大問１
（１） \( (-3) \times 4+5 \) を計算しなさい。
（２） \( 3x-y=4 \) を \( y \) について解きなさい。
（３） \( (\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2) \) を計算しなさい。
（４） \( y \) が \( x \) に反比例するものを，ア～エから１つ選び，符号で書きなさい。
ア １辺が \( x \; cm \) の正方形の面積が \( y \; cm^2 \)
イ 長さが \( 60 \; cm \) のリボンを \( x \; cm \) 使ったとき，残りの長さが \( y \; cm \)
ウ 分速 \( 130 \; m \) で \( x \) 分間走ったとき，進んだ道のりが \( y \; m \)
エ \( 10 \; L \) 入る空の容器に毎分 \( x \; L \) ずつ水を入れたとき，満水になるまでにかかる時間が \( y \) 分
（５） Ａ賞，Ｂ賞，Ｃ賞のくじが１本ずつ合計３本のくじが入っている箱がある。この中から１本引き，それを箱に戻してよくかき混ぜてから，もう１本引く。このとき，Ａ賞とＢ賞のくじを１本ずつ引く確率を求めなさい。
１回目も２回目もそれぞれ３通りのくじの引き方があります。
１回目と２回目にひいたくじの組み合わせを表に
書き出し，Ａ賞とＢ賞のくじを１本ずつ引いている
ところに ○ をつけると，
Ａ賞とＢ賞のくじを１本ずつ引く組み合わせは \( 2 \) 通り，すべての組み合わせは \( 9 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{2}{9} \)
（６） 右の図は，円すいの投影図であり，立面図は二等辺三角形，平面図は円である。この円すいの展開図について，側面になるおうぎ形の中心角の大きさを求めなさい。
円すいの展開図では，側面のおうぎ形の弧の長さと
底面の円周の長さは等しくなっています。
おうぎ形の中心角の大きさは弧の長さに比例するので，おうぎ形の中心角を \( x \) とすると，
\( x=360° \times \dfrac{\pi{} \times 4}{2\pi{} \times 6} \)
\( =120° \)
大問２
連続する３つの自然数について，最も小さい自然数を \( x \) とする。次の（１）～（３）の問いに答えなさい。
（１） 連続する３つの自然数のうち，最も大きい自然数を \( x \) を使った式で表しなさい。
（２） 連続する３つの自然数のそれぞれの２乗の和を，\( ax^2+bx+c \) の形で表しなさい。
（３） 連続する３つの自然数のそれぞれの２乗の和が \( 245 \) であるとき，\( x \) の値を求めなさい。
大問３
下の表は，Ａ中学校の生徒 \( 50 \) 人とＢ中学校の生徒 \( 20 \) 人について, ある日の家庭学習時間の相対度数を表したものである。
次の（１）～（３）の問いに答えなさい。
（１） Ａ中学校の家庭学習時間の最頻値を求めなさい。
（２） Ｂ中学校で, 家庭学習時間が \( 60 \) 分以上 \( 80 \) 分未満の生徒の人数を求めなさい。
（３） Ａ中学校とＢ中学校の家庭学習時間について述べた文として正しいものを，ア～エから全て選び，符号で書きなさい。
ア Ａ中学校は，Ｂ中学校より，最頻値が大きい。
イ Ａ中学校は，Ｂ中学校より，中央値が小さい。
ウ Ａ中学校は，Ｂ中学校より，\( 60 \) 分以上 \( 80 \) 分未満の生徒の人数が多い。
エ Ａ中学校は，Ｂ中学校より，\( 60 \) 分未満の生徒の人数が少ない。
大問４
ある作業場では, 大小２種類の電気器具Ａ，Ｂを蓄電池につないで使う。蓄電池は \( 1600 \; Wh \) まで充電でき，Ａ，Ｂを使うと蓄電池の残量は，それぞれ毎時間一定の割合で減少する。Ａのみを使うとき，蓄電池の残量は \( 8 \) 時間で \( 1600 \; Wh \) から \( 0 \; Wh \) になる。
作業初日，\( 1600 \; Wh \) まで充電した蓄電池に，Ａをつないで使い始め，\( 5 \) 時間後にＡをＢに切り換えると，Ａを使い始めてから \( 13 \) 時間後に蓄電池の残量は \( 0 \; Wh \) になった。
Ａを使い始めてから \( x \) 時間後の蓄電池の残量を \( y \; Wh \) とすると，\( x \) と \( y \) の関係は下の表のようになった。
次の（１）～（４）の問いに答えなさい。
