大問１
(1) 次のア～オの計算をしなさい。
ア \( -4-7 \)
イ \( 5+(-3^2) \times 2 \)
ウ \( 4ab^3 \div \dfrac{10}{7}ab^2 \)
エ \( \dfrac{x-3y}{2}-\dfrac{x-5y}{8} \)
オ \( \sqrt{96} \times \dfrac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{27} \)
（２） 次の方程式を解きなさい。
\( 3x^2-5x+1=0 \)
（３） 右の図のように，面積が \( 10 \; cm^2 \) の平行四辺形の底辺を \( x \; cm \)，高さを \( y \; cm \) とする。このとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。
（４） 関数 \( y=ax^2 \) について，\( x \) の変域が \( -2≦x≦3 \) のとき，\( y \) の変域が \( 0≦y≦15 \) である。このとき，\( a \) の値を求めなさい。
関数 \( y=ax^2 \) において，\( x \) の変域が \( 0 \) を含んでいるとき，
\( a>0 \) であれば，\( y \) の最小値が \( 0 \)，
\( a<0 \) であれば，\( y \) の最大値が \( 0 \)
になります。
ここから，\( a>0 \) であるとわかります。
\( a>0 \) の場合，
\( x \) の絶対値が最大になるときに \( y \) は最大値をとります。
\( -2≦x≦3 \) のうち，絶対値が最大になるのは
\( x=3 \) のときなので，このときの \( y \) の値は，
\( y=a \times 3^2=9a \)
であり，これが最大値 \( 15 \) になるので，
\( 9a=15 \)
\( a=\dfrac{5}{3} \)
（５） １から６までの目が出る大小２つのさいころを同時に１回投げて，大きいさいころの出た目の数を \( a \)，小さいさいころの出た目の数を \( b \) とする。このとき，\( a+2b=10 \) となる確率を求めなさい。ただし，２つのさいころはともに，どの目が出ることも同様に確からしいとする。
\( a+2b=10 \) となる組み合わせは３通り，すべての組み合わせは３６通りなので，
求める確率は \( \dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12} \)
大問２
Ａ中学校の３年１組の生徒 \( 40 \) 人に，\( 10 \) 点満点のテストを実施した。右の表は，テストの得点について，度数および相対度数をまとめたものである。このとき，次の（１），（２）に答えなさい。
（１） 表の \( \fbox{ a } \) にあてはまる数を求めなさい。ただし，小数第３位を四捨五入して，小数第２位まで求めること。
（２） 右の図は，テストの得点の分布のようすを箱ひげ図に表したものである。
このとき，表の \( \fbox{ b }，\fbox{ c }，\fbox{ d } \) にあてはまる数の組み合わせとして適当でないものを，次のア～エから１つ選び，その符号を書きなさい。また，そう判断した理由を，この箱ひげ図をもとに説明しなさい。 説明においては，図や表，式などを用いてよい。
ア \( b=5 \;\; c=4 \;\; d=1 \) イ \( b=5 \;\; c=2 \;\; d=3 \)
ウ \( b=4 \;\; c=4 \;\; d=3 \) エ \( b=4 \;\; c=3 \;\; d=3 \)
大問３
Ａさんは，登山口から山頂までの道のりが \( 1200 \; m \) である山に登った。午前 \( 9 \) 時に登山口を出発し，山頂まで一定の速さで歩いて登った。山頂で \( 20 \) 分間休んだ後，一定の速さで歩いて下山し，登山口に戻った。
次の図は，Ａさんが移動するようすについて，Ａさんが登山口を出発してから \( x \) 分後に，登山口からの道のりが \( y \; m \) の地点にいるとして，\( x \) と \( y \) の関係をグラフに表したものである。
このとき，次の（１）～（３）に答えなさい。なお，登山口は１つしかなく，登山口と山頂を結ぶ道も１本しかないものとする。
（１） 図のグラフより，Ａさんが山頂から歩いて下山し，登山口に戻るまでにかかった時間は何分間か，求めなさい。
登山口に戻ってきたのは，登山口を出発してから \( 90 \) 分後なので，
下山にかかった時間は \( 30 \) 分間。
（２） Ａさんが登山口を出発した午前 \( 9 \) 時に，Ｂさんは山頂から分速 \( 40 \; m \) で歩いて下山を開始したが，\( 200 \; m \) 歩いたところで忘れ物に気づき，同じ速さで山頂に引き返した。山頂で忘れ物を探し，見つけた後，分速 \( 20 \; m \) で歩いて再び下山を開始した。 その後，登ってきたＡさんと午前 \( 9 \) 時 \( 30 \) 分にすれちがった。
Ｂさんが最初に下山を開始してから \( x \) 分後に，登山口からの道のりが y \; m の地点にいるとする。午前 \( 9 \) 時から午前 \( 9 \) 時 \( 30 \) 分までのＢさんが移動するようすについて，\( x \) と \( y \) の関係を表すグラフを図にかき入れ，Ｂさんが山頂に戻ってから再び下山を開始するまでの時間は何分間か，求めなさい。
\( 200 \div 40=5 \)（分）
これをグラフに書き込むと，赤の直線になります。
