大問１
（１） 次の計算をせよ。
ア \( (-3)^2+(-2) \times 6 \)
イ \( -4a^2b \times 12b \div (-6ab) \)
ウ \( 6 \left( x-\dfrac{3}{2}y \right) +4 \left( \dfrac{x}{2}+3y \right) \)
エ \( \dfrac{\sqrt{48}}{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}} \)
（２） \( a^2-4 \) を因数分解せよ。
（３） 次の連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
x+y=1 \\
2x-7y=11 \\
\end{array} \right. \) を解け。
（４） \( △ABC \) について，\( ∠ABC=90°，AB=2 \; cm，BC=6 \; cm \) のとき，辺 \( CA \) の長さを求めよ。
三平方の定理より，
\( CA^2=AB^2+BC^2 \)
\( =2^2+6^2 \)
\( =40 \)
\( CA=2\sqrt{10} \; (cm) \) (\( CA>0 \) より)
（５） クラス１５人の反復横跳びの回数を箱ひげ図で表したところ，右の図のようになった。このとき，次の問いに答えよ。
ア 第１四分位数を求めよ。
イ このデータをヒストグラムで表したとき，正しくないのは図１，図２のどちらになるか，次の ( ) 内に書き入れ，その理由を言葉や数, 式などを用いて説明せよ。
(説明)
（６） 右の図の \( △ABC \) で，辺 \( BC \) 上に点 \( D \) を \( ∠DAB=30° \) となるように作図せよ。ただし，作図に用いた線は消さないこと。
手順１ ２点 \( A，B \) を中心に辺 \( AB \) を半径とする
円弧を描く。
(交点を \( P \) とします。)
手順２ ２点 \( A，P \) を通る直線を描く。
手順３ ２点 \( B，P \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( Q \) とします。)
手順４ ２点 \( A，Q \) を通る直線を描く。
手順４の直線と辺 \( BC \) の交点が求める点 \( D \) になります。
\( 60° \) の半分が \( 30° \) であることに注目すると，
正三角形 \( PAB \) を描き，\( ∠PAB \) の二等分線を作図すると，\( ∠DAB=30° \) を作図することができます。
大問２
右の図のように \( A，B，C，D，E，F \) のカードが１枚ずつ入っている袋からカードを同時に２枚取り出す。このとき，次の問いに答えよ。ただし，袋からのカードの取り出し方は同様に確からしいとする。
（１） 取り出した２枚のカードが \( A \) と \( B \) である確率を求めよ。
１通りと考えられるので，すべての組み合わせは下の１５通りになります。
そのうち，「\( A \) と \( B \) を取り出す」のは１通りなので，その確率は，\( \dfrac{1}{15} \) になります。
（２） 右の図のような立方体 \( ABCD – EFGH \) において，取り出した2枚のカードに書かれた文字の頂点を通る直線を \( l \) とする。直線 \( l \) が直線 \( GH \) とねじれの位置にある確率を求めよ。
立方体 \( ABCD – EFGH \) において，直線 \( GH \) とねじれの位置にあるのは，
・ 直線 \( l \) が立方体の辺になるとき ･･･ \( AD，AE，BC，BF \)
・ 直線 \( l \) がそれぞれの面の対角線になるとき ･･･ \( AC，AF，BD，BE，CF，DE \)
・ 直線 \( l \) が立方体の対角線になるとき ･･･ \( CE，DF \)
の合計 \( 12 \) 通りなので，その確率は，\( \dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5} \) になります。
大問３
毎年，子ども会では祭りを１日開催し，たこ焼きを販売している。たこ焼きは複数のたこ焼き器を使用して作っており，たこ焼き器 \( 1 \) 台につき１日に \( 20 \) パックのたこ焼きを作って販売する。このとき，次の問いに答えよ。ただし， 消費税は考えないものとする。
（１） 昨年はたこ焼き器を \( a \) 台使用し，\( 1 \) パック \( 300 \) 円で販売したところ \( 10 \) パック売れ残った。今年はたこ焼き器を \( a \) 台使用し，\( 1 \) パック \( 250 \) 円で販売したところ，すべて売り切れた。
ア 昨年の売れたたこ焼きは何パックか，\( a \) を用いて表せ。
イ 昨年の売り上げと今年の売り上げが同じであった。このときの \( a \) の値を求めよ。
（２） 来年, 子ども会ではたこ焼き器を \( 6 \) 台使用し，今年の \( 250 \) 円から値上げして販売することを検討している。値上げについては次の【設定】で考えるものとする。
