大問１
(1) \( 3+2 \times (-3)^2 \) を計算せよ。
(2) \( 2(x+3y)-(x-2y) \) を計算せよ。
(3) \( \dfrac{\sqrt{2}+1}{3}-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \) を計算せよ。
(4) \( x^2+5x-6 \) を因数分解せよ。
(5) ２次方程式 \( 2x^2+3x-4=0 \) を解け。
(6) 1次関数 \( y=-2x+1 \) について，\( x \) の変域が \( -1≦x≦2 \) のとき，\( y \) の変域を求めよ。
\( y=-2x+1 \) に \( x=-1 \) を代入すると，
\( y=-2 \times (-1)+1=3 \)
\( y=-2x+1 \) に \( x=2 \) を代入すると，
\( y=-2 \times 2+1=-3 \)
よって，\( y \) の変域は，\( -3≦y≦3 \)
(7) \( 2023=7×17×17 \) である。\( 2023 \) を割り切ることができる自然数の中で，\( 2023 \) の次に大きな自然数を求めよ。
(8) 図１のように，円 \( O \) の周上に４つの点 \( A，B，C，D \) があり，線分 \( BD \) は円 \( O \) の直径である。\( ∠BAC=47° \) のとき，\( ∠x \) の大きさを求めよ。
\( △BDC \) において，
直径 \( BD \) に対する円周角なので，\( ∠BCD=90° \)
弧 \( BC \) に対する円周角なので，\( ∠BDC=∠BAC=47° \)
よって，\( ∠x=180°-(∠BCD+∠BDC)=43° \)
(9) 図２のような半径が \( 3 \; cm \)，中心角が \( 90° \) のおうぎ形 \( OAB \) を，線分 \( OA \) を軸として１回転させてできる立体の体積は何 \( cm^3 \) か。
できる立体は半径 \( 3 \; cm \) の半球になるので，
\( \dfrac{4}{3} \times \pi{} \times 3^3 \times \dfrac{1}{2}=18\pi{} \; (cm^3) \)
(10) 図３のように，３点 \( A，B，C \) がある。３点 \( A，B，C \) を通る円の中心 \( O \) を定規とコンパスを用いて解答用紙の図３に作図して求め，その位置を点 ● で示せ。ただし，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。
手順１ 点 \( A，B \) を中心に等しい半径で弧を描く。
（交点を点 \( D，E \) とします）
手順２ 点 \( D，E \) を通る直線を描く
手順３ 点 \( A，C \) を中心に等しい半径で弧を描く。
（交点を点 \( F，G \) とします）
手順４ 点 \( F，G \) を通る直線を描く
手順２と手順４の直線の交点が中心 \( O \) になります。
大問２
問１ 次のデータは，ある書店における月刊誌Ａの１２か月間の月ごとの販売冊数を少ない順に並べたものである。このデータについて，次の(1)~(3)に答えよ。
(1) 中央値（メジアン）を求めよ。
(2) 次の➀～➃の文の中から正しいものを１つ選び，その番号を書け。
➀ 第１四分位数は，１１冊である。
➁ 最頻値 (モード) は，２１冊である。
➂ 四分位範囲は，５．５冊である。
➃ 平均値は，１４冊である。
(3) このデータの箱ひげ図として正しいものを，次の➀～➃の中から1つ選び，その番号を書け。
問２ 右の図のように，袋に１から４までの数字が１つずつ書かれた同じ大きさの球が４個入っている。この袋の中の球をよくかきまぜて，球を１個ずつ何回か取り出す。ただし，一度取り出した球は袋にもどさないものとする。 このとき，次の(1)～(3)に答えよ。
(1) １回取り出すとき，４の数字が書かれている球を取り出す確率を求めよ。
(2) ２回続けて取り出すとき，２回目に４の数字が書かれている球を取り出す確率を求めよ。
すべての組み合わせは１２通り，２回目に４の球を取り出すのは３通りなので，
求める確率は \( \dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4} \)
(3) ３回続けて取り出した後，次のルールにしたがって得点を定めるとき，得点が４点となる確率を求めよ。
ルール
・ ２回目に取り出した球に書かれている数が１回目に取り出した球に書かれている数より大きければ，
２回目に取り出した球に書かれている数を得点とする。
・ ２回目に取り出した球に書かれている数が１回目に取り出した球に書かれている数より小さければ，
３回目に取り出した球に書かれている数を得点とする。
例えば，１回目に１，２回目に２，３回目に３の数字が書かれている球を取り出したとき，得点は２点となり，１回目に４，２回目に３，３回目に１の数字が書かれている球を取り出したとき，得点は１点となる。
すべての組み合わせは２４通り，得点が４点になるのは９通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{9}{24}=\dfrac{3}{8} \)
問３ ２つの続いた偶数 \( 4，6 \) について，\( 4 \times 6+1 \) を計算すると \( 25 \) になり，\( 5 \) の２乗となる。このように，「２つの続いた偶数の積に１を加えると，その２つの偶数の間の奇数の２乗となる。」ことを文字 \( n \) を使って証明せよ。ただし，証明は解答用紙の「 \( n \) を整数とし，２つの続いた偶数のうち，小さいほうの偶数を \( 2n \) とすると，」に続けて完成させよ。