そこから，同じ速さで山頂に戻ったので，\( 5 \) 分かけて山頂まで戻ることになり，
これをグラフに書き込むと，青の直線になります。
その後，再び下山を開始してからは，分速 \( 20 \; m \) で歩いたので，
これを表す直線は \( x \) 方向に１マス進むごとに \( y \) 方向に－１マス進む右下がりの直線になります。
ＡさんとＢさんは午前 \( 9 \) 時 \( 30 \) 分にすれちがったので，
\( x=30 \) のところの黒の直線 \( (x，y)=(30，900) \) が終点になるように右下がりの直線を書くと，
緑の直線になります。
このとき，青の直線の終点と緑の直線の始点をつないだ紫の直線が
山頂で忘れ物を探していた時間を表していることになります。
よって，忘れ物を探していた時間は \( 5 \) 分間。
（３） Ｃさんは，Ａさんより後に登山口を出発して，Ａさんが山頂まで登ったときと同じ速さで歩き，Ａさんが下山を開始した午前 \( 10 \) 時に登山口からの道のりが \( 400 \; m \) の地点にいた。Ｃさんが登山口を出発したのは，Ａさんが登山口を出発してから何分何秒後か，求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。
大問４
あるバスケットボールの試合において，Ａチームは \( 3 \) 点シュート，\( 2 \) 点シュート，\( 1 \) 点のフリースローの合計得点が \( 68 \) 点であり，そのうち \( 1 \) 点のフリースローによる得点は \( 8 \) 点であった。Ａチームはこの試合で，\( 3 \) 点シュート，\( 2 \) 点シュート，\( 1 \) 点のフリースロー合わせて \( 80 \) 本のシュートをして，そのうち \( 45 \; \% \) のシュートを決めた。
Ａチームがこの試合で決めた \( 3 \) 点シュートと \( 2 \) 点シュートはそれぞれ何本か，方程式をつくって求めなさい。 なお，途中の計算も書くこと。
大問５
右図のように，２点 \( A，B \) を通る直線 \( l \) と，\( l \) 上にない点 \( C \) がある。
これを用いて，次の の中の条件①，②をともに満たす点 \( P \) を作図しなさい。ただし，作図に用いた線は消さないこと。
② 点 \( P \) は，２点 \( B，C \) を通る円の中心である。
手順１ 点 \( A \) を中心に円弧を描く。
（直線 \( l \) との交点を \( D，E \) とします。）
手順２ 点 \( D，E \) を中心に円弧を描く。
（交点を \( F \) とします。）
手順３ ２点 \( A，F \) を通る直線を描く。
手順４ 点 \( B，C \) を中心に円弧を描く。
（交点を \( G，H \) とします。）
手順５ ２点 \( G，H \) を通る直線を描く。
手順３と手順５の直線の交点が求める点 \( P \) になります。
２点 \( B，C \) を通る円の中心は，弦 \( BC \) の垂直二等分線上にあることになります。
垂直二等分線と円 \( O \) の交点を \( D，E \)，線分 \( DE \) 上の任意の点を点 \( O’ \) とすると，
\( △O’AC \) と \( △O’BC \) において，
\( AC=BC \) ･･･ ➀
\( ∠O’CA=∠O’CB=90° \) ･･･ ➁
\( O’C \) は共通 ･･･ ➂
➀➁③より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
\( △O’AC≡△O’BC \)
対応する辺は等しいので，\( O’A=O’B \)
つまり，点 \( O’ \) が線分 \( DE \) 上のどの位置に
あっても \( O’A=O’B \) になります。
中心 \( O \) について，半径なので，\( OA=OB \) であることから，
線分 \( DE \) の中点が中心 \( O \) になります。
よって，円の中心は必ず任意の弦の垂直二等分線上にあるといえます。
大問６
図１～図３のように，１辺の長さが \( 4 \; cm \) の正方形 \( ABCD \) に，円 \( O \) が４点 \( E，F，G，H \) で接している。
このとき，次の（１）～（３）に答えなさい。
（１） 図１のように，点 \( F \) を含まない 弧 \( EH \) 上に点 \( I \) をとる。このとき，\( ∠FIG \) の大きさを求めなさい。
補助線 \( OF，OG \) をひくと，
\( OF⊥BC，OG⊥CD，∠BCD=90° \) なので，
四角形 \( OFCG \) において，
\( ∠FOG=360°-90° \times 3=90° \)
\( ∠FIG \) は，弧 \( FG \) の円周角，
\( ∠FOG \) は，弧 \( FG \) の中心角なので，
\( ∠FIG=\dfrac{1}{2} \times 90°=45° \)
（２） 図２のように，線分 \( AC \) と円 \( O \) との交点のうち，点 \( A \) に近い方を点 \( J \)，もう一方を点 \( K \) とする。また，直線 \( DK \) と円 \( O \) との交点のうち点 \( K \) 以外の交点を \( L \)，直線 \( DK \) と辺 \( BC \) の交点を \( M \)，直線 \( JL \) と \( AD \) との交点を \( N \) とする。
このとき，\( △CDM \) ∽ \( △LND \) であることを証明しなさい。
正方形の内角なので，\( ∠DCM=∠CDA=90° \) ･･･ ➀
