大問１
（１） \( 3-(-5) \) を計算しなさい。
（２） \( \dfrac{1}{6}xy^2 \div \dfrac{1}{12}xy \) を計算しなさい。
（３） \( n \) を自然数とするとき，式の値がいつでも \( 8 \) の倍数になる式として正しいものを，次のア～エから１つ選び，記号を書きなさい。
ア \( 4n \) イ \( 8n+4 \) ウ \( n+8 \) エ \( 8n+16 \)
（４） \( x=\sqrt{5}+\sqrt{3}，y=\sqrt{5}-\sqrt{3} \) のとき，\( x^2-y^2 \) の値を求めなさい。
（５） 二次方程式 \( x^2-3x-10=0 \) を解きなさい。
（６） 容器に薄力粉を \( 132 \; g \) と砂糖を \( 12 \; g \) 入れて混ぜた。ここに，薄力粉と砂糖を \( x \; g \) ずつ加えて，薄力粉と砂糖の重さの比が \( 7：2 \) となるようにして，クッキーを作る。このとき，\( x \) の値を求めなさい。
（７） 図１において，\( l //m \) のとき，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。
右の図のように３点 \( A，B，C \) とすると，
\( l //m \) より，同位角は等しいので，
\( △ABC \) の外角は \( 66° \) になっています。
ここから，
\( ∠x+22°=66° \)
\( ∠x=44° \)
（８） 図２は，１つの円周上に３点 \( A，B，C \) がある円の一部である。この円の中心 \( O \) を，定規とコンパスを使って作図しなさい。ただし，中心 \( O \) を表す文字 \( O \) も書き，作図に用いた線は消さないこと。
手順１ ２点 \( A，B \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( D，E \) とします。)
手順２ ２点 \( D，E \) を通る直線を描く。
手順３ ２点 \( B，C \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( F，G \) とします。)
手順４ ２点 \( F，G \) を通る直線を描く。
手順２と手順４の直線の交点が求める円の中心 \( O \) になります。
ここから，２本の弦に対して垂直二等分線を描くことで，その交点が円の中心となって表れます。
中心 \( O \) から弦 \( AB \) に垂線をひいた交点を \( D \) とします。
\( △OAD \) と \( △OBD \) において，
仮定より，\( ∠ODA=∠ODB=90° \) ･･･ ➀
円の半径なので，\( OA=OB \) ･･･ ➁
\( OD \) は共通 ･･･ ➂
➀➁➂より，
斜辺と他の１辺が等しい直角三角形なので，
\( △OAD≡△OBD \)
合同な三角形の対応する辺は等しいので，
\( AD=BD \)
以上より，線分 \( OD \) は，弦 \( AB \) の垂直二等分線になっています。
つまり，弦 \( AB \) の垂直二等分線は円の中心を通るといえます。
（９） 図３は，３つの関数 \( y=ax^2，y=bx^2，y=cx^2 \) のグラフを，同じ座標軸を使ってかいたものである。
また，２点 \( A，B \) は，関数 \( y=ax^2 \) のグラフ上に線分 \( AB \) と \( x \) 軸が平行になるようにとったものである。
➀ 比例定数 \( a，b，c \) を大きい順に左から並べて書きなさい。
➁ \( a=3，AB=4 \) のとき，点 \( B \) の座標を求めなさい。
二次関数 \( y=ax^2 \) のグラフは，\( y \) 軸に関して対称になっています。
線分 \( AB \) と \( y \) 軸の交点を \( D \) とすると，
\( AB \) の中点になるので， \( BD=2 \) であり，
点 \( B \) の \( x \) 座標は \( 2 \) になります。
\( y=3x^2 \) に \( x=2 \) を代入すると，
\( y=3 \times 2^2=12 \)
よって，点 \( B \) の座標は，\( B(2，12) \)
（１０） \( 1，2，3 \) の数が１つずつ書かれた３枚のカードがある。この３枚のカードを箱に入れて，箱から１枚ずつ取り出し，取り出した順番に左から右に並べて３けたの整数をつくる。この整数が奇数となる確率を求めなさい。ただし，どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。
