問題
右の図で，曲線は関数 \(y＝\dfrac{a}{x}\;(a>0)\)のグラフであり，点Ｏは原点である。３点Ａ，Ｂ，Ｐは曲線上の点であり，その座標は（２，３），（－２，－３），（６，１）である。
このとき，次の問いに答えなさい。
（１） \(a\) の値を求めなさい。
（２） 線分ＢＰと \(x\) 軸の交点をＣとし，線分ＡＢ上に点Ｄをとる。
△ＢＣＤの面積と四角形ＡＤＣＰの面積が等しくなるとき，点Ｄの座標を求めなさい。
解説
\(a\) の値を求めなさい。
３点Ａ，Ｂ，Ｐは曲線上の点なので，
関数 \(y = \dfrac{a}{x} \) にそれぞれの座標を示す\(x\) と \(y\) の値を代入したときに
方程式が成り立ちます。
よって，関数 \(y = \dfrac{a}{x} \) \( x＝2 \) と \(y=3 \)を代入すると，
\(y＝\cfrac{a}{x}\)
\(3＝\cfrac{a}{2}\)
\(a＝2\,✕\,3\)
\(a＝6\)
となります。
反比例の式は \(y=\dfrac{a}{x}\) で表されますので，この方程式を変形すると，。
\(y=\dfrac{a}{x}\)
\( xy = a\)
つまり，曲線上の点はすべて \( x \) 座標と \( y \) 座標の積が一定の値（ \( a \) ）になります。
△ＢＣＤの面積と四角形ＡＤＣＰの面積が等しくなるＤの座標は？
解答の方針
四角形ＡＤＣＰは，平行四辺形や長方形などの面積を求めやすい形にはなっていないので，計算で求めるのは難しいです。
そこで，少し広い範囲を見ていくと，
△ＡＢＰは△ＢＣＤと四角形ＡＤＣＰをくっつけたものになっています。
ということは，△ＢＣＤの面積と四角形ＡＤＣＰの面積が等しいとき,
△ＡＢＰ＝２✕△ＢＣＤ
の関係が成り立ちます。
以上より，△ＡＢＰ＝２✕△ＢＣＤになるときの
Ｄの座標を求めることにします。
△ＢＣＤ＝四角形ＡＤＣＰのとき、
△ＡＢＰ＝△ＢＣＤ＋四角形ＡＤＣＰ
＝△ＢＣＤ＋△ＢＣＤ
＝２△ＢＣＤ
直線ＢＰの式を求める
直線ＢＰの式を \(y＝ax＋b\) とすると，
傾き\(a\ ＝\:\cfrac{yの増加量}{xの増加量}\)
\(＝\:\cfrac{1－(－3)}{6－(－2)}\)
\(＝\:\cfrac{4}{8}\)
\(＝\:\cfrac{1}{2}\)
となるので，\(y＝\cfrac{1}{2}x＋b\) に\(x＝6，y＝1\) を代入すると，
\(\ y\,＝\,\cfrac{1}{2}x＋b\)
\(\ 1\,＝\,\cfrac{1}{2}\,✕\,6＋b\)
\(\ 1\,＝\,3＋b\)
\(－2\,＝\,b\)
よって，直線ＢＰの式は，\(y＝\cfrac{1}{2}x－2\) になります。
点Ｃの座標を求める
点Ｃは，直線ＢＰと \(x\) 軸との交点なので，
\(y＝\cfrac{1}{2}x－2\) に \(y＝0\) をすると，
\(y＝\cfrac{1}{2}x－2\)
\(0＝\cfrac{1}{2}x－2\)
\(2＝\cfrac{1}{2}x\)
\(4＝x\)
線分ＢＰの長さを求める
点Ｂを通り \( x \) 軸に平行な線分と点Ｐを通り\( y \) 軸に平行な線分との交点を点Ｑとすると，△ＢＰＱは直角三角形になっています。
このとき，線分ＢＱの長さは \( x \) の増加量，線分ＰＱ の長さは\( y \) の増加量と等しいので，三平方の定理より
ＢＰ２＝ＢＱ２＋ＰＱ２
＝ \(\{6ｰ(ｰ2)\}^2+\{1ｰ(ｰ3)\}^2\)
＝ \(8^2 ＋ 4^2\)
＝ \(80\)
ＢＰ＝ \(4\sqrt{5}\) ・・・（１）
２点を結ぶ線分の長さは三平方の定理を使って，
(求める長さ)2＝(\(x\) の変化量)2＋(\(y\) の変化量)2
で 求めることができます。
線分ＢＣの長さを求める
線分ＢＰの場合と同様に線分ＢＣを求めると，
ＢＣ２＝ＢＲ２＋ＰＲ２
＝\(\{4ｰ(ｰ2)\}^2+\{0ｰ(ｰ3)\}^2\)
＝\(6^2 ＋ 3^2\)
＝\(45\)
ＢＣ＝\(3\sqrt{5}\) ・・・（２）
△ＡＢＰと△ＢＣＤの高さの比を求める
△ＡＢＰの底辺を線分ＢＰ，△ＢＣＤの底辺を線分ＢＣとするときの
△ＡＢＰの高さを \(h\)1，△ＢＣＤの高さを \(h\)2とすると，
△ＡＢＰ＝ＢＰ ✕ \(h\)1 ÷２
＝\(4\sqrt{5}\) ✕ \(h\)1 ÷２
＝\(2\sqrt{5}\) ✕ \(h\)1
△ＢＣＤ＝ＢＣ ✕ \(h\)2 ÷２
＝\(3\sqrt{5}\) ✕ \(h\)2 ÷２
＝\(\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\) ✕ \(h\)2
△ＡＢＰ＝２△ＢＣＤ なので，
\(2\sqrt{5}\) ✕ \(h\)1 ＝ \(2\,✕\,\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\) ✕ \(h\)2
\(2\sqrt{5}\) ✕ \(h\)1 ＝ \(3\sqrt{5}\) ✕ \(h\)2
\(\!2\) ✕ \(h\)1 ＝ \(3\) ✕ \(h\)2
\(\dfrac{2}{3}\,h\)1 ＝ \(h\)2
よって，△ＢＣＤの高さは，△ＡＢＰの高さの\(\cfrac{2}{3}\) になります。
線分ＡＢを１：２に分ける点Ｄの座標を求める
△ＡＢＰの高さが \(\frac{2}{3}\) となる点は，線分ＡＢと線分ＡＰをそれぞれ１：２に分ける２つの点を通る直線上にあります。また，線分ＡＢを１：２に分ける点が点Ｄにあたります。
よって，点Ｄの座標を \((x，y)\) とすると，
点Ｄは，点Ａからの \(x\) 軸方向の変化量が，
\(\{2－(－2)\}\) ✕ \(\dfrac{1}{3}\)＝\(\dfrac{4}{3}\)，
\(y\) 軸方向の変化量が，
\(\{3－(－3)\}\) ✕ \(\dfrac{1}{3}\,＝\,2\)
より，点Ａから \(x\) 軸方向に \(\dfrac{4}{3}\)， \(y\) 軸方向に \(2\) だけ小さい位置にあります。
よって，\(x＝2－\dfrac{4}{3}＝\dfrac{2}{3}\)，\(y＝3－2＝1\)となり，
点Dの座標は \(\dfrac{2}{3}，1\) になります。
