大問１
（１） \( 5+(-4) \) を計算しなさい。
（２） \( 2x+3+2(3x+1) \) を計算しなさい。
（３） 連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{} 3x+7y=8 \\ x+2y=2 \\ \end{array} \right. \) を解きなさい。
（４） \( \sqrt{9-a} \) の値が自然数となるような自然数 \( a \) を，すべて求めなさい。
（５） 二次方程式 \( 2x^2+3x-1=0 \) を解きなさい。
（６） 正の整数 \( a \) を \( 7 \) で割ったときの商を \( b \)，余りを \( c \) とする。このとき，\( a，b，c \) の関係を表した等式として正しいものを，次の ア～エ から１つ選び，記号を書きなさい。
［ ア \( \dfrac{a}{7}=b+c \) イ \( a=7b+c \) ウ \( 7a=b+c \) エ \( \dfrac{a+c}{7}=b \) 〕
（７） 関数 \( y=-3x^2 \) について，\( x \) の変域が \( -2≦x≦1 \) のとき，\( y \) の変域を求めなさい。
\( y=ax^2 \; (a<0) \) において，\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，
\( y \) の値は最大値をとり，\( y=0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きいとき，\( y \) の値は最小値をとります。
\( -2≦x≦1 \) において，
\( x \) の絶対値が最も大きいのは \( x=-2 \) のときなので，
\( x=-2 \) のときの \( y \) の値は，
\( y=-3 \times (-2)^2-12 \)
よって，\( y \) の変域は \( -12≦y≦0 \)
（８） \( y \) は \( x \) に反比例し，\( x=2 \) のとき \( y=-2 \) である。この \( x \) と \( y \) の関係を表すグラフは，の形で表されるか，次の ア～オ から１つ選び，記号を書きなさい。
（９） 図１において、 点 \( A，B，C \) は 円 \( O \) の円周上の点である。このとき，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。
\( ∠BAC=40° \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) に対する円周角，
\( ∠BOC \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) に対する中心角なので，
\( ∠BOC=2∠BAC=80° \)
線分 \( OB，OC \) は円 \( O \) の半径であることから，\( △OBC \) は二等辺三角形なので，
\( ∠x=\dfrac{180°-∠BOC}{2}=50° \)
（１０） 図２のように、直線 \( ℓ \) 上に２点 \( O，P \) がある。点 \( O \) を回転の中心として，点 \( P \) を時計まわりに \( 30° \) だけ回転移動させた点 \( Q \) を，定規とコンパスを使って作図しなさい。ただし，点 \( Q \) を表す文字 \( Q \) も書き，作図に用いた線は消さないこと。
手順１ ２点 \( O，P \) を中心に線分 \( OP \) を
半径とする円弧を描く
（交点を \( A \) とします）
手順２ ２点 \( O，A \) を通る直線を描く
手順３ ２点 \( A，P \) を中心に円弧を描く
（交点を \( B \) とします）
手順４ ２点 \( O，B \) を通る直線を描く
手順１の円弧 \( AP \) と手順４の直線の交点が求める点 \( Q \) になります。
（１１） ２つのさいころを同時に投げるとき，出る目の数の積が \( 12 \) になる確率を求めなさい。ただし，どの目の出方も同様に確からしいものとする。
２つのさいころをＡ，Ｂとして，２つのさいころの出る目の組み合わせとその積を表に書き出し，
積が \( 12 \) になるところに 〇 をつけると，
右のようになります。
全ての組み合わせは \( 36 \) 通り，
