大問１
（１） 次の計算をしなさい。
１ \( (-4) \times (-7) \)
２ \( -\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3} \)
３ \( (-2a)^3 \times 2b \)
４ \( \sqrt{12}+\sqrt{3} \)
（２） 正五角形の１つの外角の大きさを求めなさい。
多角形の外角の和は必ず \( 360° \) になります。
また，正五角形の内角はすべて等しいので，
外角もすべて等しくなっています。
よって，正五角形の１つの外角の大きさは，
\( 360° \div 5=72° \)
大問２
（１） １本 \( 80 \) 円のえんぴつを \( a \) 本買うのに，５００円玉１枚を出した。このときのおつりを，\( a \) を使った式で表しなさい。ただし，消費税は考えないものとする。
（２） \( y \) が \( x \) の１次関数で，変化の割合が \( 2 \) で，\( x=-3 \) のとき \( y=7 \) となる１次関数の式を求めなさい。
（３） \( x^2-3x-10 \) を因数分解しなさい。
（４） 半径 \( 3 \; cm \) の球と底面の半径が \( 6 \; cm \) の円錐がある。球と円錐の体積が等しいとき，この円錐の高さを求めなさい。
（５） ある学級の生徒 \( 33 \) 人が，６月，９月，１２月にそれぞれ１回ずつ \( 50 \) 点満点の数学のテストを受けた。
下の図は，６月，９月，１２月に受けた数学のテストの得点の分布のようすを箱ひげ図に表したものである。
このとき，箱ひげ図から読みとれることとして正しいものを，次のア～エの中から１つ選び，記号で答えなさい。
ア 範囲が最も大きいのは，９月である。
イ 四分位範囲は，６月より１２月のほうが大きい。
ウ ６月，９月，１２月のテストの得点の合計が \( 135 \) 点以上の生徒がかならずいる。
エ ６月のテストの得点が \( 40 \) 点以上の生徒は \( 8 \) 人以上いる。
ア 範囲は「最大値 \( – \) 最小値」で求められます。
６月 ･･･ \( 45-5=40 \)（点）
９月 ･･･ \( 46-10=36 \)（点）
１２月 ･･･ \( 48-4=44 \)（点）
となるので，最も大きいのは１２月になります。
イ 四分位範囲は「第三四分位数 \( – \) 第一四分位数」で求められます。
６月 ･･･ \( 42-14=28 \)（点）
１２月 ･･･ \( 39-15=24 \)（点）
となるので，６月の方が大きくなっています。
ウ 箱ひげ図のデータからだけでは，複数の箱ひげ図における個人のデータの合計値を特定することは
できません。
エ \( 33 \) 人のデータを集計しているので，第三四分位数は大きい方から８番目と９番目の平均値に
なります。
６月の箱ひげ図の第三四分位数は \( 42 \) 点なので，得点が高い方から８番目の人の得点は
\( 42 \) 点以上になっています。
よって，得点が \( 40 \) 点以上の生徒は \( 8 \) 人以上いるとわかります。
大問３
（１） 右の図のように，袋の中に \( 0，1，2，3，4 \) の数字が１つずつ書かれた５枚のカードが入っている。
この袋の中からカードを１枚取り出し，そのカードに書かれた数を \( a \) とする。次に，その取り出したカードを袋の中にもどさず，残り４枚のカードから１枚取り出し，そのカードに書かれた数を \( b \) とする。
ただし，どのカードを取り出すことも同様に確からしいものとする。
１ \( ab+a=3 \) となる場合は何通りあるか求めなさい。
下の図のようになり，\( ab+a=3 \) となる場合は２通りになります。
２ \( ab+a \) の値が偶数となる確率を求めなさい。
その確率は，\( \dfrac{14}{20}=\dfrac{7}{10} \)
（２） 次の図１，図２のように，１辺が \( 1 \; cm \) の正方形を用いて，１番目，２番目，３番目，４番目，･･･ と，規則正しく並べて図形をつくっていく。
