青森県公立高校入試　令和７（2025）年度　解答＆解説

ある階級の相対度数は，
　その階級の度数 \(  \div  \) すべての階級の度数の合計
で求めることができます。

\( 7 \; g \) 以上 \( 9 \; g \) 未満の階級の度数は，\( 12 \) 個，
全ての階級の度数の合計は
　\( 3+11+12+4=30 \)（個）
なので，\( 7 \; g \) 以上 \( 9 \; g \) 未満の階級の相対度数は，
　\( 12 \div 30=0.40 \)

 \( △ABE \) と \( △CBD \) において，
仮定より \( BE=BD \) ･･･ ➀
共通な角なので，\( ∠ABE=∠CBD \) ･･･ ➁
仮定より \( ∠AEB=∠CDB=90° \) ･･･ ➂
➀➁➂より，１組の辺と両端の角が等しいので，
　\( △ABE≡△CBD \)
対応する辺は等しいので，\( BA=BC \) であり，
\( △ABC \) は二等辺三角形になっています。

\( △CBD \) において，
　\( ∠CBD=180°-(90°+44°)=46° \)
\( △ABC \) は二等辺三角形なので，底角は等しく，
　\( ∠BAC=∠BCA=44°+x \)
ここから、
　\( 46°+2(44°+x)=180° \)
　　　　 \( 2x+134°=180° \)
　　　　　　　　　\( x=23° \)

手順１　２点 \( A，B \) を中心に円弧を描く
（交点を \( C，D \) とします）
手順２　２点 \( C，D \) を通る直線を描く

手順２の直線と直線 ℓ の交点が求める点 \( O \) になります。

\( △AFE \) と \( △DEB \) において，
仮定より，
　\( ∠FAE=∠EDB \) ･･･ ➀
\( AE//BD \) より，錯角は等しいので，
　\( ∠FEA=∠EBD \) ･･･ ➁
➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △AFE \) ∽ \( △DEB \)

\( ∠FEA=∠FBC，∠AFE=∠CFB \) より，
\( △AFE \) ∽ \( △CFB \) になっています。

\( AE=AC=6 \; cm \)
\( CB=BD-CD=3 \; cm \)
なので，
　\( AF：CF=AE：CB \)
　　　　　　\( =6：3 \)
　　　　　　\( =2：1 \)
であり，
　\( AF=\dfrac{2}{3}AC=4 \; (cm) \)

\( ∠AEB=∠EBG，∠AEB=∠BEG \) より，
\( ∠EBG=∠BEG \) なので，
\( △BEG \) は二等辺三角形であるとわかります。

\( △EGD \) において，\( BG=x \; cm \) とすると，
\( EG=BG=x \; cm，GD=9-x \; cm \) と表すことができるので，三平方の定理より，
　\( EG^2=GD^2+ED^2 \)
　　\( x^2=(9-x)^2+6^2 \)
　　　\( x=\dfrac{13}{2} \; (cm) \)

よって，線分 \( CG \) の長さは，
　\( CG=BG-BC \)
　　　\( =\dfrac{13}{2}-3 \)
　　　\( =\dfrac{7}{2} \; (cm) \)

 \( △EDF \) において，
\( DE=AB=5 \; cm，EF=BC=10 \; cm \)
なので，三平方の定理より，
　\( DF^2=DE^2+EF^2=125 \)
　 \( DF=5\sqrt{5} \; (cm) \)

\( △EDF \) の面積について方程式を立てると，
　\( DE \times EF \times \dfrac{1}{2}=DF \times ER \times \dfrac{1}{2} \)
　　　\( 5 \times 10 \times \dfrac{1}{2}=5\sqrt{5} \times ER \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( ER=2\sqrt{5} \; (cm) \)
よって， \( PQ=ER=2\sqrt{5} \; cm \)

 \( △ADF \) において，三平方の定理より，
　\( AF^2=AD^2+DF^2=225 \)
　 \( AF=15 \; (cm) \)