奇数になる組み合わせは４通り，すべての組み合わせは６通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} \)
（１１） データは，生徒 \( 15 \) 人の握力を調べ，その結果を値の小さい順に並べたものである。
〔データ〕
\( \fbox{24，26，26，26，28，30，32，34，36，38，40，42，44，48，50} \) (単位：\( kg \))
このデータを表した箱ひげ図として正しいものを，次のア～エから１つ選び，記号を書きなさい。
大問２
Ⅰ 春さんと秋さんの中学校では，図書委員会が全校生徒に対してアンケート調査を行った。
（１） 図書委員会 \( 3 \) 年生の春さんと秋さんは，アンケート調査の結果から，全校生徒の平日 \( 1 \) 日の平均読書時間のデータについて，表計算ソフトを使って整理した。図１は春さんが，図２は秋さんが，データをヒストグラムに表したものである。
➀ 図１と図２から読み取れることとして最も適切なものを，次のア～エから１つ選び，記号を書きなさい。
ア 図２では，図１にくらべて，平日 \( 1 \) 日の平均読書時間が \( 150 \) 分以上の生徒が少ない。
イ 図２では，図１にくらべて，範囲が大きい。
ウ 図１の最頻値は \( 90 \) 分であるが，図２の最頻値は \( 45 \) 分である。
エ 図１の中央値は，\( 60 \) 分以上 \( 120 \) 分未満の階級にふくまれているが，図２の中央値は \( 30 \) 分以上
\( 60 \) 分未満の階級にふくまれている。
図１において，度数が最も多い階級は \( 60 \) 分以上 \( 120 \) 分未満で，
階級値はその階級の真ん中の値なので，その階級値は \( \dfrac{60+120}{2}=90 \)（分）
図２において，度数が最も多い階級は \( 30 \) 分以上 \( 60 \) 分未満なので，
その階級値は \( \dfrac{30+60}{2}=45 \)（分）
【適切ではない理由】
ア ･･･ 図１のヒストグラムでは，階級が \( 120 \) 分以上 \( 180 \) 分未満と大きくとられているので，
\( 150 \) 分以上の生徒数はわかりません。
（この階級の全員が \( 150 \) 分以上であることも，全員が \( 150 \) 分未満であることもありえます。）
イ ･･･ 範囲は「最大値 \( – \) 最小値」で求めることができます。
ヒストグラムでは最大値と最小値がわからないので，範囲を求めることはできません。
エ ･･･ 最頻値とは，図１のヒストグラムから，全校生徒数は約 \( 450 \) 人と考えられます。
このときの中央値は値の小さい方から \( 225 \) 番目と \( 226 \) 番目の平均値になります。
図１のヒストグラムでは，
\( 60 \) 分未満の生徒数は \( 175 \) 人，
\( 120 \) 分未満の生徒数は \( 175+187=362 \) 人
と考えられるので，\( 225 \) 番目と \( 226 \) 番目の値は \( 60 \) 分以上 \( 120 \) 分未満の階級に
含まれることがわかります。
図２のヒストグラムでは，
\( 60 \) 分未満の生徒数は \( 60+115=175 \) 人，
\( 90 \) 分未満の生徒数は \( 60+115+80=255 \) 人
と考えられるので，\( 225 \) 番目と \( 226 \) 番目の値は \( 60 \) 分以上 \( 90 \) 分未満の階級に
含まれることがわかります。
➁ 春さんと秋さんは，図１とくらべると図２には，山が２つあることに気づき，「\( 1，2 \) 年生と \( 3 \) 年生では，平日 \( 1 \) 日の平均読書時間に違いがあるのではないか」と予想した。そこで，全校生徒のデータを，\( 1，2 \) 年生と \( 3 \) 年生に分けて度数分布表に整理し，考えた。
〔２人の考え〕
度数分布表では，平均読書時間が \( 60 \) 分未満の生徒数は \( 1，2 \) 年生が \( 94 \) 人で \( 3 \) 年生の \( 80 \) 人より多い。しかし，このことから，\( 1，2 \) 年生の方が平日 \( 1 \) 日の平均読書時間が短いとは言えない。それは，\( 1，2 \) 年生と \( 3 \) 年生のそれぞれの あ が違うからである。だから，相対度数を求めてくらべることが必要だ。
ⅰ ２人の考えの あ に当てはまる言葉として最も適切なものを，次のア～エから１つ選び，記号を書きなさい。
ア 平日 \( 1 \) 日の平均読書時間の最小値
