秋田県公立高校入試　令和５（2023）年度　解答＆解説

この図形の周囲の長さを右の図のように分けて考えると，
　緑 ･･･ \( 5 \; cm  \times 2 \)本
　青 ･･･ \( (5-a) \; cm \times 4 \)本
　赤 ･･･ \( 5 \; cm  \times 1 \)本 \( +(5-a) \; cm  \times 2 \)本
となっています。

よって，周の長さは，
　　\( 5 \times 2+(5-a)\times 4+{5 \times 1+(5-a)\times 2} \)
　\( =10+(20-4a)+{5+(10-2a)} \)
　\( =45-6a \; (cm) \)

正方形 \( ABCD \) を \( 45° \) 回転移動させると
正方形 \( EFCG \) に重なるということは，
辺 \( BC \) を \( 45° \) 回転させたものが辺 \( FC \) になるので，\( ∠BCF=45° \)

正方形のすべての内角は \( 90° \) なので，
　\( ∠DCF=∠BCD-∠BCF \)
　　　　　\( =90°-45°=45° \)
　　　　　\( =45° \)

よって，\( AD \) と \( EF \) の交点を \( H \) とすると，
四角形 \( CDHF \) において，
　\( ∠x=360°-∠CFH-∠CDH-∠DCF \)
　　　\( =360°-90°-90°-45° \)
　　　\( =135° \)

線分 \( AE \) は直径なので，\( ∠BOE=180°-42°=138° \)

弧 \( BC= \) 弧 \( CD= \) 弧 \( DE \) より，
　\( ∠BOC=\dfrac{1}{3}∠BOE=46° \)

\( ∠BOC \) は，弧 \( BC \) の中心角，\( ∠x \) は，弧 \( BC \) の円周角なので，
　\( ∠x=\dfrac{1}{2}∠BOC=23° \)

図１の状態で容器に入っている水の体積を求めると，
\( \left(6 \times 8 \times \dfrac{1}{2} \right) \times 8=192 \; (cm^3) \)

図２の状態での容器の底から水面までの高さを \( x \; cm \) とし，
水面の四すみの点をそれぞれ \( P，Q，R，S \) とすると，
このときの水の形状は，台形 \( BCQP \) を底面とした四角柱と考えることができます。

水面と面 \( FEBC \) は平行になるので，\( PQ//BC \) になっており，
\( △APQ \) ∽ \( △ABC \) となるので，
　\( AP：AB=PQ：BC \)
　\( 6-x：6=PQ：8 \)
　　　 \( PQ=\dfrac{4}{3}(6-x) \; (cm) \)

よって，台形 \( BCQP \)の面積は，
　　\( (PQ+BC) \times PB \times \dfrac{1}{2} \)
　\( =\left\{\dfrac{4}{3}(6-x)+8 \right\} \times x \times \dfrac{1}{2} \)
　\( =\left( 16-\dfrac{4}{3}x \right) \times x \times \dfrac{1}{2} \)
　\( =-\dfrac{2}{3}x^2+8x \)

円すいを展開したとき，おうぎ形の半径は円すいの母線の長さになり，
円すいの母線の長さと円 \( O \) の半径が等しいので，\( 14 \; cm \)

また，おうぎ形の弧の長さは，底面の円周の長さと等しくなるので，
　\( 2\pi \times 4=8\pi \; (cm) \)
このおうぎ形は，半径 \( 14 \; cm \) の円（周の長さ \( 28\pi \; cm \) ）から
弧の長さ \( 8\pi \; cm \) 分を切り取ったものと考えられるので，
おうぎ形の面積は，半径 \( 14 \; cm \) の円の面積の \( \dfrac{8\pi}{28\pi}=\dfrac{2}{7} \) 倍

以上より，円すいの表面積は，
　　\( \pi \times 4^2+\pi \times 14^2 \times \dfrac{2}{7} \)
　\( =16\pi+56\pi \)
　\( =72\pi \; (cm^2) \)

