるので、
\(a\) ＝ \((\cfrac{1}{2}-3)÷(6-1)\)
＝\(-\cfrac{5}{2}÷5\)
＝\(-\cfrac{1}{2}\)
これを代入すると、\(y=-\cfrac{1}{2}x+b\) となります。
また、ここに点Ｐの座標 (\( 1\;,\;3 \) )を代入すると、
\(y=-\cfrac{1}{2}x+b\)
\(3=-\cfrac{1}{2}\;✕\;1+b\)
\(3=-\cfrac{1}{2}+b\)
\(b=\cfrac{7}{2}\)
よって、求める直線の式は \(y=-\cfrac{1}{2}x+\cfrac{7}{2}\) になります。
△ＯＰＱの面積を求めなさい。
△ＯＰＱの面積は普通に求めると，とても時間がかかります。
そこで、点Ｐを通り，\(y\) 軸に平行な直線を引き，
直線 \(y=\cfrac{1}{12}x\) との交点をＲとします。
すると，△ＯＰＱは△ＯＰＲと△ＰＱＲに分かれます。
このとき，線分ＱＲを底辺と考えると，それぞれの三角形の高さを点Ｐと点Ｑの \(x\) 座標
から求めることができます。
△ＯＰＲの高さ＝点Ｐの \(x\) 座標－原点Ｏの \(x\) 座標＝１
△ＰＱＲの高さ＝点Ｑの \(x\) 座標－点Ｐの \(x\) 座標＝５
同様に，底辺ＰＲの長さは，点Ｐの \(y\) 座標と点Ｒの\(y\) 座標から求められます。
これを求めるために、まず点Ｒの座標を求めます。
点Ｒは， \(y=\cfrac{1}{12}x\) 上の点で，\(x=1\) の点なので、
\(y=\cfrac{1}{12}x\)
\(y=\cfrac{1}{12}✕1\)
\(y=\cfrac{1}{12}\)
よって、
ＰＲの長さ＝点Ｐの \(y\) 座標－点Ｒの\(y\) 座標＝\(\cfrac{35}{12}\)
以上より△ＯＰＱの面積は，
△ＯＰＱの面積＝(ＰＲの長さ ✕ △ＯＰＲの高さ +ＰＲの長さ ✕ △ＰＱＲの高さ ) ✕ \(\cfrac{1}{2}\)
＝\((\cfrac{35}{12}\:✕\:1+\cfrac{35}{12}\:✕\:5)\:✕\:\cfrac{1}{2}\)
＝\((\cfrac{35}{12}+\cfrac{175}{12})\:✕\:\cfrac{1}{2}\)
＝\(\cfrac{210}{12}\:✕\:\cfrac{1}{2}\)
＝\(\cfrac{35}{4}\)
となります。
点Ｑを通り，△ＯＰＱの面積を二等分する直線の式を求めなさい。
点Ｏ，点Ｐ，点Ｑ の位置は変わらないので，
求める直線は線分ＰＱの中点を通ります。
この点をＳとすると，Ｓの座標は，
Ｓの\(x\)座標＝(点Ｐの\(x\)座標－原点Ｏの\(x\)座標)÷\(2\)
＝\(\dfrac{1}{2}\)
Ｓの\(y\)座標＝(点Ｐの\(y\)座標－原点Ｏの\(y\)座標)÷\(2\)
＝\(\dfrac{3}{2}\)
よって，点Ｓ，点Ｑを通る直線の式 \(y=ax+b\) は，
傾き \(a\) ＝ \(\dfrac{yの増加量}{xの増加量}\) で表されるので、
\(a\) ＝ \((\cfrac{1}{2}-\cfrac{3}{2})÷(6-\cfrac{1}{2})\)
＝\(-1÷\cfrac{11}{2}\)
＝\(-\cfrac{2}{11}\)
これを代入すると、\(y=-\cfrac{2}{11}x+b\) となります。
また、ここに点Ｐの座標 (\( 6\;,\;\cfrac{1}{2} \) )を代入すると、
\(y=-\cfrac{2}{11}x+b\)
\(\cfrac{1}{2}=-\cfrac{2}{11}\;✕\;6+b\)
\(\cfrac{1}{2}=-\cfrac{12}{11}+b\)
\(b=\cfrac{35}{22}\)
よって、求める直線の式は \(y=-\cfrac{2}{11}x+\cfrac{35}{22}\) になります。
