大問１
（１） \( 2+(-4) \) を計算しなさい。
（２） \( 9 \times \dfrac{x-2}{3} \) を計算しなさい。
（３） \( 4\sqrt{3}-\sqrt{12} \) を計算しなさい。
（４） \( x^2-3x-18 \) を因数分解しなさい。
（５） ２次方程式 \( (x-2)^2=5 \) を解きなさい。
大問２
連続する２つの奇数を，文字を用いた式で表します。\( n \) を整数とするとき，連続する２つの奇数をそれぞれ，\( n \) を用いた式で表しなさい。
偶数は「２で割り切れる数」のことをいうので，ある偶数を \( 2n \) と表すことができ，
このとき，奇数は \( 2n \) より１大きい数なので，\( 2n+1 \) と表すことができます。
また，その次の奇数はもとの奇数より２大きい数なので，
\( (2n+1)+2=2n+3 \) と表すことができます。
大問３
右の表は，\( y \) が \( x \) に比例するときの，\( x \) の値に対応する \( y \) の値を表しています。この比例の関係について，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。
\( y \) が \( x \) に比例するとき，\( x \) と \( y \) の関係は，\( y=ax+b \) の形で表されます。
表から，\( x \) の値が \( 1 \) 増えるごとに \( y \) の値は \( 3 \) ずつ増えているので，
傾き \( a=3 \) になります。
また，表から，\( x=0 \) のとき，\( y=0 \) なので，
切片 \( b=0 \) になります。
よって，求める式は \( y=3x \) になります。
大問４
（１） 右の図で， \( △ABC \) ∽ \( △DBA \) のとき，\( BD \) の長さを求めなさい。
\( AB：DB=BC：BA \)
\( 6：DB=10：6 \)
\( 10DB=36 \)
\( DB=\dfrac{18}{5} \; (cm) \)
（２） 右の図で，３点 \( A，B，C \) が円 \( O \) の周上にあります。点 \( A \) を通る接線と直線 \( OB \) との交点を \( P \) とします。\( ∠OPA=24° \) のとき，∠x の大きさを求めなさい。
円の半径と接線は接点において垂直に交わるので，
\( ∠OAP=90° \)
\( △OAP \) において，
\( ∠OAB=180°-(∠OAP+∠OPA) \)
\( =180°-(90°+24°) \)
\( =66° \)
\( ∠AOB \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する中心角，\( ∠ACB \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する円周角なので，
\( ∠x=\dfrac{1}{2}∠AOB=33° \)
（３） 次のア～エのことがらのうち，正しいものを一つ選び，その記号を書きなさい。
ア 台形は，ひし形である。
イ 長方形は，正方形である。
ウ ひし形は，平行四辺形である。
エ 平行四辺形は，長方形である。
大問５
右の図で，点 \( P \) を，直線 \( l \) を対称の軸として対称移動させた点を作図によって求め，●印で示しなさい。
ただし，作図には定規とコンパスを用い，作図に使った線は消さないでおくこと。
手順１ 点 \( P \) を中心に 円弧を描く。
（直線 \( l \) との交点を \( A，B \) とします。）
手順２ ２点 \( A，B \) を中心に 円弧を描く。
（交点を \( C \) とします。）
手順３ ２点 \( C，P \) を通る直線を描く。
（直線 \( l \) との交点を \( D \) とします。）
手順４ 点 \( D \) を中心に 線分 \( DP \) を半径とする円弧を描く。
手順４の円弧と手順３の直線の交点が求める点になります。
大問６
太郎さんは，令和２年から令和５年までの４年間について，自分が住んでいる町の風力発電所の供給電力量を調べました。次の表は，それぞれの年の１月から１２月までの月ごとの供給電力量について，代表値をまとめたものです。また，下の図は，分布のようすを箱ひげ図に表したものです。
このとき,次の（１），（２）の問いに答えなさい。
（１） 令和５年の四分位範囲を求めなさい。
四分位範囲は，「第３四分位数 \( – \) 第１四分位数」で求めることができるので，
\( 516-366=150 \) 万 \( kWh \)
（２） 次のア～エのうち，太郎さんが住んでいる町の風力発電所の月ごとの供給電力量について，表や図から読み取れることとして正しいものはどれですか。一つ選び，その記号を書きなさい。