大問３
図１～図３のように，関数 \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) のグラフ上に２点 \( A，B \) があり，\( x \) 座標はそれぞれ \( -4，2 \) である。原点を \( O \) として，次の問いに答えなさい。
問１ 点 \( A \) の \( y \) 座標を求めよ。
問２ 直線 \( AB \) の傾きを求めよ。
問３ 図２，図３のように，関数 \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) のグラフ上に点 \( C \)，\( y \) 軸上に点 \( D \) をそれぞれ四角形 \( ABCD \) が平行四辺形となるようにとる。このとき，次の (1)～(3) に答えよ。
(1) 点 \( C \) の \( x \) 座標を求めよ。
平行四辺形の向かい合う辺は平行で長さが等しいので，
点 \( A \) から点 \( B \) まで \( x \) 方向に \( 6 \)，\( y \) 方向に \( -3 \) 進むとき，
点 \( D \) から点 \( C \) までも，\( x \) 方向に \( 6 \)，\( y \) 方向に \( -3 \) 進みます。
点 \( D \) は \( y \) 軸上の点，つまり，\( x \) 座標は \( 0 \)なので，
点 \( C \) の \( x \) 座標は \( 6 \)
(2) 点 \( D \) の \( y \) 座標を求めよ。
(3) 図３のように，さらに \( y \) 軸上に点 \( E \) をとる。 \( △ADE \) の面積と \( △BCE \) の面積が等しくなるとき，点 \( E \) の \( y \) 座標を求めよ。
点 \( E \) を通り，線分 \( BC \) と平行な直線が線分 \( CD \) の中点を通るとき，
\( △ADE \) の面積と \( △BCE \) の面積が等しくなります。
点 \( C，D \) の座標は \( C(6，9)，D(0，12) \) なので，
中点を \( F \) とすると，\( F\left(3，\dfrac{21}{2}\right) \) となります。
また，点 \( B，C \) の座標は \( B(2，1)，C(6，9) \) なので，
直線 \( BC \) の傾きは \( \dfrac{9-1}{6-2}=2 \)
直線 \( EF \) の式は，\( F\left(3，\dfrac{21}{2}\right) \) を通り，傾きが \( 2 \) の直線なので，\( y=2x+b \) とすると，
\( \dfrac{21}{2}=2 \times 3+b \)
\( b=\dfrac{9}{2} \)
平行四辺形の向かい合う辺は平行で，長さが等しいので， \( AD//BC，AD=BC \) になります。
\( △ADE \) の底辺を \( AD \)，\( △BCE \) の底辺を \( BC \)と考えると，高さが等しいとき，
面積も等しくなります。
線分 \( CD \) の中点を点 \( M \) とし，点 \( M \) を通り，
直線 \( AD，BC \) に垂直な直線と直線 \( AD，BC \) との交点を点 \( F，G \) とします。
\( DM=CM，∠DFM=∠CGM=90° \) ，
\( ∠DMF=∠CMG \) より，\( △DFM≡△CGM \)
対応する辺の長さは等しいので，\( FM=GM \)
よって，\( △ADM=△BCM \)
等積変形の考え方から，点 \( M \) を通り，線分 \( BC \) に平行な直線上に \( E \) があるとき，
\( △ADE=△ADM，△BCE=△BCM \) なので，\( △ADE=△BCE \)
以上より，点 \( E \) を通り，線分 \( BC \) と平行な直線が線分 \( CD \) の中点を通るとき，
\( △ADE \) の面積と \( △BCE \) の面積が等しくなるといえます。
大問４
図１，図２，図４のように，1辺が \( 4 \; cm \) の立方体 \( ABCDEFGH \) がある。また，辺 \( EF，EH \) の中点をそれぞれ \( P，Q \) とする。このとき，次の問いに答えなさい。
問１ 図１において，三角錐 \( AEPQ \) の体積は何 \( cm^3 \) か。
問２ 図２において，線分 \( PQ \)，線分 \( BP \) の長さはそれぞれ何 \( cm \) か。
問３ 図２において，四角形 \( BDQP \) は，\( BP=DQ \) の台形である。図３は台形 \( BDQP \) を平面に表したものであり，２点 \( P，Q \) から辺 \( BD \) にひいた垂線と辺 \( BD \) との交点をそれぞれ \( R，S \) とする。このとき，次の (1)～(3) に答えよ。
(1) 線分 \( BR \) の長さは何 \( cm \) か。
\( BR=\dfrac{BD-RS}{2}=\dfrac{BD-PQ}{2} \)
となります。
\( BD=4\sqrt{2} \; cm \) なので，
\( BR=\dfrac{4\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2} \; (cm) \)
立方体の向かい合う面はそれぞれ平行になります。
線分 \( BD，PQ \) は，それぞれ向かい合う面 \( ABCD，EFGH \) 上にあるので，\( BD//PQ \) ･･･ ➀
また，\( PR⊥BD，QS⊥BD \) より，\( PR//QS \) ･･･ ➁