イ 度数の合計
ウ 平日 \( 1 \) 日の平均読書時間の最大値
エ 階級ごとの度数
ⅱ ２人は，予想したことを，２人の考えをもとに，次のように調べようとした。
度数分布表をもとに \( 1，2 \) 年生と \( 3 \) 年生の各階級の相対度数を求め，その い をかき， い の形をくらべる。また，\( 1，2 \) 年生と \( 3 \) 年生それぞれのデータの う と い を組み合わせて，\( 1，2 \) 年生と \( 3 \) 年生のデータの傾向を調べよう。
い ， う に当てはまる言葉の組み合わせとして最も適切なものを，次のア～ウから１つ選び，記号を書きなさい。
ア い ･･･ 度数分布多角形 う ･･･ 代表値
イ い ･･･ ヒストグラム う ･･･ 最大値
ウ い ･･･ 度数分布多角形 う ･･･ 最小値
\( 57 \) 人ずつで同じに感じられますが，相対度数をもとに度数分布多角形をつくることで，
分布の特徴が明確になります。
（２） 図３は，図書委員会が「読書は好きですか? 」の調査結果をまとめたポスターである。夏さんと冬さんはポスターを見て，「好き」と答えた生徒が何人いるのか，連立方程式をつくって，求めることにした。
図３をもとに，２人はある数量を \( x \) 人，\( y \) 人として，次のような連立方程式をつくった。
〔夏さんの連立方程式〕
\( \left\{ \begin{array}{}
x+y=220 \\
\dfrac{110}{100}x+\dfrac{140}{100}y = 278 \\
\end{array} \right. \)
〔冬さんの連立方程式〕
\( \left\{ \begin{array}{}
x=220-y \\
\dfrac{10}{100}x= \fbox{ い } \\
\end{array} \right. \)
① 夏さんの連立方程式の \( x+y \) はどのような数量を表しているか，言葉で書きなさい。
② 冬さんの連立方程式の \( \fbox{ い } \) に当てはまる適切な式を書きなさい。なお，分数を用いて式を書く場合には約分しなくてもよい。
➂ ４月と７月に「好き」と答えた生徒数を，それぞれ求めなさい。
Ⅱ 守さんは，半円と直角三角形を回転させた立体について調べた。図４は，点 \( O \) を中心とし線分 \( PQ \) を直径とする半円であり，\( OP=3 \; cm \) である。図５の \( △ABC \) は，\( AB=6 \; cm，∠C =90° \) の直角三角形である。
（１） 図４の半円を，線分 \( PQ \) を回転の軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし，円周率を \( \pi{} \) とする。
（２） 守さんが，図５の \( △ABC \) を，辺 \( AC \) を回転の軸として１回転させてできる立体の展開図をかいたところ，側面の展開図が半円になった。
このとき，図４の半円を，線分 \( PQ \) を回転の軸として１回転させてできる立体の表面積は，図５の \( △ABC \) を，辺 \( AC \) を回転の軸として１回転させてできる立体の表面積の何倍か，求めなさい。
\( S_1=4 \times \pi{} \times 3^2=36\pi{} \; (cm^2) \)
図５の \( △ABC \) を，辺 \( AC \) を回転の軸として１回転させてできる立体は，
底面の半径が \( CB \)，母線の長さが \( 6 \; cm \) の円すいになります。
この円すいの展開図を描くと，下の図のようになります。
この円すいの側面を展開した半円の弧の長さは，
\( 2\pi{} \times 6 \times \dfrac{1}{2}=6\pi{} \; (cm) \)
半円の弧の長さと底面の円周の長さは等しいので，
底面の円の半径を \( r \; cm \) とすると，
\( 2\pi{}r=6\pi{} \)
\( r=3 \; (cm) \)
図５の \( △ABC \) を，辺 \( AC \) を回転の軸として１回転させてできる立体の表面積を \( S_2 \) とすると，
\( S_2=\pi{} \times 6^2 \times \dfrac{1}{2}+\pi{} \times 3^2=27\pi{} \; (cm^2) \)
よって，\( \dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{36\pi{}}{27\pi{}}=\dfrac{4}{3} \) 倍
大問３
I 桜さんと鈴さんは，放課後，学校から帰宅した後に図書館へ行き，一緒に勉強をしている。