積が \( 12 \) になる組み合わせは \( 4 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9} \)
（１２） ある中学校では，年に３回，地域でのボランティア活動が行われている。表は，１年生全員の，ボランティア活動に参加した回数の調査結果をまとめたものであるが，一部が消えてしまった。回数が３回の生徒数を求めなさい。
度数分布表では，すべての階級の相対度数の合計は
必ず \( 1 \) になります。
３回の階級の相対度数を \( x \) とすると，
\( 0,15+0,40+0,25+x=1 \)
\( x=0,20 \)
また，ある階級の相対度数は
ある階級の相対度数 \( = \) その階級の度数 \( \div \) すべての階級の度数の合計
で求められます。
１年生全員の生徒数を \( y \) 人とし，１回の階級に注目すると，
\( \dfrac{24}{y}=0,40 \)
\( y=\dfrac{24}{0,40}=60 \)（人）
３回の階級の生徒数を \( z \) 人とすると，
\( \dfrac{z}{60}=0,20 \)
\( z=12 \)（人）
大問２
Ⅰ 花さんと優さんは，２人で生徒会企画の「紙飛行機チャレンジ」に出場しようと考えている。２人は，自作の紙飛行機Ａ，Ｂのうち，どちらを使うか検討するため，それぞれ \( 25 \) 回飛ばし，飛距離を測定した。表は，Ａ，Ｂそれぞれの測定結果について，まとめたものである。また，図１は，Ａ，Ｂそれぞれの測定結果について，箱ひげ図に表したものである。
（１） 表の あ に当てはまる数を書きなさい。
（２） 花さんは，表と図１からわかることを次の文にまとめた。 い ， う に当てはまる言葉の組み合わせとして最も適切なものを，下の ア～エ から１つ選び，記号を書きなさい。
う といえる。
ア い ･･･ 大きい う ･･･ 大きい
イ い ･･･ 大きい う ･･･ 小さい
ウ い ･･･ 小さい う ･･･ 大きい
エ い ･･･ 小さい う ･･･ 小さい
四分位範囲の大きさは，箱ひげ図の箱の部分の
長さが長い（高さが高い）ほど大きくなります。
箱ひげ図から，Ａの方がＢより箱の部分の高さは低いので，四分位範囲は小さいと判断できます。
また，四分位範囲の中（箱の中）には全体の約５０％の個数の値が含まれます。
つまり，Ａの方がＢより小さい箱の中に１３個の値を含んでいるので，それぞれの値の散らばりの程度も小さいといえます。
（３） 優さんは，表と図１から，Ｂを「紙飛行機チャレンジ」に使おうと考え，その理由を次のようにまとめた。優さんがまとめたことが正しくなるように， え ， お に当てはまる最も適切なものを，下の ア～オ から１つずつ選び，記号を書きなさい。
Ｂの中央値とＡの第３四分位数をくらべると， え の方が小さい。Ｂの中央値である \( 683 \; cm \) を基準にすると，それ以上飛んだ回数が，Ｂは \( 13 \) 回以上あり，Ａは最大でも お 回である。このことから，Ｂの方が飛距離が長い傾向にあるので，Ｂを使うとよいと考える。
〔 ア Ｂの中央値 イ Ａの第３四分位数 ウ \( 5 \) エ \( 6 \) オ \( 7 \) 〕
Ⅱ 海さんは，\( 1122 \) のように千の位と百の位が同じ数で，十の位と一の位が同じ数の４けたの正の整数について，どのような性質があるか考えた。海さんは，いくつかの数について調べたことから，次のように予想した。
\( 1122=11 \times 102，5533 = \) か \( \times \) き であるので，\( 1122，5533 \) は \( 11 \times \) 整数になっている。このことから，➀千の位と百の位が同じ数で，十の位と一の位が同じ数の４けたの正の整数は，いつも \( 11 \) の倍数になる。
（１） 海さんの予想が成り立つように， か ， き に当てはまる最も適切な数を書きなさい。
（２） 下線部①が正しいことは，文字式を使って，\( 11 \times \) 整数の形に表すことで次のように説明できる。\( \boxed{ } \) に続きを書き，正しい説明を完成させなさい。
この式をまとめると，
\( \boxed{ 1000a+100a+10b+b \\= \\ \\ } \)
したがって，千の位と百の位が同じ数で，十の位と一の位が同じ数の４けたの正の整数は，
\( 11 \) の倍数である。
