座標平面上の３本の直線で囲まれた三角形の面積の求め方

関数のグラフと図形を組み合わせた問題は，高校入試でよく出ます。

グラフと図形の面積の問題の中でもよく出る，
\(x\)軸または\(y\)軸に平行な辺を持たない三角形の面積
をより簡単に求める方法を紹介します。

ここでは，\(y＝\dfrac{1}{5}x＋5\) と \(y＝2x－13\) と \(y＝-x＋5\) の
３本の直線で囲まれた三角形の面積を求めてみます。

１．頂点Ａ，Ｂ，Ｃの座標を求める
\(y＝-x＋5\) より，点Ａの座標は，Ａ\((0，5)\) です。

点Ｂは \(y＝\dfrac{1}{5}x＋5\) と \(y＝2x－13\) 上の点なので，
この２式を連立方程式として解くと，\(x=10，y＝7\)となります。
よって，Ｂ\((10，7)\) です。

点Ｃは \(y＝-x＋5\) と \(y＝2x－13\) 上の点なので，
この２式を連立方程式として解くと，\(x=6，y＝-1\)となります。
よって，Ｃ\((6，-1)\) です。

２．底辺ＡＣの長さを求める
ここでは，辺ＡＣを底辺とすると，

ＡＣ＝\(\sqrt{(6-0)^2＋\{5-(-1)\}^2}\)
　　＝\(\sqrt{72}\)
　　＝\(6\sqrt{2}\)

３．直線ＢＰの式を求める
点Ｂから辺ＡＣに垂線をひき，交点をＰとします。
このとき，ＡＣ⊥ＢＰなので，

直線ＡＣの傾き × 直線ＢＰの傾き ＝ \(-1\)
\(-1\) × 直線ＢＰの傾き ＝ \(-1\)
直線ＢＰの傾き ＝ \(-1\)

ここで，直線ＢＰの式を \(y=x+b\) とすると，
Ｂ\((10，7)\) を通るので，

\(y=x+b\)
\(7=10+b\)
\(b=-3\)

よって，直線ＢＰの式は \(y=x-3\) となります。

４．点Ｐの座標を求める
点Ｂは \(y＝-x+5\) と \(y＝x－3\) 上の点なので，
この２式を連立方程式として解くと，\(x=4，y=1\)となります。
よって，Ｐ\((4，1)\) です。

５．高さＢＰを求める
　　ＢＰ＝\(\sqrt{(10-4)^2＋(7-1)^2}\)
　　　　＝\(\sqrt{72}\)
　　　　＝\(6\sqrt{2}\)

右の図のように，△ＡＢＣを\(x\)軸に平行な直線で２つの三角形に
分けることで，より簡単に面積を求めることができます。

△ＡＢＣ＝△ＡＢＤ＋△ＡＣＤ

\(y＝-x＋5\) より，点Ａの座標は，Ａ\((0，5)\) です。

点Ｂは \(y＝\dfrac{1}{5}x＋5\) と \(y＝2x－13\) 上の点なので，
この２式を連立方程式として解くと，\(x=10，y＝7\)となります。
よって，Ｂ\((10，7)\) です。

点Ｃは \(y＝-x＋5\) と \(y＝2x－13\) 上の点なので，
この２式を連立方程式として解くと，\(x=6，y＝-1\)となります。
よって，Ｃ\((6，-1)\) です。

点Ａを通り，\(x\)軸に平行な直線をひき，辺ＢＣとの交点をＤとすると，点Ｄは \(y＝5\) と \(y＝2x－13\) 上の点なので，
この２式を連立方程式として解くと，\(x=9\)となります。
よって，Ｄ\((9，5)\) です。

ＡＤを底辺として考えると，

ＡＤ＝Ｄの\(x\)座標－Ａの\(x\)座標
　　＝\(9-0\)
　　＝\(9\)

△ＡＢＤの高さ＝Ｂの\(y\)座標－Ｄの\(y\)座標
　　　　　　　＝\(7-5\)
　　　　　　　＝\(2\)

△ＡＣＤの高さ＝Ｄの\(y\)座標－Ｃの\(y\)座標
　　　　　　　＝\(5-(-1)\)
　　　　　　　＝\(6\)

と表すことができるので，

△ＡＢＤ＝\(9 \times 2 \times \dfrac{1}{2}\)
　　　　＝\(9\; (cm^2)\)

△ＡＣＤ＝\(9 \times 6 \times \dfrac{1}{2}\)
　　　　＝\(27\; (cm^2)\)

同様に，△ＡＢＣを\(y\)軸に平行な直線で２つの三角形に
分ける方法もあります。

△ＡＢＣ＝△ＡＣＥ＋△ＢＣＥ

３点の座標は，Ａ\((0，5)\) ，Ｂ\((10，7)\) ，Ｃ\((6，-1)\) です。

求め方は\(x\)軸に平行な直線の場合と同じなので省略します。

点Ｃを通り，\(y\)軸に平行な直線をひき，辺ＡＢとの交点をＥとすると，点Ｅは \(x＝6\) と \(y＝\dfrac{1}{5}x＋5\) 上の点なので，
この２式を連立方程式として解くと，\(y=\dfrac{31}{5}\)となります。
よって，Ｅ\((6，\dfrac{31}{5})\) です。

ＣＥを底辺として考えると，

ＣＥ＝Ｅの\(y\)座標－Ｃの\(y\)座標
　　＝\(\dfrac{31}{5}-(-1)\)
　　＝\(\dfrac{36}{5}\)

△ＡＣＥの高さ＝Ｅの\(x\)座標－Ａの\(x\)座標
　　　　　　　＝\(6-0\)
　　　　　　　＝\(6\)

△ＢＣＥの高さ＝Ｂの\(x\)座標－Ｅの\(x\)座標
　　　　　　　＝\(10-6\)
　　　　　　　＝\(4\)

と表すことができるので，

△ＡＣＥ＝\(\dfrac{36}{5} \times 6 \times \dfrac{1}{2}\)
　　　　＝\(\dfrac{108}{5}\; (cm^2)\)

△ＢＣＥ＝\(\dfrac{36}{5} \times 4 \times \dfrac{1}{2}\)
　　　　＝\(\dfrac{72}{5}\; (cm^2)\)