ア ４年間の中で範囲が最も大きいのは，令和３年である。
イ 令和４年は，供給電力量が \( 510 \) 万 \( kWh \) の月が必ずある。
ウ 令和３年は，供給電力量が \( 520 \) 万 \( kWh \) 以上だった月が少なくとも３つある。
エ ４年間の中で中央値が最も大きいのは令和２年であるから，平均値も最も大きい。
大問７
さやかさんが住んでいる町の商店街で，イベントが開かれることになりました。このイベントでは，買い物をした人に賞品があたるくじ引きを行います。
右の図のように，１，２の数字が１つずつ書いてある赤球２個と３，４，５の数字が１つずつ書いてある白球３個が箱の中に入っています。くじ引きでは，この箱の中から２個の球を取り出し，同じ色の球を取り出すと賞品があたります。
このとき，次の（１），（２）の問いに答えなさい。
（１） この箱の中から，同時に２個の球を取り出すとき，取り出した球に書いてある数字の組み合わせは全部で何通りありますか。
取り出した球に書いてある数字の組み合わせを樹形図にして書き出すと，下の１０通りになります。
（２） このくじ引きの担当になったさやかさんのお父さんは，より多くの人に賞品があたるように２個の球を取り出す方法を考えています。
くじ引きをするとき，次のＡの方法とＢの方法のうち，賞品があたりやすいのは，Ａの方法ですか，Ｂの方法ですか，どちらも同じですか。その理由を確率を用いて説明しなさい。
ただし，どの球を取り出すことも同様に確からしいものとします。
Ａ 球を１個取り出して球の色を確認する。取り出した球を箱の中にもどさずに，続けてもう１個取り出す。
Ｂ 球を１個取り出して球の色を確認した後，取り出した球を箱の中にもどし，再び箱の中から１個取り出す。
取り出した球に書いてある数字の組み合わせを樹形図にして書き出し，
賞品があたる組み合わせのところに ○ をつけると，
全ての組み合わせは２０通り，景品があたる組み合わせは８通りなので，
確率は \( \dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5} \left(=\dfrac{10}{25} \right) \)
【Ｂの方法で景品があたる確率】
取り出した球に書いてある数字の組み合わせを樹形図にして書き出し，
賞品があたる組み合わせのところに ○ をつけると，
全ての組み合わせは２５通り，景品があたる組み合わせは１３通りなので，
確率は \( \dfrac{13}{25} \)
大問８
一郎さんは，\( 85 \) 円切手と \( 110 \) 円切手を合わせて \( 18 \) 枚買うために郵便局へ行きました。ところが，\( 85 \) 円切手と \( 110 \) 円切手それぞれの必要な枚数を間違えて，逆に注文したため，はじめに買う予定にしていた金額よりも \( 200 \) 円高くなりました。
このとき，一郎さんがはじめに買う予定にしていた \( 85 \) 円切手と \( 110 \) 円切手の枚数をそれぞれ求めなさい。
ただし，用いる文字が何を表すかを示して方程式をつくり，それを解く過程も書くこと。
大問９
右の図のように，\( AB=AC \) である二等辺三角形 \( ABC \) があります。２点 \( D，E \) は，それぞれ辺 \( AB，AC \) 上の点で，\( AD=AE \) となるようにとります。
このとき，\( △DBC≡△ECB \) であることを証明しなさい。
\( △DBC \) で \( △ECB \) において，
\( DB=AB-AD，EC=AC-AE \) であり，
仮定より \( AB=AC，AD=AE \) なので，
\( DB=EC \) ･･･ ➀
二等辺三角形の底角は等しいので，
\( ∠DBC=∠ECB \) ･･･ ➁
また，\( BC \) は共通 ･･･ ➂
➀➁➂より，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
\( △DBC≡△ECB \)
大問１０
ある企業は，ドローン(無人航空機) を利用して，Ａ地点から海を挟んだＢ地点まで荷物を運ぶ計画を立てています。
このドローンは，海面からの高さ \( 2 \; m \) のＡ地点を出発します。毎秒 \( 4 \; m \) ずつ一定の割合で上昇し，出発してから \( 25 \) 秒後に水平飛行に移ります。水平飛行を \( 300 \) 秒間続けてから，一定の割合で下降し，出発してから \( 367 \) 秒後に海面からの高さ \( 18 \; m \) のＢ地点に到着します。
次の図は，ドローンがＡ地点を出発してからの時間を \( x \) 秒，海面からの高さを \( y \; m \) としたときの \( x \) と \( y \) の関係をグラフに表したものです。
