熊本県公立高校入試　令和５（2023）年度　選択問題Ｂ　解答＆解説

\( ∠ADB \) は弧 \( AB \) に対する円周角なので，
　\( ∠ADB=\dfrac{1}{2}∠AOB=70° \)
\( ∠ADB \) は \( △ACD \) の外角なので，
　\( ∠CAD=∠ADB-∠ACD=70-54=16° \)

\( △OAB \) は \( OA=OB \) の二等辺三角形なので，
　\( ∠OAB=\dfrac{1}{2}(180-∠AOB)=20° \)

仮定より，\( △ABC \) は二等辺三角形なので，
　\( ∠CAB=\dfrac{1}{2}(180-∠ACB)=63° \)

以上より，
　\( ∠CAD+∠OAD+∠OAB=∠CAB \)
　　　　　　\( 16+∠OAD+20=63 \)
　　　　　　　　　　　 \( ∠OAD=27° \)

容器Ａを正面から見たとき，半分の三角形が
短辺と斜辺の比が \( 1：2 \) の直角三角形になっているので，
高さ \( OP \) の比は \( \sqrt{3} \) になります。
　\( OP：3=\sqrt{3}：1 \)
　　 \( OP=3\sqrt{3} \; (cm) \)

よって，容器Ａの容積は，
　\( \pi{} \times 3^2 \times 9\sqrt{3} \times \dfrac{1}{3}=9\sqrt{3}\pi{} \; (cm^3) \)

容器Ａの展開図を考えると，
円 \( O \) の周と側面を展開したおうぎ形の弧はぴったり重なっていたので，長さは等しくなっています。
おうぎ形の中心角を \( x° \) とすると，
　\( 2\pi{} \times 3=2\pi{} \times 6 \times \dfrac{x}{360} \)
　　　\( \dfrac{1}{2}=\dfrac{x}{360} \)
　　　 \( x=180 \)
なので，このおうぎ形は半円になっています。
よって，側面席は，
　\( \pi{} \times 6^2 \times \dfrac{180}{360}=18\pi{} \; (cm^2) \)

図３における容器Ａと球Ｂの接点を点 \( Q \) とすると，
\( OQ \) が球Ｂの半径になります。
(1) より，容器Ａを正面から見たとき，半分の三角形は \( 1：2： \sqrt{3} \) の直角三角形なので， \( ∠OPQ=30° \)
また，\( △OPQ \) も \( 30°，60°，90° \) の直角三角形なので，
\( OQ=\dfrac{1}{2}OP=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \; (cm) \)

球Ｃの中心を \( O’ \)，容器Ａと球Ｃの接点を点 \( R \)，
球Ｃの半径を \( r \; cm \) とすると，
\( △O’PR \) も \( 30°，60°，90° \) の直角三角形なので，
\( O’P=2r \; cm \) となります。
また，球Ｂと球Ｃの接点を点 \( S \) とすると，
\( OS \) は球Ｂの半径になっているので，\( OS=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \; cm \)
\( O’S \) は球Ｃの半径になっているので，\( O’S=r \; cm \)

(1) より，\( OP=3\sqrt{3} cm \) なので，
　 \( OP=OS+O’S＋O’P \)
　\( 3\sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+r＋2r \)
　　\( 3r=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \)
　　 \( r=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \; (cm) \)

点 \( P \) の \( x \) 座標を \( s \) とすると，
\( y \) 座標は，\( \dfrac{1}{2}s^2 \) と表すことができます。
また，点 \( Q，R \) の \( x \) 座標も \( s \) になるので，
点 \( R \) の \( y \) 座標は，\( 2s^2 \) と表すことができます。

このとき，\( PR \) の長さは，\( PR=2s^2-\dfrac{1}{2}s^2=\dfrac{3}{2}s^2 \)
\( QD \) の長さは，\( QD=4-s \) と表すことができるので，
　　　　　　　\( PR=QD \)
　　　　　　 \( \dfrac{3}{2}s^2=4-s \)
　　　　　　　\( 3s^2=8-2s \)
　　\( 3s^2+2s-8=0 \)
　\( (3s-4)(s+2)=0 \)
　　　　　　　　 \( s=\dfrac{4}{3} \) (\( s>0 \)より)

