大問１
１ \( (-2) \times 5 \)
２ \( \dfrac{3}{4}-(-\dfrac{1}{5}) \)
３ \( 20a^2b \div (-2a) \div (-b) \)
４ \( (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})-\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} \)
５ \( (x+1)^2+(x-2)(x+3) \)
大問２
１ 二次方程式 \( (x-2)^2=5 \) を解け。
２ 次のア～エのうち，\( y \) が \( x \) に反比例するものを１つ選び，その記号を書け。
ア 長さ \( 100 \; cm \) のひもを，\( x \; cm \) 使ったときの残りの長さ \( y \; cm \)
イ 面積 \( 20 \; cm^2 \)，縦の長さ \( x \; cm \) の長方形の横の長さ \( y \; cm \)
ウ 半径 \( x \; cm \) の円の面積 \( y \; cm^2 \)
エ １個 \( 250 \) 円のお菓子を，\( x \) 個買ったときの代金 \( y \) 円
３ \( \sqrt{60}<n \) となる自然数 \( n \) のうち，最も小さいものを求めよ。
４ 右の図で，３点 \( A，B，C \) は円 \( O \) の周上にあり，\( ∠BAC=31° \) である。このとき，\( ∠x \) の大きさを求めよ。
\( ∠BAC \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) に対する円周角，
\( ∠BOC \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) に対する中心角，
なので，
\( ∠BOC=2∠BAC=62° \)
線分 \( OB，OC \) は，どちらも円 \( O \) の半径であり，
\( △OBC \) は \( OB=OC \) の二等辺三角形なので，
\( ∠x=\dfrac{180°-62°}{2}=59° \)
５ 大小２つのさいころを同時に投げ, 大きい方のさいころの出る目の数を \( a \)，小さい方のさいころの出る目の数を \( b \) とする。このとき，\( \dfrac{a}{b} \) の値が \( 1< \dfrac{a}{b} <2 \) になる確率を求めよ。ただし，さいころは，\( 1 \) から \( 6 \) までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。
\( a，b \) の組み合わせとそれぞれの場合の \( \dfrac{a}{b} \) の値を表に書き出し，\( 1< \dfrac{a}{b} <2 \) になるところに ○ をつけると右のようになります。
\( 1< \dfrac{a}{b} <2 \) になる組み合わせは \( 6 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 36 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6} \) になります。
６ 下の図のように，２点 \( A，B \) と直線 ℓ がある。２点 \( A，B \) から等しい距離にある直線 ℓ 上の点 \( P \) を，解答欄に作図せよ。ただし，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。
手順１ ２点 \( A，B \) を中心に円弧を描く
（交点を \( C，D \) とします）
手順２ ２点 \( C，D \) を通る直線を描く
直線 ℓ と手順２の直線の交点が求める点 \( P \) になります。
線分 \( AB \) の中点を \( M \)，
２点 \( A，B \) から等しい距離にある点を \( P \)
とすると，
\( △APM \) と \( △BPM \) において，
仮定より，
\( AP=BP \) ･･･ ➀
\( AM=BM \) ･･･ ➁
\( △ABP \) は，二等辺三角形なので，
\( ∠PAM=∠PBM \) ･･･ ➂
➀➁➂より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
\( △APM≡△BPM \)
合同な三角形の対応する角は等しいので，
\( ∠AMP＝∠BMP=90° \)
よって，線分 \( PM \) は線分 \( AB \) の垂直二等分線になっています。
また，２点 \( A，B \) から等しい距離にある点のうち，点 \( P \) と異なる点を \( P’ \) とすると，
同様の考え方から，線分 \( P’M \) も線分 \( AB \) の垂直二等分線になっていることが証明できます。
よって，２点 \( A，B \) から等しい距離にある点は，必ず線分 \( AB \) の垂直二等分線上の点になります。