図１は，正方形を縦に２個並べた長方形を，１番目は１個，２番目は２個，３番目は３個，４番目は４個のように，長方形の縦の辺が \( 1 \; cm \) ずつ上下を交互に重なるように並べていったものである。
図２は，正方形を，１番目は１個，２番目は３個，３番目は６個，４番目は１０個のように，２番目の図形以降では，１段増やすごとに，その段の数と同じ個数の正方形を加え，三角形の形になるようにすきまなく並べていったものである。
なお，図１，図２それぞれの太い線（ー）の長さを図形の周の長さとする。
１ 図１の４番目の図形の周の長さから図２の４番目の図形の周の長さをひいたときの差を求めなさい。
２ 図１の \( n \) 番目の図形の周の長さを \( K \; cm \)，図２の \( n \) 番目の図形の周の長さを \( L \; cm \) とする。\( K \) から \( L \) をひいたときの差について，どのようなことがいえるか。次のア～ウの中から正しいものを１つ選び，記号で答えなさい。また，\( K，L \) を，それぞれ \( n \) を使った式で表し，選んだものが正しい理由を説明しなさい。ただし，\( n \) は自然数とする。
ア 正の数になることも，負の数になることもある。
イ 一定である。
ウ \( 10 \) より大きくなることもある。
図１の４番目までの周の長さを数えていくと，
\( 6 \; cm \) → \( 10 \; cm \) →\( 14 \; cm \) →\( 18 \; cm \) ･･･
と \( 4 \; cm \) ずつ増えていて，それぞれの長さを
\( 6+4 \times 0 \; cm \) → \( 6+4 \times 1 \; cm \) →\( 6+4 \times 2 \; cm \) →\( 6+4 \times 3 \; cm \) ･･･
と考えると，\( n \) 番目の図形の周の長さ \( K \; cm \) は
\( K=6+4(n-1)=4n+2 \; (cm) \)
と表すことができます。
【\( L \; cm \) を \( n \) を使った式で表す】
図２の４番目までの周の長さを数えていくと，
\( 4 \; cm \) → \( 8 \; cm \) →\( 12 \; cm \) →\( 16 \; cm \) ･･･
と \( 4 \; cm \) ずつ増えていて，それぞれの長さを
\( 4+4 \times 0 \; cm \) → \( 4+4 \times 1 \; cm \) →\( 4+4 \times 2 \; cm \) →\( 4+4 \times 3 \; cm \) ･･･
と考えると，\( n \) 番目の図形の周の長さ \( L \; cm \) は
\( L=4+4(n-1)=4n \; (cm) \)
と表すことができます。
大問４
ひろとさんは,家族旅行の計画を立てるために，自家用車で自宅から目的地に着くまでの時間と道のりについて調べ，次の＜メモ＞にまとめた。
ただし，＜メモ＞は高速道路を時速 \( 90 \; km \)，ふつうの道路を時速 \( 40 \; km \) で走ると仮定したときのものである。
・ 自宅から目的地に着くまでの時間は，全体で \( 3.5 \) 時間である。
・ 自宅から目的地に着くまでの道のりは，全部で \( 280 \; km \) である。
このとき，高速道路を走る時間とふつうの道路を走る時間は，それぞれ何時間か，求めなさい。
また，求める過程も書きなさい。
大問５
右の図において，四角形 \( ABCD \) は平行四辺形であり，点 \( O \) は対角線 \( BD \) の中点である。辺 \( AD \) 上に点 \( E \) をとり，直線 \( EO \) と辺 \( BC \) との交点を \( F \) とする。
次の［証明］は，\( △ABE≡△CDF \) となることを証明したものである。
このとき，次の（１），（２）の問いに答えなさい。
［証明］
\( △OBF \) と \( △ODE \) において
仮定から \( OB=OD \) ･･･ ➀
対頂角は等しいから \( ∠BOF=∠DOE \) ･･･ ➁
\( AD//BC \) より，平行線の Ⅰ は等しいから
\( ∠OBF=∠ODE \) ･･･ ➂