Ⅲ 図２のように，立方体Ｐと正四角錐Ｑがある。Ｐ，Ｑともにすべての辺の長さは \( 12 \; cm \) である。陸さんと緑さんは，ＰとＱの体積をくらべたとき，どのようなことがいえるか，会話をしている。
会話文
陸：Ｑの体積は，Ｐの体積の \( \dfrac{1}{3} \) だね。
緑：Ｑの体積は，Ｐの体積の \( \dfrac{1}{3} \) より小さいのではないかな。なぜな
ら，Ｑの高さは， \( 12 \; cm \) より く からだよ。Ｑにおいて，
底面と交わる４つの辺が、底面に け ではないからね。
陸：そうか。だから，Ｑの体積は，Ｐの体積の \( \dfrac{1}{3} \) より小さいんだね。
（１） 下線部 ②が正しくなるように， く ， け に当てはまる適切な言葉を，それぞれ書きなさい。
四角すいの体積は，底面積 \( \times \) 高さ \( \times \dfrac{1}{3} \)
で求めることができます。
ＰとＱの底面はどちらも１辺 \( 12 \; cm \) の正方形で面積は等しいので，
Ｑの高さがＰと等しい \( 12 \; cm \) のとき，Ｑの体積は，Ｐの体積の \( \dfrac{1}{3} \) になります。
正四角錐Ｑの各頂点に名前を付けて，\( O-ABCD \) とします。
正四角錐Ｑの断面 \( △OAC \) について考えると，\( OA=12 \; cm \) であり，
点 \( A \) から垂直に伸ばした \( 12 \; cm \) の線分を \( O’A \) とするとき，
線分 \( OA \) は線分 \( O’A \) を点 \( A \) を中心に回転移動させたものになっています。
Ｑの高さを \( h \) とするとき，\( h<12 \) になるので，
Ｑの体積は，Ｐの体積の \( \dfrac{1}{3} \) より小さくなります。
（２） 体積がＰの体積の \( \dfrac{1}{3} \) と等しい正四角錐Ｒをつくる。Ｒの底面が１辺 \( 12 \; cm \) の正方形であるとき，ほかの１辺の長さを求めなさい。
線分 \( OI \) が高さであり，\( OI=12 \; cm \) になります。
また，断面 \( △OEG \) について考えると，
\( EG \) は１辺 \( 12 \; cm \) の正方形の対角線なので，\( EG=12\sqrt{2} \; cm \)
正方形の対角線は中点で交わるので，\( EI=6\sqrt{2} \; cm \)
になっています。
\( △OEG \) において，三平方の定理より，
\( OE^2=(6\sqrt{2})^2+12^2=216 \)
\( OE=6\sqrt{6} \; (cm) \)
大問３
Ⅰ 晴さんは，水筒に入れたお湯の温度が，時間にともなってどのように変化していくのか興味をもち，調べた。水筒にお湯を入れてから \( x \) 時間後のお湯の温度を \( y \; ^\circ C \) として，\( x \) と \( y \) の関係を表にまとめた。表で，対応する \( x \) と \( y \) の値の組を座標とする点をとると，図１のようになった。
晴さんは，図１から，次のように考えた。
図１の５つの点が，ほぼ あ 上に並んでいるので，\( y \) は \( x \) の一次関数とみることができる。
（１） 晴さんの考えが正しくなるように， あ に当てはまる適切な言葉を書きなさい。
図１の５つの点は，ほぼ一直線上に並んでいるといえます。
晴さんは，\( 4 \) 時間を超えてもお湯の温度が同じように変化を続けると考え，水筒にお湯を入れてから \( 6 \) 時間後のお湯の温度を次のように求めた。
一次関数のグラフが２点 \( (0，90)，(4，74) \) を通るとすると，傾きは い となる。
また，この２点を通る一次関数の式は う となる。この式を用いて \( 6 \) 時間後のお湯の温度を求めると， え \( ^\circ C \) になると推測できる。
（２） ［晴さんの考え２］が正しくなるように， い ， え には当てはまる適切な数を， う には当てはまる適切な式を，それぞれ書きなさい。
（３） 晴さんは，朝，水筒に入れたお湯が，\( 5 \) 時間後の昼食時に，飲み頃だと感じる \( 50.0 \; ^\circ C \) になるようにしたいと考えた。朝，水筒に入れるときのお湯の温度を何 \( ^\circ C \) にすればよいかを，グラフ，式を用いて求める方法は，それぞれ次のように説明できる。 お と か に続きを書き，正しい説明を完成させなさい。ただし，お湯の温度は，［晴さんの考え２］と同じ割合で下がるものとし，実際にお湯の温度を求める必要はない。