図１は，２人が学校を出発して \( x \) 分後に，学校から図書館の方向に \( y \; m \) の地点にいるとして，\( x \) と \( y \) の関係を表したグラフである。
２人は学校を出発してから，それぞれ次のように図書館に向かう。
鈴さん：歩いて \( 10 \) 分後に帰宅し，帰宅してから \( 5 \) 分後に家を出発し，自転車で図書館に向かい，
桜さんに追いついた後，桜さんと一緒に歩いて図書館に向かう。
（１） 鈴さんの家の地点は，次のように説明できる。 あ ， い に当てはまる適切な数を，それぞれ書きなさい。
青の部分は，鈴さんが家にいる状態を表しています。
よって，鈴さんの家は，学校から \( -500 \; m \) の地点にあるとわかります。
このグラフでは，学校から図書館へ向かう方向を \( ＋ \) としているので，
鈴さんの家は，図書館とは反対の方向に\( 500 \; m \) の地点にあることになります。
い ･･･ 鈴さんのときと同じように考えると，
桜さんの家は，図書館の方向に \( 400 \; m \) の地点にあることになります。
よって，鈴さんの家と桜さんの家の距離は，
\( 400-(-500)=900 \; (m) \)
になります。
（２） 桜さんが，家を出発してから図書館に到着するまでの \( x \) と \( y \) の関係を式に表しなさい。また，このときの \( x \) の変域も求めなさい。
時間と距離の関係を表す一次関数のグラフでは，移動する速さが傾きになります。
桜さんは，学校を出発してから \( 8 \) 分後に家に到着し，その \( 3 \) 分後に家を出発するので，家を出発するのは，学校を出発してから \( 11 \) 分後になります。
ここから，家を出発した時点を表す座標は \( (11，400) \) になります。
歩く速さが分速 \( 50 \; m \) であることから，
この直線（右のグラフで赤の直線）の式を \( y=50x+b \) とし，
\( x=11，y=400 \) を代入すると，
\( 400=50 \times 11+b \)
\( b=-150 \)
となり，
この直線の式は \( y=50x-150 \) になります。
グラフから，図書館に着くときを示す点の \( y \) 座標は \( 1500 \) なので，
\( y=1500 \) を代入すると，
\( 1500=50x-150 \)
\( 50x=1650 \)
\( x=33 \)
よって，この部分の \( x \) の変域は，\( 11≦x≦33 \)
（３） 桜さんが，家を出発してから \( 5 \) 分後の，桜さんがいる地点と鈴さんがいる地点の間の距離を求めなさい。
家を出発してから \( 5 \) 分後は，学校を出発してから \( 16 \) 分後になります。
（２）より，桜さんが家から図書館に着くまでの状態を表す式は
\( y=50x-150 \) なので，
\( y=50 \times 16-150=650 \; (m) \)
鈴さんが，家を出発するのは，
学校を出発してから \( 15 \) 分後なので，
家を出発した時点を表す座標は
\( (15，-500) \) になります。
自転車で進む速さが分速 \( 200 \; m \) であることから，
この直線（右のグラフで青の直線）の式を \( y=200x+b \) とし，
\( x=15，y=-500 \) を代入すると，
\( -500=200 \times 15+b \)
\( b=-3500 \)
となり，
この直線の式は \( y=200x-3500 \) になります。
ここに \( x=16 \) を代入すると，
\( y=200 \times 16-3500=-300 \; (m) \)
よって，２人がいる地点間の距離は，\( 650-(-300)=950 \; (m) \)
（４） ある日，鈴さんはいつもより長く家で過ごし，その後自転車で図書館に向かった。すると，桜さんが図書館に着くときに, 鈴さんも同時に図書館に着いた。このとき，鈴さんが帰宅してから何分後に家を出発したか，求めなさい。
（２）より，桜さんが家から図書館に着く点を表す
座標は \( (33，1500) \) になります。
鈴さんが図書館に向かう状態
（右のグラフで緑の直線）
を表す式を \( y=200x+c \) とすると，
\( (33，1500) \) を通るので，
\( 1500=200 \times 33+c \)
\( c=-5100 \)
となり，この直線の式は
\( y=200x-5100 \)
となります。
鈴さんが家を出発した点の \( y \) 座標は \( -500 \) なので，