７ ある中学校では，毎年３月に，入学式の案内を，送付先に応じて，はがきか手紙のいずれかの方法で送付している。今年の３月も，昨年と同じ送付先に，昨年と同じ方法で送付しようとしたところ，昨年１０月から，下の資料のように１通当たりの郵便料金が変更されたため，郵便料金の総額が，昨年送付するのにかかった郵便料金の総額と比べて，\( 4880 \) 円の増加になることが分かった。そこで，全てはがきによる送付に変えたところ，増加を \( 1880 \) 円に抑えることができた。 昨年送付したはがきと手紙は，それぞれ何通か求めよ。ただし，用いる文字が何を表すかを最初に書いてから連立方程式をつくり，答えを求める過程も書くこと。
大問３
１ 右の図１は,ある都市の, ２０２２年，２０２３年，２０２４年における，８月の日ごとの最高気温のデータを，年別に箱ひげ図に表したものである。
（１） ２０２４年８月の３１日間において，最高気温が \( 35.0\;^\circ C \) 以上であった日が１６日以上あるかどうかは，２０２４年８月の日ごとの最高気温の，次のア～エのいずれかの値に着目することで分かる。その値として適当なものを，ア～エから１つ選び，その記号を書け。
ア 最大値 イ 中央値 ウ 最小値 エ 平均値
図１の箱ひげ図は３１日分のデータからできているので，中央値になるのは気温の高い方から１６番目の値になります。
２０２４年８月の箱ひげ図の中央値は \( 35.0\;^\circ C \) より大きい（高い）ので，
最高気温が \( 35.0\;^\circ C \) 以上であった日が１６日以上あるといえます。
（２） ８月の日ごとの最高気温について，図１から読み取れることとして正しいものを，次のア～エから１つ選び，その記号を書け。
ア ２０２３年には，最高気温が \( 33.0\;^\circ C \) であった日がある。
イ 最高気温が \( 31.0\;^\circ C \) 以下であった日の数は，２０２４年より２０２３年の方が多い。
ウ ２０２２年，２０２３年，２０２４年のうち，四分位範囲が最も大きいのは，２０２２年である。
エ ２０２２年，２０２３年，２０２４年のいずれの年にも，最高気温が \( 36.0\;^\circ C \) 以上であった日がある。
ウ ･･･ 各年のおよその四分位範囲は次のとおりです
２０２２年：\( 34.7-32.0=2.7 \;(^\circ C) \)
２０２３年：\( 35.0-32.7=2.3 \;(^\circ C) \)
２０２４年：\( 36.0-34.8=1.2 \;(^\circ C) \)
よって，四分位範囲が最も大きいのは，２０２２年であるといえます。
● 必ず正しいとはといえない理由
ア ･･･ 図１の箱ひげ図は３１日分のデータからできているので，
（およその）値が読み取れるのは，
最小値，第１四分位数，中央値，第３四分位数，最大値
いずれかの値だけです。
各年の箱ひげ図でこれらの値にあたるのは次の表のとおりで，\( 33.0\;^\circ C \) の日はありません。
つまり，最高気温が \( 33.0\;^\circ C \) であった日があるかどうかは箱ひげ図のデータからだけでは
わかりません。
イ ･･･ ２０２３年，２０２４年ともに，第１四分位数が \( 31.0\;^\circ C \) より大きい値であることから，
最高気温が \( 31.0\;^\circ C \) 以下であった日の数は，７日以下であることはわかります。
しかし，最高気温が低い方から２番目から７番目までの詳しい値は
箱ひげ図のデータからだけではわかりません。
よって，最高気温が \( 31.0\;^\circ C \) 以下であった日の数が，２０２４年より２０２３年の方が多いか
はわかりません。
エ ･･･ ２０２２年の最大値は \( 36.0\;^\circ C \) 未満なので，正しくありません。
（３） 図１の３つの箱ひげ図を比較すると，「８月の日ごとの最高気温は，２０２２年から２０２４年にかけて，高くなる傾向にある」と主張することができる。そのように主張することができる理由を，「第１四分位数」「第３四分位数」の２つの言葉を用いて，解答欄の書き出しに続けて簡単に書け。
２ 下の表と図２は，ある都市の，２０２４年における，８月１日～９月２日の日ごとの最高気温のデータを，８月１日～８月３１日，８月２日～９月１日，８月３日～９月２日の期間別に，まとめたものと箱ひげ図に表したものである。８月１日，８月２日，９月１日，９月２日の最高気温が，全て異なり，次のア～オのいずれかであることが分かっているとき，９月１日，９月２日の最高気温として適当なものを，ア～オからそれぞれ１つずつ選び，その記号を書け。
ア \( 32.6 \) イ \( 35.2 \) ウ \( 35.5 \) エ \( 36.2 \) オ \( 36.9 \)
「８月２日～９月１日」の箱ひげ図に含まれるデータは，
「８月１日～８月３１日」の箱ひげ図に含まれるデータから
８月１日のデータを削除し，９月１日のデータを追加したものになっています。
「８月３日～９月２日」の箱ひげ図に含まれるデータは，
「８月２日～９月１日」の箱ひげ図に含まれるデータから
８月２日のデータを削除し，９月２日のデータを追加したものになっています。