（１） 表中の ア , イ に当てはまる数を求めなさい。
（２） \( x \) の変域を次の（ア），（イ）とするとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。
（ア） \( 0≦x≦5 \) のとき
（イ） \( 5≦x≦13 \) のとき
（３） \( x \) と \( y \) の関係を表すグラフをかきなさい。(\( 0≦x≦13 \))
（４） この作業場では,毎日，Ａ，Ｂを合計 \( 11 \) 時間は使う必要がある。作業初日に，Ａを使う時間をできる限り長くするためには，Ａを使い始めてから何時間何分後に，ＡをＢに切り換えるとよかったかを求めなさい。
電池の残量が減ることから，Ａを使う時間を長くするほど電池を使い切るまでの時間は短くなります。
（参考として，最初からＢを使った場合と３時間後にＡからＢに切り換えた場合の直線を書いてみました）
つまり，Ａを使う時間を最も長くできるのは \( 11 \) 時間後にちょうど電池を使い切るときになります。
\( 11 \) 時間後にちょうど電池を使い切る場合に，ＡからＢに切り換える時間を \( t \) 時間後とし，
\( t≦x≦11 \) の範囲における直線の式を \( y=-75x+n \) とすると，\( (11，0) \) を通るので，
\( 0=-75 \times 11+n \)
\( n=825 \)
ここから，\( t \) 時間後の電池の残量を表す点は
\( y=-200x+1600 \) と \( y=-75x+825 \) の直線の交点になるので，
\( -200t+1600=-75t+825 \)
\( 125t=775 \)
\( t=\dfrac{31}{5} \)（時間）
\( \dfrac{31}{5} \) 時間後を \( 6+\dfrac{1}{5} \) 時間後と考えると，
\( \dfrac{1}{5} \) 時間 \( =\dfrac{1}{5} \times 60=12 \) 分
なので，求める時間は \( 6 \) 時間 \( 12 \) 分後
大問５
下の図で，\( △ABC \) は \( ∠ABC=90° \) の直角二等辺三角形であり，\( △BDC \) は \( ∠BDC=90° \) の直角三角形である。また，点 \( E \) は辺 \( DC \) を延長した直線上の点で，\( BD=CE \) である。
次の（１），（２）の問いに答えなさい。
（１） \( △ABD≡△BCE \) であることを証明しなさい。
\( △ABD \) と \( △BCE \) において，
仮定より \( AB=BC \) ･･･ ➀
仮定より \( BD=CE \) ･･･ ➁
また，
\( ∠ABD=∠ABC+∠CBD \)
\( =90°+∠CBD \) ･･･ ➂
\( △BDC \) の外角なので，
\( ∠BCE=∠BDC+∠CBD \)
\( =90°+∠CBD \) ･･･ ➃
➂➃より \( ∠ABD=∠BCE \) ･･･ ➄
➀➁➄より
２組の辺とその間の角がそれそれ等しいので，
\( △ABD≡△BCE \)
（２） \( AB=5 \; cm，BD=3 \; cm \) のとき,
（ア） \( △BDC \) の面積を求めなさい。
\( BC=AB=5 \; cm \) なので，
\( △BDC \) において三平方の定理より，
\( CD^2=5^2-3^2=16 \)
\( CD=4 \; (cm) \) (\( CD>0 \) より)
よって，\( △BDC \) の面積は，
\( △BDC=3 \times 4 \times \dfrac{1}{2}=6 \; (cm^2) \)
（イ） \( △ACE \) の面積を求めなさい。
\( △ABC \) と \( △BDC \) の面積は簡単に求められることに注目すると，
\( △ABC+△BDC=△ADC+△ABD \)
となっています。
ここから，\( △ADC \) の面積がわかれば，
\( △ACE \) と \( △ADC \) は，高さが共通なので，
底辺の長さの比から \( △ACE \) の面積を求める
ことができます。
（１）より，\( △ABD≡△BCE \) なので，
\( △ABD=△BCE=CE \times BD \times \dfrac{1}{2} \)
\( =3 \times 3 \times \dfrac{1}{2} \)
\( =\dfrac{9}{2} \; (cm^2) \)