そのときの \( x \) の値は，
\( -500=200x-5100 \)
\( 200x=4600 \)
\( x=23 \)
となり，鈴さんが家を出発したのは，
学校を出発してから \( 23 \) 分後になります。
鈴さんが帰宅したのは学校を出発してから \( 10 \) 分後なので，
鈴さんが家を出発したのは，帰宅してから \( 23-10=13 \) 分後になります。
Ⅱ 反比例の特徴やグラフについて考える。ただし，原点 \( O \) から点 \( (1，0) \) までの距離，および原点 \( O \) から点 \( (0，1) \) までの距離はそれぞれ \( 1 \; cm \) とする。
（１） 図２は，関数 \( y=\dfrac{12}{x} \) のグラフ上に \( x \) 座標が正の数である点 \( A \) をとり，点 \( A \) を通る \( x \) 軸の垂線と \( x \) 軸との交点を点 \( B \) とし，点 \( O \) と点 \( A \) を結んだものである。
① 関数 \( y=\dfrac{12}{x} \) のグラフ上の点で \( x \) 座標，\( y \) 座標がともに自然数である点はいくつあるか求めなさい。
② \( △OAB \) が直角二等辺三角形になるとき，\( OA \) の長さを求めなさい。
\( △OAB \) が直角二等辺三角形になるときの
点 \( B \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，
\( A，B \) の座標は，
\( A(t，\dfrac{12}{t})，B(t，0) \)
と表すことができます。
\( △OAB \) が直角二等辺三角形になるとき，
\( OB=AB \) なので，
\( t=\dfrac{12}{t} \)
\( t^2=12 \; (t≠0) \)
\( t=2\sqrt{3} \; (t>0) \)
このとき，\( OB=2\sqrt{3} \; cm \) なので，
\( OA=\sqrt{2}OB \)
\( =\sqrt{2} \times 2\sqrt{3} \)
\( =2\sqrt{6} \; (cm) \)
（２） 図３は，関数 \( y=\dfrac{8}{x} \) のグラフ上に，点 \( C \) の \( x \) 座標と点 \( D \) の \( y \) 座標が等しくなるように点 \( C，D \) をとったもので，点 \( D \) の \( x \) 座標は \( 2 \) である。点 \( E \) は，直線 \( OD \) と双曲線の交点のうち，点 \( D \) と異なる点である。
① \( △CDE \) の面積を求めなさい。
点 \( D \) の \( x \) 座標は \( 2 \) なので，\( y \) 座標は，
\( y=\dfrac{8}{2}=4 \)
点 \( C \) の \( x \) 座標は \( 4 \) になるので，\( x \) 座標は，
\( 4=\dfrac{8}{x} \)
\( x=2 \)
ここから，点 \( C，D \) の座標は \( C(4，2)，D(2，4) \)
関数 \( y=\dfrac{a}{x} \) のグラフは原点 \( O \) に関して対称な形になるので，点 \( E \) の座標は \( E(-2，-4) \)。
直線 \( CE \) と \( x \) 軸の交点を点 \( F \) とし，
\( x \) 座標の値を \( t \) とすると，
直線 \( CE \) の傾きは，
傾き \( =\dfrac{2-(-4)}{4-(-2)}=1 \)
であり， \( CF \) の傾きも等しいので，
\( \dfrac{2-0}{4-t}=1 \)
\( 4-t=2 \)
\( t=2 \)
となり，点 \( F \) の座標は \( F(2，0) \)
補助線 \( DF \) をひくと，
\( D，F \) の \( x \) 座標は，どちらも \( 2 \) なので，
補助線 \( DF \) は \( x \) 軸と垂直になっています。
ここから，\( △CDE \) の面積は，
\( △CDE=△EDF+△CDF \)
\( =4 \times 4 \times \dfrac{1}{2}+4 \times 2 \times \dfrac{1}{2} \)
\( =8+4 \)
\( =12 \; (cm^2) \)
② 点 \( C \) を通り，\( △CDE \) の面積を２等分する直線の式を求めなさい。
\( △CDE \) の面積は２等分されます。
２点 \( D，E \) は原点 \( O \) に関して対称な点なので，