［グラフを用いて求める方法］
図１に点 \( (5，50) \) をとり，この点を通る
傾き い の一次関数のグラフをかく。
お
［式を用いて求める方法］
一次関数の式を \( y=ax+b \) とする。
\( a= \) い を代入する。
か
この直線と \( y \) 軸の交点の \( y \) 座標の値を求める。
か
\( x=5，y=50 \) を代入したときの \( b \) の値を求める。
Ⅱ 図２のように，関数 \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) のグラフ上に \( x \) 座標が \( 4 \) である点 \( A \) をとる。\( x \) 軸上に点 \( P \) をとり，点 \( P \) を通り \( y \) 軸に平行な直線を ℓ とし， ℓ と直線 \( OA \) の交点を \( Q \)，ℓ と関数 \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) のグラフの交点を \( R \) とする。ただし，原点 \( O \) から点 \( (1，0) \) までの距離，および原点 \( O \) から点 \( ( 0, 1) \) までの距離はそれぞれ \( 1 \; cm \) とする。
（１） 点 \( P \) の \( x \) の値が変化するにつれて，点 \( Q，R \) の \( y \) の値がどのように変化するかについて，次のようにまとめた。 き に当てはまる最も適切なものを，下のア～エから１つ選び，記号を書きなさい。
点 \( Q \) の \( y \) の値は， \( 2 \) 倍，\( 3 \) 倍，\( 4 \) 倍，･･･ となり，
点 \( R \) の \( y \) の値は， き となる。
ア \( \dfrac{1}{2} \) 倍，\( \dfrac{1}{3} \) 倍，\( \dfrac{1}{4} \) 倍、･･･
イ \( 2 \) 倍，\( 3 \) 倍，\( 4 \) 倍，･･･
ウ \( 2 \) 倍，\( 4 \) 倍，\( 6 \) 倍，･･･
エ \( 4 \) 倍，\( 9 \) 倍，\( 16 \) 倍，･･･
（２） 点 \( P \) の \( x \) 座標が \( 6 \) のとき，\( QR \) の長さを求めなさい。
点 \( A \) は \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で， \( x \) 座標の値が \( 4 \)
なので，\( y \) 座標の値は，
\( y=\dfrac{1}{2} \times 4^2=8 \)
であり，点 \( A \) の座標は \( A(4，8) \)
ここから，直線 \( OA \) の式は \( y=2x \)
点 \( Q \) は \( y=2x \) 上の点で，\( x \) 座標の値が \( 6 \)
なので，\( y \) 座標の値は，
\( y=2 \times 6=12 \)
であり，点 \( Q \) の座標は \( Q(6，12) \)
点 \( R \) は \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標の値が \( 6 \)
なので，\( y \) 座標の値は，
\( y=\dfrac{1}{2} \times 6^2=18 \)
であり，点 \( R \) の座標は \( R(6，18) \)
以上より，\( QR \) の長さは \( 18-12=6 \; (cm) \)
（３） 点 \( P \) の \( x \) 座標が正の数で，\( PQ=QR \) のとき，点 \( P \) の \( x \) 座標を求めなさい。
点 \( P \) の \( x \) 座標を \( s \) とすると，
点 \( Q \) の \( y \) 座標は \( 2s \)，
点 \( R \) の \( y \) 座標は \( \dfrac{1}{2}s^2 \)
と表すことができるので，
\( PQ=2s \)
\( QR=\dfrac{1}{2}s^2-2s \)
と表すことができます。
以上より，
\( PQ=QR \)
\( 2s=\dfrac{1}{2}s^2-2s \)
\( \dfrac{1}{2}s^2-4s=0 \)
\( s^2-8s=0 \)