\( △ABC+△BDC=△ADC+△ABD \)
なので，
\( △ABC=5 \times 5 \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{25}{2} \; (cm^2) \)
\( △BDC=6 \; cm^2 \)
より，
\( △ABC+△BDC=△ADC+△ABD \)
\( \dfrac{25}{2}+6=△ADC+\dfrac{9}{2} \)
\( △ADC=14 \; (cm^2) \)
\( △ACE \) と \( △ADC \) は，高さが共通なので，
\( △ACE：△ADC=CE：DC \)
\( △ACE：14=3：4 \)
\( 4△ACE=42 \)
\( △ACE=\dfrac{21}{2} \; (cm^2) \)
大問６
図１のように，白色の面に１から６までの自然数が１つずつ書かれた６枚のカードがある。これらのカードの反対側の面は灰色で，白色の面と同じ自然数が書かれている。また，図２のように，袋の中に赤玉，青玉，黄玉がそれぞれ１個ずつ入っている。
全てのカードの白色の面を上にしてから，次の操作を繰り返し行う。
【操作】
① 袋の中をよくかき混ぜてから玉を１個取り出す。
➁ 取り出した玉の色により,以下のカードを裏返す。
・赤玉 → 全てのカード
・青玉 → ２の倍数が書かれたカード
・黄玉 → ３の倍数が書かれたカード
➂ 取り出した玉を袋に戻す。
図３は，１回目の操作で赤玉，２回目の操作で青玉を取り出したときの，カードの上になっている面を表している。
次の（１）～（４）の問いに答えなさい。
（１） １０回の操作で，赤玉を５回，青玉を３回，黄玉を２回取り出すとき，２が書かれたカードを裏返す回数を求めなさい。
（２） 次の文章は，１０回の操作で各カードを裏返す回数について，太郎さんが考えたことをまとめたものである。ア，イには，\( a，b \) を使った式を，ウには \( b \) を使った式を，エには数を，それぞれ当てはまるように書きなさい。
１０回の操作で, 赤玉を取り出す回数を \( a \) 回，青玉を取り出す回数を \( b \) 回とすると，黄玉を取り出す
回数は \( ( \) ア \( ) \) 回と表すことができる。このとき，各カードを裏返す回数は下の表のようになる。
（３） １０回の操作を行った後，白色の面が上になっているカードが２枚であるとき，その２枚のカードに書かれている自然数を両方とも書きなさい。
赤玉を取り出した回数 \( a \) 回と青玉を取り出した回数 \( b \) 回を偶数の場合と奇数の場合にわけて
考えていきます。
【 \( a \) が奇数，\( b \) が奇数のとき】
（２）の表より，
１が書かれたカードを裏返す回数 ･･･ \( a \) 回（奇数回）なので，上になっている面の色は灰色
２が書かれたカードを裏返す回数 ･･･ \( a+b \) 回（偶数回）なので，上になっている面の色は白色
３が書かれたカードを裏返す回数 ･･･ \( 10-b \) 回（奇数回）なので，上になっている面の色は灰色
４が書かれたカードを裏返す回数 ･･･ \( a+b \) 回（偶数回）なので，上になっている面の色は白色
５が書かれたカードを裏返す回数 ･･･ \( a \) 回（奇数回）なので，上になっている面の色は灰色
６が書かれたカードを裏返す回数 ･･･ \( 10 \) 回（偶数回）なので，上になっている面の色は白色
となり，白色の面が上になっているカードは３枚になります。
これを表の形にまとめると次のようになります。
ここから、「\( a \) が奇数，\( b \) が偶数」，「\( a \) が偶数，\( b \) が奇数」，「\( a \) が偶数，\( b \) が偶数」のそれぞれの
場合について同じ考え方で上になっている面のカードの色を表にまとめていきます。
【 \( a \) が奇数，\( b \) が偶数のとき】
白色の面が上になっているカードは「３」と「６」の２枚になります。
【 \( a \) が偶数，\( b \) が奇数のとき】
白色の面が上になっているカードは３枚になります。
【 \( a \) が偶数，\( b \) が偶数のとき】
白色の面が上になっているカードはすべてのカードになります。
よって，白色の面が上になっているカードが２枚であるとき、書かれている自然数は，
「３」と「６」になります。
（４） １０回の操作を行った後，各カードの上になっている面の色を下の表に記録する。この記録によってできる表は，全部で何通りあるかを求めなさい。