このとき,次の（１），（２）の問いに答えなさい。
（１） このドローンが水平飛行をしているとき，ドローンの海面からの高さは何 \( m \) ですか。
この直線の式は \( y=4x+2 \) になります。
\( 25 \) 秒後に水平飛行に移るので，この式に \( x=25 \) を代入すると，
\( y=4 \times 25+2=102 \; (m) \)
（２） このドローンが海面からの高さ \( 50 \; m \) 以上を飛行しているのは，出発してから何秒後から何秒後までですか。その時間の範囲を求めなさい。
緑の部分が高さ \( 50 \; m \) 以上を飛行しているときになります。
【 \( 0≦x≦25 \) で交わる点 \( A \)】
点 \( A \) は，\( y=4x+2 \) と \( y=50 \) の交点なので，
\( 4x+2=50 \)
\( x=12 \)
【 \( 325≦x≦367 \) で交わる点 \( B \)】
\( 325≦x≦367 \) における問題のグラフの直線は
\( (325，102)，(367，18) \) の２点を通るので，
この直線の式を \( y=ax+b \) とすると，
\( a=\dfrac{18-102}{367-325}=-2 \)
\( y=-2x+b \) に \( x=325，y=102 \) を代入すると，
\( 102=-2 \times 325+b \)
\( 102=-650+b \)
\( b=752 \)
点 \( B \) は，\( y=-2x+752 \) と \( y=50 \) の交点なので，
\( -2x+752=50 \)
\( x=351 \)
よって，高さ \( 50 \; m \) 以上を飛行しているのは，
出発してから \( 12 \) 秒後から \( 351 \) 秒後の間
大問１１
右の図のように，関数 \( y=x^2 \) のグラフ上に点 \( A \) があり，\( A \) の \( x \) 座標は \( -1 \) です。
このとき，次の（１）～（３）の問いに答えなさい。
（１） 関数 \( y=x^2 \) について，\( x \) の変域が \( −2≦x≦1 \) のとき，\( y \) の変域を求めなさい。
・ \( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の最小値は必ず \( 0 \) になります。
・ \( x \) の絶対値が最も大きいとき，\( y \) の値は必ず最大値をとります。
関数 \( y=x^2 \) について，
\( x \) の変域は \( −2≦x≦1 \) で，
\( 0 \) を含んでいるので， \( y \) の最小値は \( 0 \)。
\( x \) の絶対値が最も大きいのは
\( x=-2 \) のときなので，\( y \) の最大値は
\( y=(-2)^2=4 \)
よって，\( y \) の変域は \( 0≦y≦4 \)
（２） 関数 \( y=x^2 \) のグラフ上で，\( y \) 座標が \( 10 \) 以下である点のうち，\( x \) 座標と \( y \) 座標がともに整数である点はいくつありますか。その個数を求めなさい。
\( y=x^2 \) のグラフで，\( y \) 座標が \( 10 \) になるのは，
\( 10=x^2 \)
\( x=±\sqrt{10} \)
のときなので，\( y \) 座標が \( 10 \) 以下になるのは， \( −\sqrt{10}≦x≦\sqrt{10} \) のときです。
この範囲の中で \( x \) 座標が整数になるのは，
\( x=-3，-2，-1，0，1，2，3 \) のときです。
\( x=0 \) のとき，\( y=0 \)
\( x=±1 \) のとき，\( y=1 \)
\( x=±2 \) のとき，\( y=4 \)
\( x=±3 \) のとき，\( y=9 \)
で，\( y \) 座標も整数になっています。
よって，\( y \) 座標が \( 10 \) 以下である点のうち，\( x \) 座標と \( y \) 座標がともに整数である点は
\( (-3，9)，(-2，4)，(-1，1)，(0，0)，(1，1)，(2，4)，(3，9) \)
の７個になります。
（３） 関数 \( y=x^2 \) のグラフ上に点 \( A \) よりも \( y \) 座標が大きい点 \( B \) をとります。線分 \( AB \) を対角線として辺が \( x \) 軸，\( y \) 軸と平行な長方形をつくるとき，その長方形の周の長さが \( 12 \) となる点 \( B \) の \( x \) 座標をすべて求めなさい。