➀，➁，➂ より， Ⅱ がそれぞれ等しいから
\( △OBF≡△ODE \)
合同な図形の対応する辺は等しいから
\( BF=DE \) ･･･ ➃
Ⅲ
（１） Ⅰ ， Ⅱ にあてはまることばの組み合わせとして正しいものを，次のア～エの中から１つ選び，記号で答えなさい。
ア Ⅰ 同位角 Ⅱ １組の辺とその両端の角
イ Ⅰ 同位角 Ⅱ ２組の辺とその間の角
ウ Ⅰ 錯角 Ⅱ １組の辺とその両端の角
エ Ⅰ 錯角 Ⅱ ２組の辺とその間の角
（２） Ⅲ に証明の続きを書き，［証明］を完成させなさい。
ただし，［証明］の中の➀～➃に示されている関係を使う場合は，番号の➀～➃を用いてもよい。また，新たな関係に番号をつける場合は，➄以降の番号を用いなさい。
大問６
右の図のように，関数 \( y=-x^2 \) のグラフ上に２点 \( A，B \) がある。\( A \) の \( x \) 座標は \( -2 \) であり，線分 \( AB \) は \( x \) 軸に平行である。また，２点 \( O，B \) を通る直線を \( l \) とする。
このとき，次の（１），（２）の問いに答えなさい。
（１） 点 \( A \) の \( y \) 座標を求めなさい。
（２） 関数 \( y=-x^2 \) のグラフ上に点 \( C \) をとり，\( C \) の \( x \) 座標を \( t \) とする。ただし，\( t<-2 \) とする。
また，\( C \) を通り \( x \) 軸に平行な直線と \( l \) との交点を \( D \) とする。
１ \( t=-3 \) のとき，点 \( D \) の \( x \) 座標を求めなさい。
\( t=-3 \) のとき，点 \( C \) は \( y=-x^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( -3 \) なので，\( y \) 座標は，
\( y=-(-3)^2=-9 \)
また，（１）より点 \( B \) は \( y=-x^2 \) 上の点で，
\( y \) 座標が \( -4 \) なので，\( x \) 座標は，
\( -4=-x^2 \)
\( x=2 \)（\( x>0 \) より）
ここから，直線 \( l \) は原点と \( B(2，-4) \) を通るので，直線 \( l \) の式は，\( y=-2x \) です。
点 \( D \) は \( y=-2x \) 上の点で，
\( y \) 座標が \( -9 \) なので，\( x \) 座標は，
\( -9=-2x \)
\( x=\dfrac{9}{2} \)
２ 線分 \( OD \) 上に \( DE=\sqrt{5} \) となる点 \( E \) をとる。\( △CDE \) の面積が \( △OAB \) の面積と等しくなるときの \( t \) の値を求めなさい。
点 \( C \) の \( x \) 座標が \( t \) のとき，
\( y \) 座標は \( -t^2 \) と表すことができます。
このとき，点 \( D \) は \( y=-2x \) 上の点で，
\( y \) 座標が \( -t^2 \) なので，\( x \) 座標は，
\( -t^2=-2x \)
\( x=\dfrac{t^2}{2} \)
と表すことができます。
また，\( DE=\sqrt{5} \) となるとき，\( DE \) を斜辺とする
直角三角形を考えると，直角をなす２辺の長さは
\( 1 \) と \( 2 \) になります。
点 \( D，E \) が \( y=-2x \) 上の点であることから，
点 \( E \) は \( x \) 座標が点 \( D \) より \( 1 \) 小さく，
\( y \) 座標が点 \( D \) より \( 2 \) 大きい点になります。
以上より，\( △CDE \) の底辺を \( CD \) とすると，\( △CDE \) の面積は，
\( △CDE=\left( \dfrac{t^2}{2}-t \right) \times 2 \times \dfrac{1}{2} \)
\( =\dfrac{t^2}{2}-t \)
と表すことができ，
\( △OAB \) の面積は，