\( OD=OE \) になっており，
求める直線は原点 \( O \) を通ることがわかります。
よって，
この直線は原点 \( O \) と \( C(4、2) \) を通るので，
この直線の式は \( y=\dfrac{1}{2}x \) になります。
大問４
図形をかいたり，移動させたりすることができる数学の作図ソフトがある。歩さんと進さんは，次の手順で作図ソフトを操作し，図形を観察した。各問いに答えなさい。
\( \fbox{1} \) \( AB=6 \; cm，AD=3 \; cm \) の長方形 \( ABCD \) をかく。
\( \fbox{2} \) 長方形 \( ABCD \) を図１のように点 \( B \) を中心に回転移動
させる。
\( \fbox{3} \) 回転移動後の長方形を，長方形 \( EBFG \) とし，点 \( A \) と
点 \( E \)，点 \( C \) と点 \( F \) をそれぞれ結ぶ。
（１） ➁で，時計回りに \( 30° \) 回転移動させたとき，\( ∠AEB \) の大きさを求めなさい。
長方形 \( EBFG \) は，長方形 \( ABCD \) を回転させたものなので，
\( BA=BE \)
ここから，\( △ABE \) は二等辺三角形なので，底角は等しく，
\( ∠AEB=∠EAB \)
よって，
\( ∠AEB=\dfrac{180°-∠ABE}{2} \)
\( =\dfrac{180°-30°}{2} \)
\( =75° \)
（２） 歩さんは，長方形 \( ABCD \) を回転移動させているうちに，\( △ABE \) ∽ \( △CBF \) が成り立つと考え，図２をもとに次のように証明のすじ道をまとめ，仮定や仮定から導かれることがらを整理した。
〔仮定や仮定から導かれることがらの整理〕
\( ∠ABE \) と \( ∠CBF \) について
\( ∠ABE \) と \( ∠CBF \) はどちらも \( 90°- ∠ \) あ
よって，\( ∠ABE=∠CBF \)
\( ∠BAE \) と \( ∠BCF \) について
\( ∠ABE=∠CBF \) ･･･ ①
また，長方形 \( ABCD \) を点 \( B \) を中心に回転移動させた図形が長方形 \( EBFG \) なので，
対応する辺は等しいから，\( BA=BE，BC=BF \)
よって，\( △ABE \) と \( △CBF \) は２つの辺が等しいので，それぞれ二等辺三角形である。
二等辺三角形の い は等しいので，
\( ∠BAE=∠BEA \) ･･･ ➁
\( ∠BCF=∠BFC \) ･･･ ➂
三角形の内角の和が \( 180° \) であることと，➀，➁，➂から，
\( \dfrac{1}{2}( \) う \( -∠ABE)=∠BAE \)
\( \dfrac{1}{2}( \) う \( -∠CBF)=∠BCF \) ･･･ ➃
①，④ より，\( ∠BAE=∠BCF \)
① 仮定や仮定から導かれることがらの整理の あ には最も適切な角を記号を用いて， い には当てはまる適切な語句を， う には当てはまる適切な数を，それぞれ書きなさい。
進さんは，図２をもとに次のように，歩さんとは異なる証明の方針を立てた。
２組の辺の比とその間の角の大きさに着目する。
➁ 進さんの方針にもとづき，\( △ABE \) ∽ \( △CBF \) を証明しなさい。ただし，\( 0°<∠ABE<90° \) とする。
\( △ABE \) と\( △CBF \) において
長方形の内角はすべて \( 90° \) なので，
\( ∠ABE=90°-∠CBE \) ･･･ ➀
\( ∠CBF=90°-∠CBE \) ･･･ ➁
➀➁より，
\( ∠ABE=∠CBF \) ･･･ ➂
長方形 \( EBFG \) は，長方形 \( ABCD \) を回転させたものなので，
\( BA=BE \)
\( BC=BF \)
であり，
\( BA：BC=BE：BF \) ･･･ ➃
➂➃より，
２組の辺の比とその間の角が等しいので，
\( △ABE \) ∽ \( △CBF \)
歩さんと進さんは，手順に次の④を加え，さらに図形を観察した。
（３） 図３は，時計回りに90°回転移動させたものである。このとき，
\( CF：AE=1： \) え
\( CF：DG=1： \) お
である。 え ， お に当てはまる適切な数を書きなさい。
\( AB=EB=6 \; cm，∠ABC=90° \) より，\( △ABE \) も直角二等辺三角形なので，
\( △CBF \) ∽ \( △ABE \) であり，相似比は \( 3：6=1：2 \)
よって， \( CF：AE=1：2 \)