【オ \( 36.9 \;^\circ C \) にあたるのは何日？】
表から，最大値に注目すると，オ \( 36.9 \;^\circ C \) の日は，８月１日～８月３１日と８月２日～９月１日の期間には含まれているが，８月３日～９月２日の期間には含まれていない日であるとわかります。
これは８月２日なので，オ \( 36.9 \;^\circ C \) は，８月２日の最高気温になります。
別のデータを追加した場合に中に含まれるデータの並び順がどのように変わるかを
例を使って考えてみます。
ある箱ひげ図に含まれる１５個のデータを小さい方から順に並べ，
Ａ～Ｏの名前をつけて考えることにします。
● Ｆ を削除し，ＪとＫの間にＺを追加すると･･･
削除したところより小さい値（\( n=1 \) から \( n=5 \)），
追加したところより小さい値（\( n=11 \) から \( n=15 \)）
については値は変わりません。
削除したところから追加したところまでの間の値（\( n=6 \) から \( n=9 \)）
についてはもとの値より大きい値になります。
● Ｊ を削除し，ＥとＦの間にＺを追加すると･･･
追加したところより小さい値（\( n=1 \) から \( n=5 \)），
削除したところより小さい値（\( n=11 \) から \( n=15 \)）
については値は変わりません。
削除したところから追加したところまでの間の値（\( n=6 \) から \( n=9 \)）
についてはもとの値より大きい値になります。
この例の考え方を参考に，８月３日，９月１日，９月２日の最高気温について考えていきます。
【９月１日の最高気温は？】
表の「８月１日～８月３１日」と「８月２日～９月１日」の範囲における代表値の変化に注目すると，
中央値と第三四分位数だけが「８月２日～９月１日」の方が大きい値になっています。
ここから，追加された９月１日のデータは第三四分位数（ \( 36.0 \;^\circ C \) ）より大きく，
最大値（ \( 36.9 \;^\circ C \) ）より小さい値であったことがわかります。
よって，あてはまるのは エ \( 36.2 \;^\circ C \) になります。
ちなみに，消えた８月１日のデータは第一四分位数（ \( 34.8 \;^\circ C \) ）より大きく，
中央値（ \( 35.3 \;^\circ C \) ）より小さい値であったことがわかり，
あてはまるのは イ \( 35.2 \;^\circ C \) になります。
【９月２日の最高気温は？】
表の「８月２日～９月１日」と「８月３日～９月２日」の範囲における代表値の変化に注目すると，
第一四分位数，中央値，第三四分位数と最大値が「８月３日～９月２日」の方が小さい値になっています。
ここから，追加された９月２日のデータは最小値（ \( 29.2 \;^\circ C \) ）より大きく，
第一四分位数（ \( 34.8 \;^\circ C \) ）より小さい値であったことがわかります。
よって，あてはまるのは ア \( 32.6 \;^\circ C \) になります。
大問４
下の図１において，放物線①は関数 \( y=ax^2 \) のグラフであり，直線②は①上の２点 \( A，B \) を通る。点 \( A \) の座標は \( (-3，3) \)，点 \( B \) の \( x \) 座標は正であり，直線②と \( y \) 軸との交点を \( C \) とすると，\( AC：CB=1：3 \) である。
このとき，次の問いに答えなさい。
１ \( a \) の値を求めよ。
２ 点 \( B \) の \( x \) 座標を求めよ。
２点 \( A，B \) から \( y \) 軸に垂線をひいた交点を
\( M，N \) とすると，
\( △ACM \) ∽ \( △BCN \) なので，
対応する辺の比は等しく，
\( AM：BN=AC：CB=1：3 \)
\( AM=3 \) なので，
\( AM：BN=1：3 \)
\( 3：BN=1：3 \)
\( BN=9 \)
よって，点 \( B \) の \( x \) 座標は \( 9 \) になります。
３ 直線②の式を求めよ。
４ 右の図２のように, 放物線①上の \( x \) 座標が \( 3 \) である点を \( D \) とする。また，点 \( P \) は直線②上を動く点とする。点 \( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とするとき，四角形 \( OABD \) の面積と \( △PBD \) の面積が等しくなるのは，\( t= \) ア のときと，\( t= \) イ のときである。 ア ， イ に当てはまる数を，それぞれ書け。
補助線 \( AD \) をひくと，
四角形 \( OABD=△ABD+△AOD \)
\( △PBD=△ABD+△APD \)
なので，四角形 \( OABD \) の面積と \( △PBD \) の面積が等しくなるとき，
\( △AOD=△APD \)
になります。
点 \( D \) は，放物線①上の点で，\( x \) 座標が \( 3 \) なので，