\( △OAB=4 \times 4 \times \dfrac{1}{2}=8 \)
になります。
以上より，\( △CDE \) の面積が \( △OAB \) の面積と等しくなるとき，
\( \dfrac{t^2}{2}-t=8 \)
\( t^2-2t=16 \)
\( t^2-2t-16=0 \)
\( t=\dfrac{-(-2)±\sqrt{(-2)^2-4 \times 1 \times (-16)}}{2 \times 1} \)
\( =\dfrac{2±\sqrt{68}}{2} \)
\( =1-\sqrt{17} \) （\( t<-2 \) より）
大問７
右の図のような，底面が \( AB=DE=2\sqrt{7} \; cm \)，
\( BC=EF=6 \; cm，AC=DF=4 \; cm \) の
三角形で，高さが \( 8 \; cm \) の三角柱がある。
なお，\( △DEF \) の３つの角はすべて鋭角である。
辺 \( BE \) 上に \( AD=AP \) となる点 \( P \) をとる。
このとき，次の（１），（２）の問いに答えなさい。
（１） 線分 \( BP \) の長さを求めなさい。
（２） 線分 \( CP \) 上に \( QC=QF \) となる点 \( Q \) をとる。
１ \( △QEF \) の面積を求めなさい。
面 \( BEFC \) に注目すると，\( QC=QF \) より
\( △QCF \) は二等辺三角形になっています。
点 \( Q \) から線分 \( CF \) に垂線をひいた交点を \( G \) と
すると，点 \( G \) は線分 \( CF \) の中点なので，
\( CF=AD=8 \; cm \) より \( GF=4 \; cm \) になっています。
\( △QEF \) の底辺を \( EF \) とすると，
高さは \( GF \) と等しいので，
\( △QEF \) の面積は，
\( △QEF=6 \times 4 \times \dfrac{1}{2}=12 \; (cm^2) \)
２ \( D \) を頂点とし，四角形 \( EFQP \) を底面とする四角錐の体積を求めなさい。
点 \( Q \) から線分 \( BE \) に垂線をひいた交点を \( H \) と
すると，\( BH=CG=4 \; cm \) であり，\( BP=6 \; cm \) であることから，
\( PH=6-4=2 \; (cm) \)
\( △QPH \) ∽ \( △QCG \) であり，
対応する辺の比は等しいので，
\( HQ：QG=PH：CG=1：2 \)
\( HG=EF=6 \; cm \) なので，
\( HQ=\dfrac{1}{3}HG=2 \; (cm) \)
また，\( BE=AD=8 \; cm，BP=6 \; cm \) より \( PE=2 \; cm \) なので，
\( △QEP \) の面積は，
\( △QEP=2 \times 2 \times \dfrac{1}{2}=2 \; (cm^2) \)
よって，底面の四角形 \( EFQP \) の面積は，
\( △QEF+△QEP=12+2=14 \; (cm^2) \)
次に，四角すいの高さを求めます。
\( △DEF \) で，点 \( D \) から線分 \( EF \) に垂線を
ひいた交点を \( J \) とし，\( EJ=x \; cm \) とすると，
\( △DEJ \) と \( △DFJ \) において，
三平方の定理より，
\( DE^2-EJ^2=DF^2-FJ^2 \)
\( (2\sqrt{7})^2-x^2=4^2-(6-x)^2 \)
\( 28-x^2=16-(36-12x+x^2) \)
\( x=4 \)
なので，
\( DJ^2=(2\sqrt{7})^2-4^2=12 \)
\( DJ=2\sqrt{3} \; (cm) \)（ \( EJ>0 \) より）
以上より，求める四角すいの体積は，
\( 14 \times 2\sqrt{3} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{28\sqrt{3}}{3} \; (cm^3) \)