・ 値上げする金額は \( 10 \) 円，\( 20 \) 円，･･･ ，\( 100 \) 円，\( 110 \) 円，･･･ など \( 10 \) 円単位とする。
・ 値上げせずに \( 1 \) パックを \( 250 \) 円で販売すると，すべて売り切れる。
・ \( 1 \) パックを \( 250 \) 円から \( 10 \) 円値上げすることに \( 3 \) パックずつ売れ残る。
例えば，\( 1 \) パックを \( 20 \) 円値上げして \( 270 \) 円で販売すると，\( 6 \) パック売れ残る。
\( 1 \) パックを \( 10x \) 円値上げして売り上げを計算したところ，値上げ前より \( 1080 \) 円高くなった。このとき，\( x \) の値をすべて求めよ。ただし，\( x \) は自然数とする。
大問４
右の図のように, 関数 \( y=x^2 \) ･･･ ➀ のグラフがある。① のグラフ上に２点 \( A，B \) を点 \( A \) の \( x \) 座標が \( -3 \) で，線分 \( AB \) が \( x \) 軸と平行となるようにとり，さらに，２点 \( C，D \) を四角形 \( ABCD \) が正方形となるようにとる。また，\( y \) 軸上に点 \( E(0，21) \) をとる。ただし，点 \( D \) の \( y \) 座標は点 \( A \) の \( y \) 座標より大きいものとする。このとき，次の問いに答えよ。
（１） 点 \( A \)，点 \( B \)，点 \( D \) の座標をそれぞれ求めよ。
点 \( A \) は，\( y=x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( -3 \) なので，
\( y \) 座標は，\( y=(-3)^2=9 \)
よって，点 \( A \) の座標は，\( A(-3，9) \)
線分 \( AB \) が \( x \) 軸と平行なので，点 \( B \) は \( y \) 軸について
点 \( A \) と対称な位置にあり，点 \( B \) の座標は，\( B(3，9) \)
ここから，線分 \( AB \) の長さは \( 6 \) なので，
四角形 \( ABCD \) が正方形であることから，線分 \( CD \) の長さも \( 6 \)
よって，点 \( D \) の座標は，\( D(-3，15) \)
（２） 直線 \( AE \) の式を求めよ。
この直線は，\( A(-3，9)，E(0，21) \) を通るので，
傾き \( =\dfrac{21-9}{0-(-3)}=4 \)
切片は点 \( E \) の \( y \) 座標になるので，\( 21 \)
よって，直線 \( AE \) の式は，\( y=4x+21 \)
（３） また，関数 \( y=ax^2 \) (\( a \) は正の定数) ･･･ ② のグラフがある。② のグラフ上に２点 \( P，Q \) を，点 \( P \) の \( x \) 座標が \( -4 \) で, 線分 \( PQ \) が \( x \) 軸と平行になるようにとる。
ア 点 \( P \) が直線 \( AE \) 上にあるとき，\( a \) の値を求めよ。
点 \( P \) は，\( y=4x+21 \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( -4 \) なので，
\( y \) 座標は，\( y=4 \times (-4)+21=5 \)
点 \( P \) は，\( y=ax^2 \) 上の点でもあるので，
\( y=ax^2 \) に \( x=-4，y=5 \) を代入すると，
\( 5=a \times (-4)^2 \)
\( a=\dfrac{5}{16} \)
イ \( a=\dfrac{3}{4} \) とする。正方形 \( ABCD \) の面積を \( S \)，正方形 \( ABCD \) と \( △EPQ \) が重なっている部分の面積を \( T \) とするとき，\( S：T \) を最も簡単な整数の比で表せ。
\( a=\dfrac{3}{4} \) のとき，➁のグラフの式は \( y=\dfrac{3}{4}x^2 \) で，
点 \( P \) の \( x \) 座標が \( -4 \) なので，
\( y \) 座標は，\( y=\dfrac{3}{4} \times (-4)^2=12 \)
よって，点 \( P \) の座標は \( P(-4，12) \)
また，点 \( Q \) は \( y \) 軸に対して点 \( P \) と対称な点なので，
点 \( Q \) の座標は \( Q(-4，12) \)
辺 \( PQ \) と 辺 \( AD \) の交点を \( E \)，
辺 \( PQ \) と 辺 \( BC \) の交点を \( F \)，
辺 \( EP \) と 辺 \( AD \) の交点を \( G \)，
辺 \( EP \) と 辺 \( CD \) の交点を \( H \)，
辺 \( EQ \) と 辺 \( BC \) の交点を \( I \)，
辺 \( EQ \) と 辺 \( CD \) の交点を \( J \)，
