福島県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

\( △OBC \) は \( OB=OC \) の二等辺三角形なので，
\( ∠OCB=∠OBC=48° \) であり，
　\( ∠BOC=180°-48° \times 2=84° \)

\( ∠BOC \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) に対する中心角，
\( ∠BAC \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) に対する円周角
なので，
　\( ∠BAC=\dfrac{1}{2}∠BOC=42° \)

手順１　２点 \( O，P \) を通る直線を描く。
手順２　点 \( P \) を中心に円弧を描く。
(直線 \( OP \) との交点を \( A，B \) とします。)
手順３　２点 \( A，B \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( C \) とします。)

２点 \( C，P \) を通る直線が求める接線になります。

補助線 \( CI \) をひくと，
\( △CEI \) と \( △CBI \) において，
　\( CI \) は共通 ･･･ ➀
長方形の内角なので，
　\( ∠CEI=∠CBI \) ･･･ ➁
合同な長方形の重なり合う辺であったので，
　\( EC=BC \) ･･･ ➂
➀➁➂より，
斜辺と他の１組の辺が等しい直角三角形なので，
　\( △CEI≡△CBI \)
合同な三角形の対応する辺は等しいので，\( EI=BI \)

点 \( B \) は \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( 6 \) なので，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times 6^2=9 \)
直線 \( AB \) は，２点 \( A(-2，1)，B(6，9) \) を通るので，
　傾き \( =\dfrac{9-1}{6-(-2)}=1 \)
直線 \( AB \) の式を \( y=x+b \) とし，
\( x=6，y=9 \) を代入すると，
　\( 9=6+b \)
　\( b=3 \)

３点 \( P，Q，R \) の座標は，それぞれ
　\( P \left( t，\dfrac{1}{4}t^2 \right)，Q(t，t+3)，R(t，0) \)
と表すことができるので，
　\( QP=(t+3)-\dfrac{1}{4}t^2，PR=\dfrac{1}{4}t^2 \)
と表すことができます。

\( QP=PR \) であるとき，
　\( (t+3)-\dfrac{1}{4}t^2=\dfrac{1}{4}t^2 \)
　 \( 4(t+3)-t^2=t^2 \)
　 \( 2t^2ー4t-12=0 \)
　　　\( t^2ー2t-6=0 \)
　　　　　　　 \( t=\dfrac{2±\sqrt{4+24}}{2} \)
　　　　　　　　 \( =1+\sqrt{7} \) ( \( 0<t<6 \) より)

\( △QES \) と \( △DEF \) において，\( QS//DF \) より，
\( △QES \) ∽ \( △DEF \) なので，
　\( QS：DF=QE：DE \)
　　 \( QS：8=2：(2+1) \)
　　　 \( QS=\dfrac{16}{3} \; (cm) \)
\( △QES \) と \( △DEF \) についても同様なので，
　\( PR=\dfrac{16}{3} \; (cm) \)

\( AB=DE，AP：PB=1：2，DQ：QE=1：2 \) より，\( AP=DQ \)
さらに，\( AB//DE \) でもあるので，
１組の向かい合う辺が平行で長さが等しいので，
四角形 \( APQD \) は平行四辺形であり。
　\( PQ=AD=3\sqrt{2} \; cm \)

四角すい \( T-PRSQ \) は，
➀で底面 \( PRSQ \) の面積がわかっているので，
高さがわかれば体積を求めることができます。

\( T \) から面 \( BEFC \) に垂線をひき，
交点を \( U \) とすると，
四角すい \( T-PRSQ \) と四角すい \( U-PRSQ \) の
体積が等しくなります。

\( U \) から面 \( PRSQ \) に垂線をひき，
交点を \( V \) とすると，\( UV \) が高さとなるので，
\( UV \) を求めればいいことになります。

\( T \) は面 \( ACSQ \) 上の点なので，面 \( ACSQ \) に注目すると，
\( AC//QS \) より，\( △TAC \) ∽ \( △TSQ \) であり，
　\( TA：TS=AC：SQ=8：\dfrac{16}{3}=3：2 \)

\( T \) から線分 \( CS \) に垂線をひき，交点を \( U \) とすると，
\( CU \) は \( △TAC \) の高さ，\( SU \) は \( △TSQ \) の高さ
と考えることができ．
相似な三角形は高さの比も相似比と等しいので，
　\( CU：SU=3：2 \)

次に，\( △CRS \) に注目すると，
\( U \) から線分 \( RS \) に垂線をひき，交点を \( V \) とすると，
\( UV \) は，四角すい \( U-PRSQ \) の高さになります。

\( △SUV \) と \( △SCR \) において，
\( CR//UV \) なので，\( △SUV \) ∽ \( △SCR \) であり，
　\( UV：CR=SU：SC \)
　　 \( UV：2=2：(2+3) \)
　　　　\( UV=\dfrac{4}{5} \; (cm) \)