手順１　直線 \( OA \) を描く
手順２　点 \( A \) を中心に円弧を描く
　　　　（直線 \( OA \) との交点を点 \( B，C \) とします）
手順３　点 \( B，C \) を中心に円弧を描く
　　　　（交点を点 \( D \) とします）

直線 \( AD \) が点 \( A \) を接点とする円 \( O \) の接線になります。

\( △ACE \) と \( △BCF \) において，
\( AB//EC \) より，\( ∠BAC=∠ACE \) ･･･ ➀
\( △ABC \) は正三角形なので，
\( ∠BAC=∠BCF \) ･･･ ➁
\( AC=BC \) ･･･ ➂
➀➁より，\( ∠ACE=∠BCF \) ･･･ ➃
仮定より，\( CE=CF \) ･･･ ➄
➂➃➄より，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
\( △ACE≡△BCF \)

直角三角形において，一番長い辺が斜辺になるので，
辺 \( AB \) が斜辺になります。
辺 \( AB \) の長さを \( x \; cm \) とすると，
➀より，\( BC=x-2 \; cm \)
➁より，\( CA=x-2-7=x-9 \; cm \)

点 \( C \) は，\( y=\dfrac{2}{3}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( 3 \) なので，
点 \( C \) の \( y \) 座標は，\( y=\dfrac{2}{3} \times 3^2=6 \)

よって，三平方の定理より，
　\( BC^2=(3-2)^2+(6-4)^2=5 \)
　 \( BC=\sqrt{5} \; (cm) \) （\( BC>0 \)より）

点 \( P \) は，\( y=x^2 \) 上の点で，\( y \) 座標が \( 1 \) なので，
点 \( P \) の \( x \) 座標は，
　\( 1=x^2 \)
　\( x=1 \) （\( x>0 \)より）

点 \( Q \) は，\( y=ax^2 \) 上の点で，\( y \) 座標が \( 4 \) なので，
点 \( Q \) の \( x \) 座標は，
　\( 4=ax^2 \)
　\( x=-\sqrt{\dfrac{4}{a}} \) （\( x<-1，0<a<1 \)より）

このとき，
　\( AP=1-(-1)=2 \)，
　\( BQ=2-\left(-\sqrt{\dfrac{4}{a}} \right)=2+\sqrt{\dfrac{4}{a}} \)
であり，四角形 \( APBQ \) は台形なので，
　\( \left(2+2+\sqrt{\dfrac{4}{a}} \right) \times 3 \times \dfrac{1}{2}=12 \)
　　　　　　　　　 \( 4+\sqrt{\dfrac{4}{a}}=8 \)
　　　　　　　　　　　 \( \sqrt{\dfrac{4}{a}}=4 \)
　　　　　　　　　　　　　\( \dfrac{4}{a}=16 \)
　　　　　　　　　　　　　 \( a=\dfrac{1}{4} \)

点 \( P \) は \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( -2 \) なので，
\( y \) 座標は，\( y=\dfrac{1}{2} \times (-2)^2=2 \)
よって，直線 \( AP \) は，\( A(-4，8)，P(-2，2) \) を通るので，
傾きは，\( \dfrac{2-8}{-2-(-4)}=-3 \)

直線 \( AP \) の式を \( y=-3x+b \) とすると，\( (-2，2) \) を通るので，
　\( 2=-3 \times (-2)+b \)
　\( b=-4 \)

よって，直線 \( AP \) の式は \( y=-3x-4 \)

点 \( A \) を通り，\( y \) 軸と平行な直線と，点 \( Q \) を通り，
\( x \) 軸と平行な直線の交点を点 \( T \) とすると，
イ の直線の式が \( y=-x+4 \) であることから，
\( △AQT \) は \( AQ \) を斜辺とする直角二等辺三角形になっています。

よって，\( QT=\dfrac{1}{\sqrt{2}}AQ=5 \; (cm) \)

点 \( T \) の \( x \) 座標は \( -4 \)で，
点 \( Q \) の \( x \) 座標は \( -4 \) より大きいので，
\( t=-4+5=1 \)