\( y \) 座標は
\( y=\dfrac{1}{3} \times 3^2=3 \)
であり，線分 \( AD \) は \( x \) 軸と平行になっています。
\( △AOD \) と \( △APD \) は線分 \( AD \) が共通で，
原点 \( O \) は \( x \) 軸上の点なので，
等積変形の考え方から，
\( △AOD=△APD \) となるのは，
点 \( P \) が \( x \) 軸上にあるときです。
点 \( P \) の座標を \( P(t，0) \) とすると，
点 \( P \) は，直線②上の点で，\( y \) 座標が \( 0 \) なので，
\( 0=2t+9 \)
\( t=-\dfrac{9}{2} \)
【\( P \) が点 \( B \) より上側にあるとき】
\( P \) が点 \( B \) より上側にある場合を \( P’ \) とすると，
\( △PBD \) と \( △P’BD \) は，３点 \( B，P，P’ \) が
直線②上にあり，高さが共通なので，
\( PB=P’B \) となるとき，
\( △PBD=△P’BD \) となります。
点 \( B，P’ \) から \( x \) 軸に垂線をひき，
交点を \( Q，R \) とすると，
\( △PBQ \) ∽ \( △PP’R \) であり，
対応する辺の比は等しいので，
\( PB=P’B \) のとき，\( PQ=QR \) となります。
点 \( B \) と点 \( Q \) の \( x \) 座標は \( 9 \) なので，
\( PQ=9-\left( -\dfrac{9}{2} \right)=\dfrac{27}{2} \)
点 \( P’ \) と点 \( R \) の \( x \) 座標が \( t \) のとき，
\( PQ=QR \)
\( \dfrac{27}{2}=t-9 \)
\( t=\dfrac{45}{2} \)
大問５
１ 下の図１は，正四角すいの展開図である。
（１） 図１を組み立ててできる正四角すいにおいて，点 \( B \) と重なる点を，図１の７つの点 \( A，C，D，E，F，G，H \) の中から全て選び，\( A，C，D，E，F，G，H \) の記号で書け。
この正四角すいを組み立てると，
辺 \( BC \) と辺 \( FE \)
辺 \( CD \) と辺 \( ED \)
辺 \( GH \) と辺 \( GF \)
が重なるので，点 \( B \) と重なる点は。
\( F \) と \( H \) になります。
（２） 下の図２は，図１において点 \( B \) と点 \( G \) を結んだ図であり，\( BG//CD \) である。また，線分 \( BG \) と線分 \( AC \) との交点を \( I \) とする。このとき，\( △ABC \) ∽ \( △BIC \) であることを証明せよ。
\( △ABC \) と \( △BIC \) において，
共通な角なので，
\( ∠ACB=∠BCI \) ･･･ ➀
\( BG//CD \) より，錯角は等しいので，
\( ∠BIC=∠ACD \) ･･･ ➁
正四角すいの側面は合同な三角形なので，
\( △ABC≡△ACD \) であり，
対応する角は等しいので，
\( ∠ABC=∠ACD \) ･･･ ➂
➁➂より，
\( ∠ABC=∠BIC \) ･･･ ➃
➀➃より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABC \) ∽ \( △BIC \)
２ 下の図３のように，\( OP=7 \; cm，PQ=4 \; cm \) の正四角すい \( OPQRS \) があり，点 \( T，U \) は，それぞれ辺 \( OQ，OR \) 上を動く点である。３つの線分 \( PT，TU，US \) の長さの和 \( PT+TU+US \) が最小となるとき，線分 \( TU \) の長さを求めよ。
正四角すい \( OPQRS \) の展開図において，
\( PT+TU+US \) が最小となるとき，
４点 \( P，T，U，S \) は一直線上に並びます。
これは，図２と同じになっています。
（２）より \( △OSR \) ∽ \( △SUR \) なので，
\( OS=OP=7 \; cm，RS=PQ=4 \; cm \) であることから，
\( RS：RU=OS：SR \)
\( 4：RU=7：4 \)
\( RU=\dfrac{16}{7} \; (cm) \)
次に，\( △OTU \) と \( △OQR \) に注目すると，
（２）より \( SP//RQ \) なので，
\( △OTU \) ∽ \( △OQR \) になっています。
\( OR=OS=7 \; cm，RU=\dfrac{16}{7} \; cm \) より，
\( OU=7-\dfrac{16}{7}=\dfrac{33}{7} \; (cm) \)
対応する辺の比は等しいので，
\( TU：QR=OU：OR \)
\( TU：4=\dfrac{33}{7}：7 \)
\( TU=\dfrac{132}{49} \; (cm) \)