よって，\( △ADF \) の面積は，
　\( △ADF=AF \times PQ \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =15 \times 2\sqrt{5} \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =15\sqrt{5} \; (cm^2) \)

このことから，
\( x \) の変域が \( -6≦x≦2 \) のとき，
\( x \) の変域は \( 0 \) を含んでいるので，
\( y \) の最小値は \( 0 \) です。

\( -6≦x≦2 \) において，
\( x \) の絶対値が最も大きいのは \( x=-6 \) のときで，
\( x=-6 \) のときの \( y \) の値は，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times (-6)^2=9 \)
なので，\( y \) の最大値は \( 9 \) です。

点 \( B \) は \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で \( x \) 座標は \( 2 \) なので，
\( y \) 座標は，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times 2^2=1 \)

直線 \( AB \) の式を \( y=ax+b \) とすると，
　傾き \( a=\dfrac{1-9}{2-(-6)}=-1 \)
\( y=-x+b \) に \( x=2，y=1 \) を代入すると，
　\( 1=-2+b \)
　\( b=3 \)
であり，直線 \( AB \) と \( y \) 軸の交点を \( C \) とすると，\( C \) の座標は \( C(0,3) \) になっています。

点 \( P \) は \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で \( x \) 座標は \( -4 \) なので，\( y \) 座標は，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times (-4)^2=4 \)

ここから，直線②は \( P(-4,4)，B(2,1) \) を通るので，
　傾き \( =\dfrac{1-4}{2-(-4)}=-\dfrac{1}{2} \)

点 \( B \) から線分 \( PH \) に垂線をひき，
交点を \( D \) とすると，\( △PBD \) ∽ \( △PQH \) で，
\( QH=4PH \) のとき，\( BD=4PD \) になります。

このとき，
\( BD=(2-t) \; cm，PD=\left( \dfrac{1}{4}t^2-1 \right) \; cm \)
と表せるので，
　　　　　　 \( BD=4PD \)
　　　　　 \( 2-t=4 \times \left( \dfrac{1}{4}t^2-1 \right) \)
　　　　　 \( 2-t=t^2-4 \)
　　　\( t^2+t-6=0 \)
　\( (t-2)(t+3)=0 \)
　　　　　　　 \( t=2，-3 \)

\( AH=h \; cm \) とすると，三平方の定理より，
　\( h^2=13^2-x^2 \) ･･･ ➀
　\( h^2=15^2-y^2 \) ･･･ ➁
➀➁より，
　　　　\( 13^2-x^2=15^2-y^2 \)
　　　　 \( x^2-y^2=13^2-15^2 \)
　\( (x+y)(x-y)=13^2-15^2 \)
\( x+y=14 \) を代入すると，
　\( 14(x-y)=13^2-15^2 \)
　\( 14(x-y)=(13+15)(13-15) \)
　　　\( x-y=2 \times (-2)=-4 \)

点 \( O \) から線分 \( BC \) に垂線をひき，
交点を \( P \) とすると，
\( △OBP≡△OCP \) なので，
　\( ∠BOP=∠COP=\dfrac{1}{2}∠BOC=60° \)

ここから，\( △OBP \) は \( 30°，60°，90° \) の
直角三角形なので，
　\( BP=\dfrac{\sqrt{3}}{2}OB=\sqrt{3} \; (cm) \)

よって，辺 \( BC \) の長さは，
　\( BC=2BP=2\sqrt{3} \; (cm) \)

ウ より，\( BC=2\sqrt{3} \; cm \) なので，
\( △BCQ \) において，
　\( BQ=CQ=\dfrac{1}{\sqrt{2}}BC=\sqrt{6} \; (cm) \)

\( △ABQ \) において，
　\( AQ=\dfrac{1}{\sqrt{3}}BQ=\sqrt{2} \; (cm) \)

よって，\( △ABC \) の面積は，
　\( △ABC=AC \times BQ \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \times \sqrt{6} \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =(6+2\sqrt{3}) \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =3+\sqrt{3} \; (cm^2) \)