三重県公立高校入試　令和６（2024）年度（前期）　解答＆解説

おうぎ形 \( OAB \) を，直線 \( AO \) を軸として
１回転させてできる立体は，半径 \( 3 \; cm \) の半球
になります。

この半球の曲面部分の表面積は，
　\( 4 \pi{} \times 3^2 \times \dfrac{1}{2}=18\pi{} \; (cm^2) \)
底面部分の表面積は，
　\( \pi{} \times 3^2=9\pi{} \; (cm^2) \)

よって，この半球の表面積は，
　\( 18\pi{}+9\pi{}=27\pi{} \; (cm^2) \)

 \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) に対する円周角なので，
　\( ∠BDC=\dfrac{1}{2}∠BOC=60° \)
\( ∠ADC=80° \) より，
　\( ∠ADB=∠ADC-∠BDC=20° \)
\( AD//BC \) より，錯角は等しいので，
　\( ∠DBC=∠ADB=20° \)
\( △OBC \) は二等辺三角形なので，
　\( ∠OCB=\dfrac{180°-∠BOC}{2}=30° \)
\( OC \) と \( BD \) の交点を \( E \) とすると，
\( △EBC \) において，
　\( ∠x=180°-(∠DBC+∠OCB)=130° \)

\( AC//DE \) より，\( △BDE \) ∽ \( △BAC \) なので，
　\( BE：BC=DE：AC \)
　　 \( 8：BC=9：15 \)
　　　 \( 9BC=120 \)
　　　　\( BC=\dfrac{40}{3} \; (cm) \)
よって，
　\( EC=BC-BE=\dfrac{40}{3}-8=\dfrac{16}{3} \; (cm) \)

手順１　点 \( A \) を中心に円弧を描く。
(直線 \( OX \) との交点を \( B，C \) とします)
手順２　２点 \( B，C \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( D \) とします)
手順３　２点 \( A，D \) を通る直線を描く。
手順４　点 \( O \) を中心に円弧を描く。
(直線 \( OY，OX \) との交点を \( E，F \) とします)
手順５　２点 \( E，F \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( G \) とします)
手順６　２点 \( O，G \) を通る直線を描く。

ひいた２枚のカードの組み合わせとその数の積を表に書き出し，積が正の数になるところに ○ をつけてみます。

積が，正の数となる組み合わせは \( 12 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 30 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5} \)

\( △ABG \) と \( △CEI \) において，
正方形 \( ABCD，DCEF \) はそれぞれ辺の長さが等しいので，
　\( AB=CE \) ･･･ ➀
正方形の内角なので，
　\( ∠GAB=∠ICE \) ･･･ ➁
正方形の内角なので，
　\( ∠ABG=90°-∠HBE \) ･･･ ③
\( △BHE \) は直角三角形なので，
　\( ∠CEI=90°-∠HBE \) ･･･ ➃
③➃より，
　\( ∠ABG=∠CEI \) ･･･ ➄
➀➁➄より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ABG≡△CEI \)

\( CI=x \; cm \) とすると，\( DI=4-x \; cm \)，
\( AG=CI=x \; cm，GF=8-x \; cm \) と表せるので，
　\( △ABG=4 \times x \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =2x \; (cm^2) \)
　\( △BEI=8 \times x \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =4x \; (cm^2) \)
　\( △GFI=(8-x) \times (4-x) \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =\dfrac{1}{2}(x^2-12x+32) \; (cm^2) \)
　\( △EFI=4 \times 4 \times \dfrac{1}{2}=8 \; (cm^2) \)
　長方形 \( ABEF=4 \times 8=32 \; (cm^2) \)
と表すことができます。

\( y=-\dfrac{10}{x} \) において，
\( x=2 \) のとき，\( y=-\dfrac{10}{2}=-5 \)
\( x=5 \) のとき，\( y=-\dfrac{10}{5}=-2 \)
なので，変化の割合は，
　\( \dfrac{-2-(-5)}{5-2}=1 \)

\( A \) の座標を \( A(s，-t) \) とすると，
\( AC=s，AB=t \) となるので，
　四角形 \( OCAB \) の面積 \( =st \) ･･･ ➀
と表すことができます。

\( y=-\dfrac{10}{x} \) に \( x=s，y=-t \) を代入すると，
　\( -t=-\dfrac{10}{s} \)
　 \( st=10 \) ･･･ ➁

①②より，四角形 \( OCAB \) の面積 \( =10 \)

３点 \( A，B，C \) は，一直線上の点なので，
\( △OBC：△OAB=2：3 \) のとき，
\( BC：AB=2：3 \) となっています。

点 \( A，B \) から \( x \) 軸に垂線をひいた交点を
点 \( P，Q \) とすると，
\( △BCQ \) ∽ \( △ACP \) になっています。

点 \( B \) の \( x \) 座標を \( s \) とすると，
\( y \) 座標は \( \dfrac{1}{4}s^2 \) と表すことができるので，
　\( BQ：AP=BC：AC \)
　　\( \dfrac{1}{4}s^2：4=2：(3+2) \)
　　 \( s^2：16=2：5 \)
　　　　　\( s^2=\dfrac{32}{5} \)
　　　　　 \( s=±\dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=±\dfrac{4\sqrt{10}}{5} \)