お ･･･ \( BD \) は長方形 \( ABCD \) の対角線，\( BG \) は長方形 \( EBFG \) の対角線なので，
\( BD=BG \) になっています。
また，\( △ABD≡△EBG \) なので，\( ∠ABD=∠EBG \)
\( ∠ABC=∠ABD+∠DBC=90° \)
\( ∠DBG=∠EBG+∠DBC=90° \)
なので，\( △DBG \) は直角二等辺三角形になっています。
\( △ABD \) において，三平方の定理より，
\( BD^2=6^2+3^2=45 \)
\( BD=3\sqrt{5} \; (cm) \)
\( △CBF \) も直角二等辺三角形なので，
\( △CBF \) ∽ \( △DBG \) であり，相似比は \( 3：3\sqrt{5}=1：\sqrt{5} \)
よって， \( CF：DG=1：\sqrt{5} \)
（４） 図４は，図３をさらに回転移動し，線分 \( CF \) と \( BE \) の交点を \( H \) としたものである。\( EH=5 \; cm \) のとき，\( △BDG \) の面積を求めなさい。
\( △BCF \) の面積を求めることにより，\( △BDG \) の面積を求めることができます。
\( △BCF \)の面積は線分 \( CH \) を底辺として求めることにします。
\( BE=AB=6 \; cm，EH=5 \; cm \) より，\( HB=1 \; cm \) なので，
\( △BFH \) において，三平方の定理より，
\( FH^2=3^2+1^2=10 \)
\( FH=\sqrt{10} \; (cm) \)
点 \( B \) から線分 \( FH \) に垂線をひき，交点を \( I \) とすると，
\( △BFH \) の面積は
\( BF \times BH \times \dfrac{1}{2} \)
\( FH \times BI \times \dfrac{1}{2} \)
と２通りで表すことができるので，
\( 3 \times 1 \times \dfrac{1}{2}=\sqrt{10} \times BI \times \dfrac{1}{2} \)
\( 3=\sqrt{10}BI \)
\( BI=\dfrac{3}{\sqrt{10}} \; (cm) \)
\( △BFI \) において，三平方の定理より，
\( FI^2=3^2- \left( \dfrac{3}{\sqrt{10}} \right)^2=9-\dfrac{9}{10}=\dfrac{81}{10} \)
\( FI=\dfrac{9}{\sqrt{10}} \; (cm) \)
\( △BCF \) は，\( BC=BF \) の二等辺三角形なので，
\( BI⊥CF \) より，\( I \) は線分 \( CF \) の中点であり，
\( CF=2FI=\dfrac{18}{\sqrt{10}} \; (cm) \)
ここから，\( △BCF \) の面積は，
\( △BCF=CF \times BI \times \dfrac{1}{2} \)
\( =\dfrac{18}{\sqrt{10}} \times \dfrac{3}{\sqrt{10}} \times \dfrac{1}{2} \)
\( =\dfrac{27}{10} \; (cm^2) \)
\( △BCF \) ∽ \( △BDG \) で，
相似比は，\( BC：CD=3：3\sqrt{5}=1：\sqrt{5} \)
相似な三角形の面積比は
相似比の２乗の比と等しいので，
\( △BCF：△BDG=1^2：(\sqrt{5})^2 \)
\( \dfrac{27}{10}：△BDG=1：5 \)
\( △BDG=\dfrac{27}{2} \; (cm^2) \)
\( △BCF \) と\( △BDG \) において
長方形 \( EBFG \) は，長方形 \( ABCD \) を回転させたものなので，
\( BC=BF \)
\( BD=BG \)
であり，
\( BC：BD=BF：BG \) ･･･ ➀
\( △BCD \) と\( △BFG \) において
\( BC=BF \)
\( BD=BG \)
\( ∠BCD=∠BFG=90° \)
より，\( △BCD≡△BFG \)
合同な三角形の対応する角は等しいので，
\( ∠CBD=∠FBG \) ･･･ ➁
また，
\( ∠CBF=∠FBG+∠CBG \) ･･･ ➂
\( ∠DBG=∠CBD+∠CBG \) ･･･ ➃
➁➂➃より，
\( ∠CBF=∠DBG \) ･･･ ➄
➀➄より，
２組の辺の比とその間の角が等しいので，
\( △BCF \) ∽ \( △BDG \)