\( s(s-8)=0 \)
\( s=0，8 \)
\( s \) は正の数なので，あてはまるのは \( s=8 \)
よって，求める点 \( P \) の \( x \) 座標は \( 8 \) になります。
（４） ２点 \( A，P \) を通る直線の傾きが \( \dfrac{1}{2} \) となるとき，点 \( R \) の座標を求めなさい。
点 \( P \) は，点 \( A \) を通り，傾き \( \dfrac{1}{2} \) の直線と \( x \) 軸の交点になります。
点 \( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，
点 \( A \) は，点 \( P \) から \( x \) 方向に \( 4-t \)，\( y \) 方向に \( 8 \) 移動した点なので，
\( \dfrac{8}{4-t}=\dfrac{1}{2} \)
\( 4-t=16 \)
\( t=-12 \)
点 \( P \) と点 \( R \) の \( x \) 座標は等しいので，
\( x \) 座標の値が \( -12 \) のときの点 \( R \) の \( y \) 座標は，
\( y=\dfrac{1}{2} \times (-12)^2=72 \)
よって，求める点 \( R \) の座標は，\( R(-12，72) \) になります。
大問４
Ⅰ 夏さんは，図１のように幅 \( 4 \; cm \) のリボンを重ね，リボンが重なった部分に着目した。
図２は，数学の作図ソフトを使い，リボンを長方形ア，長方形イとして表したものである。このとき，２つの長方形が重なる部分の図形を，四角形 \( ABCD \) とする。ただし，リボンの幅を長方形の短い辺として，辺の長さを \( 4 \; cm \) で固定する。また，リボンの長さを長方形の長い辺として，辺の長さは自由に変えられるものとする。
（１） 夏さんは、図２の四角形 \( ABCD \) は平行四辺形になると予想し，この予想が成り立つことを，次のように説明した。説明が正しくなるように，\( \boxed{\phantom{ }} \) に当てはまる適切な言葉を書きなさい。
ア，イは長方形だから，四角形 \( ABCD \) で、「平行四辺形になるための条件」である
「\( \boxed{\phantom{ }} \) がそれぞれ平行であるとき」がいえる。
したがって，四角形 \( ABCD \) は平行四辺形である。
（２） 図３は，図２において，\( ∠ABC=45° \) としたものである。
① \( ∠BAD \) の大きさを求めなさい。
\( ∠BAD=180°-∠ABC=135° \)
【別解】
平行四辺形の向かい合う辺は平行なので，\( AD//BC \) です。
平行な直線の錯角は等しいので，
\( ∠BAD \) の外角は \( ∠ABC \) と等しく，
\( 45° \) になっています。
よって，\( ∠BAD=180°-45°=135° \)
➁ 四角形 \( ABCD \) の面積を求めなさい。
点 \( C \) から線分 \( AB \) に垂線をひき，
交点を \( M \) とすると，
\( △MBC \) は，\( BM=CM=4 \; cm \) の直角二等辺三角形になっているので，
\( BC=\sqrt{2}CM=4\sqrt{2} \; (cm) \)
よって，四角形 \( ABCD \) の面積は，
\( 4\sqrt{2} \times 4=16\sqrt{2} \; (cm^2) \)
Ⅱ 夏さんは，さらに幅 \( 3 \; cm \) のリボンを重ねた場合について考えることにした。
図４は，図２において，幅 \( 3 \; cm \) のリボンを長方形ウとして表し，加えたものである。このとき，ウがアと重なる部分の四角形 \( AEFG \) が長方形になるようにし，直線 \( AE \) と直線 \( CD \) の交点を \( P \) とする。ただし，ウの短い辺を \( 3 \; cm \) で固定し，ウの長い辺の長さは自由に変えられるものとする。
（１） \( △ABE \) ∽ \( △PCE \) を証明しなさい。
\( △ABE \) と \( △PCE \) において，
対頂角は等しいので，\( ∠AEB=∠PEC \) ･･･ ➀
長方形の向かい合う辺は平行なので，
\( AB//PC \) であり，
錯角は等しいので，\( ∠ABE=∠PCE \) ･･･ ➁
➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABE \) ∽ \( △PCE \)
（２） 夏さんは，\( △ABE≡△PCE \) となるのはどのようなときか調べた。図５は、図４において， イ を，点 \( A \) を回転の中心として，\( △ABE≡△PCE \) となるように回転させたものである。
① \( ∠BAE \) の大きさを求めなさい。
補助線 \( AC \) をひくと，
\( △ABE \) と \( △ACE \) において，
長方形の内角は \( 90° \) なので，
\( ∠AEB=∠AEC=90° \) ･･･ ➀
\( △ABE≡△PCE \) より，
\( BE=CE \) ･･･ ➁
また，\( AE \) は共通 ･･･ ➂
➀➁➂より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABE≡△ACE \)
対応する辺は等しいので，\( AB=AC \) ･･･ ➃
点 \( B \) から線分 \( CP \) に垂線をひき，
交点を \( H \) とすると，
\( △ABE \) と \( △BCH \) において，
長方形ア，イのリボンの幅を表しているので，
\( AE=BH=4 \; cm \) ･･･ ➄
\( ∠AEB=∠BHC=90° \) ･･･ ⑥
三角形の内角の和は \( 180° \) なので，
\( ∠BAE=90°-∠ABE \) ･･･ ⑦
\( ∠ABH=90° \) でもあるので，
\( ∠CBH=90°-∠ABE \) ･･･ ⑧
⑦⑧より，
\( ∠BAE=∠CBH \) ･･･ ➈
➄⑥➈より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABE≡△BCH \)
対応する辺は等しいので，\( AB=BC \) ･･･ ➉
➃➉より，\( △ABC \) は正三角形なので，
\( △ABE≡△ACE \) より \( ∠BAE=\dfrac{1}{2}∠BAC=30° \)
② \( PD \) の長さを求めなさい。
\( △PDA \) において，
\( △ABE≡△PCE \) より，
\( ∠CPE=∠BAE=30° \)
長方形 \( AEFG \) の内角なので，
\( ∠PAD=90° \)
以上より，\( △PDA \) は
\( 30°，60°，90° \) の直角三角形になっています。
\( △ABE≡△PCE \) より，
\( AE≡PE=4 \; cm \) であり，\( PA=8 \; cm \) なので，
\( PD=\dfrac{2}{\sqrt{3}}PA=\dfrac{16\sqrt{3}}{3} \; (cm) \)
（３） 図６は，図４において，長方形イを，点 \( A \) を回転の中心として，点 \( C \) と点 \( F \) が重なるように回転させたものである。このとき，\( BE：EC \) を求め，最も簡単な整数の比で表しなさい。ただし，点 \( F \) を省いて表している。
\( BE \) の長さがわかれば，\( BE：EC \) を求めることができます。
\( BE=x \; cm \) とすると，\( BC=x+3 \; cm \) と表すことができるので，
（２）➀より，\( △ABE≡△BCH \; (AB=BC) \) であることに注目すると，
\( AB \) の長さを \( x \) を使って表すことができれば，
\( AB=BC \) より，\( x \) の値を求めることができます。
（２）➀より，\( △ABE≡△BCH \) なので，
\( AB=BC \) になっています。
\( △ABE \) において，\( BE=x \; cm \) とすると，
三平方の定理より，
\( AB^2=x^2+4^2 \)
また，\( BC=x+3 \; cm \) と表すことができるので，
\( BC^2=(x+3)^2 \)
\( AB=BC \) より，\( AB^2=BC^2 \) なので，
\( AB^2=BC^2 \)
\( x^2+4^2=(x+3)^2 \)
\( x^2+16=x^2+6x+9 \)
\( 6x=7 \)
\( x=\dfrac{7}{6} \; (cm) \)
よって，
\( BE：EC=x：3 \)
\( =\dfrac{7}{6}：3 \)
\( =7：18 \)
注）平行四辺形 \( ABCD \) の周辺のみ抜粋