直径に対する円周角なので，\( ∠JLK=90° \)
４点 \( D，L，K，M \) は一直線上にあるので，\( ∠NLD=180°- ∠JLK=90° \) ･･･ ➁
➀➁より，\( ∠DCM=∠NLD=90° \) ･･･ ➂
\( ∠DMC=180°-(∠CDM+∠DCM)=90°-∠CDM \) ･･･ ➃
\( ∠NDL=∠CDA-∠CDM=90°-∠CDM \) ･･･ ➄
➃➄より，\( ∠DMC=∠NDL \) ･･･ ⑥
➂➅より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △CDM \) ∽ \( △LND \)
（３） 図３のように，点 \( F \) を中心として線分 \( FH \) を半径とする円 \( F \) と辺 \( AB \) との交点を \( P \)，円 \( F \) と半直線 \( CB \) との交点を \( Q \) とする。また，線分 \( FP \) と円 \( O \) との交点のうち，点 \( F \) 以外の交点を \( R \) とする。
このとき，弧 \( PQ \)，線分 \( QF \)，弧 \( FR \)，線分 \( RP \) で囲まれた 部分の面積を求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。
【おうぎ形 \( FPQ \) の中心角】
\( FH=CD=4 \; cm \) より，おうぎ形 \( FPQ \) は半径 \( 4 \; cm \) のおうぎ形であり，
\( FP=4 \; cm，FB=\dfrac{1}{2}BC=2 \; cm，∠PBF=90° \) より，
\( △PBF \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形なので，中心角 \( BFP \) は，\( 60° \) になっています。
【 部分の面積】
部分は，おうぎ形 \( OFR \) から \( △OFR \) の部分を取り除いた形になっています。
\( ∠OFR=90°-∠BFP=30° \) であり，\( OR=OF \) より，\( ∠ORF=∠OFR=30° \) なので，
\( ∠ROF=180°-(30°+30°)=120° \)
\( △OFR \) において，点 \( O \) から線分 \( RF \) に垂線をひき，交点を \( S \) とすると，
\( △OFS \) と \( △ORS \) はどちらも斜辺が \( 2 \; cm \) で \( 30°，60°，90° \) の
直角三角形になっています。
大問７
図１～図３のように，底面 \( ABC \) が \( AB=4 \; cm，BC=3 \; cm，AC=5 \; cm \) の直角三角形で，高さ \( AD=10 \; cm \) の三角柱 \( ABC-DEF \) がある。
このとき，次の（１）～（３）に答えなさい。
（１） 図１において，辺 \( AB \) とねじれの位置にある辺をすべて書きなさい。
平行ではない辺になります。
（２） 図２において，辺 \( BE，DE \) の中点をそれぞれ \( G，H \) とする。また，辺 \( EF \) 上に点 \( I \) を，\( EI=IF=2:1 \) となるようにとる。
このとき，\( △GHI \) の面積を求めなさい。 なお，途中の計算も書くこと。
\( HI=\sqrt{2}EH=2\sqrt{2} \; (cm) \)
\( GH^2=5^2+2^2=29 \)
\( GH=\sqrt{29} \; (cm) \) (\( GH>0 \) より)
\( △GEH≡△GEI \) なので，\( GI=GH=\sqrt{29} \; (cm) \)
\( △GHI \) の高さを \( GJ \) とすると，
\( GJ^2=(\sqrt{29})^2-(\sqrt{2})^2=27 \)
\( GJ=3\sqrt{3} \; (cm) \) (\( GJ>0 \) より)
よって，\( △GHI \) の面積は，
\( 2\sqrt{2} \times 3\sqrt{3} \times \dfrac{1}{2}=3\sqrt{6} \; (cm^2) \)
（３） 図３において，辺 \( AD \) 上に点 \( J \) を，辺 \( BE \) 上に点 \( K \) を，辺 \( CF \) 上に点 \( L \) を，平面 \( JKL \) が平面 \( DEF \) と平行になるようにとる。線分 \( BD \) と \( JK \) の交点を \( M \) とするとき，三角錐 \( CKLM \) の体積が \( 10 \; cm^3 \) であった。
このとき，線分 \( CL \) の長さを求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。
\( CL=x \; cm \) とすると，\( BK=CL=x \; cm \) であり，
\( MK//DE \) より，\( △BMK \) ∽ \( △BDE \) なので，
\( MK：DE=BK：BE \)
\( MK：4=x：10 \)
\( MK=\dfrac{2}{5}x \; (cm) \)
三角錐 \( CKLM \) の体積が \( 10 \; cm^3 \) なので，
\( \left( \dfrac{2}{5}x \times 3 \times \dfrac{1}{2} \right) \times x \times \dfrac{1}{3}=10 \)
\( x^2=50 \)
\( x=5\sqrt{2} \; (cm) \)
よって，\( CL=5\sqrt{2} \; cm \)
