宮城県公立高校入試　令和７（2025）年度　解答＆解説

ア
仮定より \( ∠COB=90° \) なので，
\( ∠COB \) の二等分線と線分 \( OB \) がなす角は \( 45° \) になります。
よって，点 \( P \) が \( ∠COB \) の二等分線上の点であることから，\( ∠POB=45° \) になります。

イ
\( △OAC \) は直角二等辺三角形なので \( ∠CAB=45° \) であり，
線分 \( PA \) は \( ∠CAB \) の二等分線であることから，
　\( ∠PAB=\dfrac{1}{2}∠CAB=22.5° \)
になります。
\( ∠PAB \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ PB } \) に対する円周角，\( ∠POB \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ PB } \) に対する中心角なので，
　\( ∠POB=2∠PAB=45° \)
になります。

ウ
\( △OBC \) は直角二等辺三角形なので，線分 \( BC \) の垂直二等分線は \( ∠COB \) の二等分線になります。
\( ∠COB=90° \) であることから，
\( ∠POB=45° \) になります。

エ
線分 \( OC \) の垂直二等分線と線分 \( OC \) の交点を
\( Q \) とすると，点 \( Q \) は線分 \( OC \) の中点なので，
\( OQ：OP=1：2 \) であり，\( △OPQ \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形になっています。
このとき，\( ∠OPQ=30° \) であり，
\( PQ//OB \) であることから，錯角は等しいので，
\( ∠POB=∠OPQ=30° \) であり，
\( 45° \) にはなりません。

点 \( B \) は，\( y=\dfrac{a}{x} \) 上の点で，\( x \) 座標が \( 4 \) なので，
\( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{a}{4} \)

点 \( C \) は，\( y=\dfrac{3}{2}x \) 上の点で，\( y \) 座標が \( \dfrac{a}{4} \) なので，
\( x \) 座標の値は，
　\( \dfrac{a}{4}=\dfrac{3}{2}x \)
　 \( x=\dfrac{a}{6} \)

ここから，\( BC \) の長さは，
　\( BC=4-\dfrac{a}{6} \)
と表すことができます。

三角すい \( ABCD \) と三角すい \( AEFG \) の相似比は \( 4：3 \) なので，
　\( EF=EG=4 \times \dfrac{3}{4}=3 \; (cm) \)

\( AE：EB=3：1 \) より，
　\( EB=6 \times \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{2} \; (cm) \)

よって，三角すい \( BEFG \) の体積は，
　\( \left( 3 \times 3 \times \dfrac{1}{2} \right) \times \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{9}{4} \; (cm^3) \)

２つの直線の交点は，それぞれの直線の式を
連立方程式にしたときの解として表れます。

　\( \left\{ \begin{array}{}
y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{400}{3} \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
y=-3x+240 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
を解くと \( x=64，y=48 \) なので，
求めるガスの量は \( 48 \; g \) になります。

 \( ∠ACB \) は直径 \( AB \) に対する円周角なので，
\( ∠ACB=90° \) であり，\( △ABC \) は直角三角形
になっています。

\( △ABC \) において三平方の定理より，
　\( AC^2=AB^2-BC^2 \)
　　　 \( =6^2-5^2 \)
　　　 \( =11 \)
　 \( AC=\sqrt{11} \; (cm) \)（ \( AC>0 \) より）

\( △ABC \) と \( △DAE \) において
\( ∠ACB \) は直径 \( AB \) に対する円周角なので，
　\( ∠ACB=90° \) ･･･ ➀
仮定より，\( ∠DEA=90° \) ･･･ ➁
➀➁より，
　\( ∠ACB=∠DEA \) ･･･ ➂
\( ∠ABC \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ AC } \) に対する円周角，
\( ∠DAE \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ BD } \) に対する円周角，
なので，\( \stackrel{\huge\frown}{ AC }=\stackrel{\huge\frown}{ BD } \) より，
　\( ∠ABC=∠DAE \) ･･･ ➃
➂➃より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ABC \) ∽ \( △DAE \)

 \( △ABC \) と \( △BAD \) において，
\( ∠ADB \) は直径 \( AB \) に対する円周角なので，\( ∠BDA=90° \) であり，\( ∠ACB=∠BDA \)

問２より \( ∠ABC=∠BAD \) でもあるので，
　\( ∠BAC=180°-(∠ACB+∠ABC) \)
　\( ∠ABD=180°-(∠BDA+∠BAD) \)
より，\( ∠BAC=∠ABD \)

問２より \( △ABC \) ∽ \( △DAE \) であり，
対応する辺の比は等しいので，
　\( AB：DA=BC：AE \)
　　　　\( 6：5=5：AE \)
　　　 \( 6AE=25 \)
　　　　\( AE=\dfrac{25}{6} \; (cm) \)

問３と同様の考え方で \( △DFB≡△BAD \) なので，
\( △DFB \) の面積と \( FG：FB \) を求めることで
\( △DFG \) の面積を求めることができます。

（１）より，
　\( BC=5 \; cm，AC=\sqrt{11} \; cm \)
なので，
　\( △ABC=5 \times \sqrt{11} \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =\dfrac{5\sqrt{11}}{2} \; (cm^2) \)
よって，\( △DFB \) の面積は \( \dfrac{5\sqrt{11}}{2} \; cm^2 \)

【\( FG \) の長さを求める】
\( △DAE \) ∽ \( △GBE \) であり，
\( AB=6 \; cm，AE=\dfrac{25}{6} \; cm \) より，
　\( BE=AB-AE=\dfrac{11}{6} \; cm \)
対応する辺の比は等しいので，
　\( AD：BG=AE：BE \)
　　\( 5：BG=\dfrac{25}{6}：\dfrac{11}{6} \)
　　\( 5：BG=25：11 \)
　　 \( 25BG=55 \)
　　　　\( BG=\dfrac{11}{5} \; (cm) \)

\( FB=5 \; cm \) なので，
　\( FG=FB-BG \)
　　　\( =5-\dfrac{11}{5} \)
　　　\( =\dfrac{14}{5} \; (cm) \)

【\( △DFG \) の面積を求める】
\( △DFG \) の底辺を \( FG \)，\( △DFB \) の底辺を \( FB \) とすると，高さが共通なので，
\( △DFB \) と \( △DFG \) の面積比は
\( FG：FB \) と等しくなります。

\( FG=\dfrac{14}{5} \; cm，FB=5 \; cm \) より，
　\( FG：FB=\dfrac{14}{5}：5=14：25 \)
なので，\( △DFG \) の面積は，
　\( △DFG=\dfrac{5\sqrt{11}}{2} \times \dfrac{14}{25}=\dfrac{7\sqrt{11}}{5} \; (cm^2) \)