あてはまる点 \( B \) は，点 \( B \) の \( x \) 座標が点 \( A \) の \( x \) 座標より大きい場合と小さい場合の２つ存在します。
【点 \( B \) の \( x \) 座標が点 \( A \) より大きい場合】
点 \( B \) の \( x \) 座標を \( t_1 \) とすると，
点 \( B \) の座標は \( (t_1，t_1\,^2) \) と表すことができます。
また，線分 \( AB \) を対角線とする長方形の
横の辺の長さは \( t_1+1 \)，
縦の辺の長さは \( t_1\,^2-1 \)
と表すことができます。
このとき、この長方形の周の長さが \( 12 \) なので，
\( 2\{(t_1+1)+(t_1\,^2-1)\}=12 \)
\( t_1\,^2+t_1=6 \)
\( t_1\,^2+t_1-6=0 \)
\( (t_1-2)(t_1+3)=0 \)
\( t_1=2 \)
(\( t_1>-1 \) より)
\( \phantom{ } \)
【点 \( B \) の \( x \) 座標が点 \( A \) より小さい場合】
点 \( B \) の \( x \) 座標を \( t_2 \) とすると，
点 \( B \) の座標は \( (t_2，t_2\,^2) \) と表すことができます。
また，線分 \( AB \) を対角線とする長方形の
横の辺の長さは \( -1-t_2 \)，
縦の辺の長さは \( t_2\,^2-1 \)
と表すことができます。
このとき、この長方形の周の長さが \( 12 \) なので，
\( 2\{(-1-t_2)+(t_2\,^2-1)\}=12 \)
\( t_2\,^2-t_2-2=6 \)
\( t_2\,^2-t_2-8=0 \)
\( t_2=\dfrac{1-\sqrt{33}}{2} \)
(\( t_2<-1 \) より)
\( \phantom{ } \)
大問１２
右の図は，１辺の長さが \( 4 \; cm \) の立方体を２つ重ね，直方体にしたものです。点 \( P \) は，線分 \( AG \) と３点 \( C，J，L \) をふくむ平面との交点です。
このとき，次の（１）～（３）の問いに答えなさい。
（１） 線分 \( AC \) の長さを求めなさい。
（２） 直方体 \( ABCD-IJKL \) の体積は，三角錐 \( CJKL \) の体積の何倍か求めなさい。
（３） 線分 \( AP \) の長さを求めなさい。
\( AP：PG \) の比がわかれば，線分 \( AP \) の長さを求めることができます。
【線分 \( AG \) の長さを求める】
\( △ACG \) は \( AC=4\sqrt{2} \; cm \)，\( CG=4 \; cm \) の
直角三角形なので，三平方の定理より，
\( AG^2=(4\sqrt{2})^2+4^2=48 \)
\( AG=4\sqrt{3} \; (cm) \)
\( \phantom{ } \)
【\( AP：PG \) の比を求める】
面 \( IJKL \) の対角線の交点を \( M \)，
線分 \( EG \) と線分 \( CM \) の交点を \( N \) とします。
\( \phantom{ } \)
ここから，面 \( AIKC \) を書き出すと右の図のようになります。
\( △CNG \) と \( △CMK \) において，
\( ∠NCG=∠MCK \) （共通）
\( ∠CGN=∠CKM=90° \)
より，２組の角が等しいので，
\( △CNG \) ∽ \( △CMK \)
対する辺の比は等しいので，
\( NG：MK=CG：CK=1：2 \)
よって，\( MK=2NG \)
\( \phantom{ } \)
次に，\( △PAC \) と \( △PGN \) において，
立方体の向かい合う辺は平行なので，
\( AC//EG \) であり，錯角は等しいので，
\( ∠PAC=∠PGN \)
対頂角は等しいので，
\( ∠APC=∠GPN \)
より，２組の角が等しいので，
\( △PAC \) ∽ \( △PGN \)
正方形の対角線はそれぞれの中点で交わるので，
点 \( M \) は線分 \( IK \) の中点であり，
\( AC：MK=IK：MK=2：1 \)
よって，\( AC=2MK=4NG \)
対する辺の比は等しいので，
\( AP：GP=AC：GN=4：1 \)
よって，\( AP=\dfrac{4}{5}AG \)
\( \phantom{ } \)
\( AG=4\sqrt{3} \; cm \) であることから，
\( AP=\dfrac{4}{5}AG=\dfrac{4}{5} \times 4\sqrt{3}=\dfrac{16\sqrt{3}}{5} \; (cm) \)