とすると，
直線 \( EP \) の式は
傾き \( =\dfrac{21-12}{0-(-4)}=\dfrac{9}{4} \)
より，\( y=\dfrac{9}{4}x+21 \)
点 \( G \) は，\( y=\dfrac{9}{4}x+21 \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( -3 \) なので，\( y \) 座標は，
\( y=\dfrac{9}{4} \times (-3)+21=\dfrac{57}{4} \)
点 \( H \) は，\( y=\dfrac{9}{4}x+21 \) 上の点で，
\( y \) 座標が \( 15 \) なので，\( x \) 座標は，
\( 15=\dfrac{9}{4}x+21 \)
\( x=-\dfrac{8}{3} \)
正方形 \( ABCD \) と \( △EPQ \) が重なっている図形
部分は，
正方形 \( ABCD \) から長方形 \( ABFE \) と
\( △GDH，△ICJ \) をひいたものなので，
長方形 \( ABFE=3 \times 6=18 \)
\( △GDH=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8} \)
正方形 \( ABCD \) と \( △EPQ \) は，
どちらも \( y \) 軸に対して対称な図形なので，
\( △GDH≡△ICJ \)
正方形 \( ABCD \) の１辺の長さは \( 6 \) なので，
\( T=36-18-\dfrac{1}{8} \times 2=\dfrac{71}{4} \)
以上より，\( S：T=36：\dfrac{71}{4}=144：71 \)
大問５
右の図のように，ひし形 \( ABCD \) があり，\( △ABC \) と \( △ACD \) はともに正三角形である。また，辺 \( BC，CD \) 上にそれぞれ点 \( E，F \) を \( ∠AEF=60° \) となるようにとり，\( △AEF \) をつくる。このとき，次の問いに答えよ。
（１） ４点 \( A，E，C，F \) は同じ円周上にある。その理由を言葉や数，式などを使って説明せよ。
（２） \( △ABE≡△ACF \) であることを証明せよ。
\( △ABE \) と \( △ACF \) において，
仮定より，
\( ∠ABE=∠ACF=60° \) ･･･ ➀
\( AB=AC \) ･･･ ➁
４点 \( A，E，C，F \) は同じ円周上にあることから，
弧 \( AE \) に対する円周角なので，
\( ∠AFE=∠ACE \)
仮定より，\( ∠ACE=60° \) なので，
\( ∠AFE=60° \)
\( ∠AEF=∠AFE=60° \) より，
\( △AEF \) は正三角形なので，\( ∠EAF=60° \)
\( ∠BAE=∠BAC-∠EAC \)
\( =60°-∠EAC \) ･･･ ➂
\( ∠CAF=∠EAF-∠EAC \)
\( =60°-∠EAC \) ･･･ ➃
➂➃より，\( ∠BAE=∠CAF \) ･･･ ➄
➀➁➄より，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABE≡△ACF \)
（３） \( BE：EC=3：2 \) のとき，\( △ABC \) と \( △AEF \) の面積の比を，最も簡単な整数の比で表せ。
線分 \( AC \) と線分 \( EF \) の交点を \( G \) とし，
\( △ABC \) と \( △AFG \) に注目すると，
\( ∠BAE=∠FAG，∠ABE=∠AFG=60° \)
より，\( △ABC \) ∽ \( △AFG \)
\( BE：EC=3：2 \) より，\( BE= \)➂ とすると，
\( EC= \)➁，\( BC= \)➄と表すことができ，
\( △ABC \) は正三角形なので，\( AB=BC= \)➄
\( AE=x \) とすると，
\( △AEF \) は正三角形なので，\( AF=AE=x \)
ここから，
\( AB：AF=AE：AG \)
\( 5：x=x：AG \)
\( x^2=5AG \)
\( x=\sqrt{5AG} \) ･･･ (ア)
なので，\( AG \) の長さを求めます。
\( △AEC \) と \( △FGC \) に注目すると，
\( ∠ACE=∠FCG=60°，∠CAE=∠CFG \)
より，\( △ABC \) ∽ \( △AFG \)
\( CF=BE= \)➂，\( CA=BC= \)➄
なので，
\( CA：CF=EC：GC \)
\( 5：3=2：GC \)
\( GC=\dfrac{6}{5} \)
ここから，\( AG=CA-GC=\dfrac{19}{5} \)
(ア) に代入すると，\( x=\sqrt{19} \) なので，
\( △ABC \) と \( △AEF \) の相似比は
\( AB：AE=5：x=5：\sqrt{19} \)
相似な三角形の面積比は相似比の二乗の比と等しいので，
\( △ABC：△AEF=5^2：(\sqrt{19})^2=25：19 \)