点 \( S \) は直線 \( BC \) 上の点なので，\( x \) 座標を \( t \) とすると，
\( y \) 座標は \( \dfrac{6}{5}t+\dfrac{16}{5} \) と表すことができます。

このとき，
\( △SPR \) の高さは，\( \dfrac{4}{3}-t \)，
\( △SQD \) の高さは，\( \dfrac{6}{5}t+\dfrac{16}{5} \)
と表すことができます。

よって，
　\( \dfrac{4}{3}-t=\dfrac{5}{6} \left( \dfrac{6}{5}t+\dfrac{16}{5} \right) \)
　\( \dfrac{4}{3}-t=t+\dfrac{8}{3} \)
　　　\( 2t=-\dfrac{4}{3} \)
　　　 \( t=-\dfrac{2}{3} \)

\( \dfrac{6}{5}t+\dfrac{16}{5} \) に代入すると，
　\( \dfrac{6}{5} \times \left( -\dfrac{2}{3} \right) +\dfrac{16}{5}=\dfrac{12}{5} \)

\( △ADF \) と \( △ECB \) において，
弧 \( BC \) に対する円周角なので，\( ∠FAD=∠BEC \) ･･･ ➀
\( FD//AE \) より，錯角は等しいので，\( ∠FDA=∠DAE \) ･･･ ➁
弧 \( BE \) に対する円周角なので，\( ∠DAE=∠BCE \) ･･･ ➂
➁➂より，\( ∠FDA=∠BCE \) ･･･ ④
➀④より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ADF \) ∽ \( △ECB \)

\( △ABC \) は直角三角形，\( AB=6 \; cm，BC=2 \; cm \) なので，
三平方の定理より，
　\( AC^2=AB^2-BC^2 \)
　　　 \( =6^2-2^2 \)
　　　 \( =32 \)
　 \( AC=4\sqrt{2} \; (cm) \) (\( AC>0 \)より)

また，\( △AOG \) ∽ \( △ABC \) なので，
　\( AO：AB=OG：BC \)
　　　 \( 3：6=OG：2 \)
　　　　\( OG=1 \; (cm) \)

\( AE=CE，AC⊥EG \) より，\( AG=\dfrac{1}{2}AC \) なので，
　\( AG=\dfrac{1}{2} \times 4\sqrt{2}=2\sqrt{2} \; (cm) \)
また，\( EG=EO+OG=3+1=4 \; (cm) \)

よって，三平方の定理より，
　\( AE^2=AG^2+EG^2 \)
　　　 \( =(2\sqrt{2})^2+4^2 \)
　　　 \( =24 \)
　 \( AE=2\sqrt{6} \; (cm) \) (\( AE>0 \)より)

\( EG⊥AC，BC⊥AC \) より，\( EG//BC \)
錯角が等しいので，\( ∠OED=∠BCD \) ･･･ ➀
対頂角は等しいので，\( ∠ODE=∠BDC \) ･･･ ➁
➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，\( △ODE \) ∽ \( △BDC \)

\( OE=3 \; cm，BC=2 \; cm \) より，
\( OD：BD=OE：BC=3：2 \)

(1) より，\( △ADF \) ∽ \( △ECB \) なので，相似比は，
　\( AD：EC=\dfrac{24}{5}：2\sqrt{6} \)
　　　　　　\( =24：10\sqrt{6} \)
　　　　　　\( =12：5\sqrt{6} \)

相似な三角形の面積比は相似比の２乗の比になるので，
　\( △ADF：△ECB=12^2：(5\sqrt{6})^2 \)
　　　　　　　　　　 \( =24：25 \)

よって，\( △ADF \) の面積は，\( △ECB \) の面積の \( \dfrac{24}{25} \) 倍