➀➁より，向かい合う２組の辺がそれぞれ平行なので，
四角形 \( PQSR \) は平行四辺形になっています。
\( △BPR \) と \( △DQS \) において，
平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので，\( PR=QS \) ･･･ ➂
仮定より，\( ∠BRP=∠DSQ=90° \) ･･･ ➃
\( BP=DQ \) ･･･ ➄
➂➃➄より，直角三角形において，斜辺と他の１辺の長さがそれぞれ等しいので，
\( △BPR≡△DQS \)
合同な三角形の対応する辺の長さは等しいので，\( BR=DS \)
(2) 台形 \( BDQP \) の面積は何 \( cm^2 \) か。
\( BP=2\sqrt{5} \; cm，BR=\sqrt{2} \; cm \) より，
\( PR^2=BP^2-BR^2 \)
\( =(2\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2 \)
\( =18 \)
\( PR=3\sqrt{2} \; (cm) \) (\( PR>0 \)より)
よって，台形 \( BDQP \) の面積は
\( (2\sqrt{2}+4\sqrt{2}) \times 3\sqrt{2} \times \dfrac{1}{2}=18 \; (cm^2) \)
(3) 立体 \( ABDEPQ \) の体積は何 \( cm^3 \) か。
線分 \( AE，BP \) を延長した交点を点 \( R \) とすると，立体 \( ABDEPQ \) は，
三角すい \( R-ABD \) から三角すい \( R-EPQ \) を切り取ったものと考えることができます。
\( ∠REP=∠RAB，∠R \) は共通，\( EP：AB=1：2 \) より，
\( △REP \) と \( △RAB \) は相似で，相似比は \( EP：AB=1：2 \) になっています。
よって，\( AE=4 \; cm \) より，
\( ER：AR=1：2 \)
\( ER：(AE+ER)=1：2 \)
\( ER：(4+ER)=1：2 \)
\( 2ER=4+ER \)
\( ER=4 \)
三角すい \( R-ABD=\left( 4 \times 4 \times \dfrac{1}{2} \right) \times 8 \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{64}{3} \; (cm^3) \)
三角すい \( R-EPQ=\left( 2 \times 2 \times \dfrac{1}{2} \right) \times 4 \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{8}{3} \; (cm^3) \)
なので，
立体 \( ABDEPQ=\dfrac{64}{3}-\dfrac{8}{3}=\dfrac{56}{3} \; (cm^3) \)
問4 図４のように，点 \( A \) から台形 \( BDQP \) にひいた垂線と台形 \( BDQP \) との交点を \( T \) とする。このとき，線分 \( AT \) の長さは何 \( cm \) か。
大問５
図１，図２のような四角形 \( ABCD \) があり，\( BC=6 \; cm，CD=4 \; cm，DA=3 \; cm \) ，
\( ∠BCD=∠CDA=90° \) である。また，辺 \( BC \) 上に，点 \( E \) を四角形 \( AECD \) が長方形となるようにとる。このとき，次の問いに答えなさい。
問１ \( △ABE \) の面積は何 \( cm^2 \) か。
長方形の向かい合う辺の長さはそれぞれ等しいので，
\( AE=CD=4 \; cm，CE=DA=3 \; cm \)
また，\( BE=BC-CE=3 \; (cm) \)
よって，
\( △ABE=3 \times 4 \times \dfrac{1}{2}=6 \; (cm^2) \)
問２ 図２のように，線分 \( AE \) と線分 \( BD \) との交点を \( F \) とする。このとき，\( △DAF≡△BEF \) であることを次のように証明した。 (ア) ， (イ) にあてはまることばを書き入れて，証明を完成させよ。
(証明)
\( △DAF \) と \( △BEF \) において
四角形 \( AECD \) は長方形であるから
\( BE=BC-EC=3 \; cm \) となり
\( DA=BE \) ･･･ ➀
また，\( AD//BC \) であり，平行線の (ア) は等しいので
\( ∠ADF=∠EBF \) ･･･ ➁
\( ∠DAF=∠BEF \) ･･･ ➂
➀，➁，➂ より，
(イ) がそれぞれ等しいから
\( △DAF≡△BEF \)
問３ 図３のように，図２の四角形 \( ABCD \) を頂点 \( B \) が頂点 \( D \) に重なるように折り返すと，折り目は，辺 \( AB \) 上の点 \( P \) と辺 \( BC \) 上の点 \( Q \) とを結ぶ線分 \( PQ \) となった。
図４は，この折り返しをもとにもどした図である。このとき，次の (1)～(3) に答えよ。
(1) \( △DAF \) と相似な三角形を，次の ➀～➃ の中から１つ選び，その番号を書け。
➀ \( △FPA \) ➁ \( △FEQ \) ➂ \( △AEB \) ➃ \( △BFP \)
折り返す前と後の点を結ぶ線分と折り目の線分は垂直に交わるので，
\( ∠DFQ=90° \)
\( △DAF \) において，\( ∠ADF=○，∠AFD=× \) とすると，
\( ∠ADF+∠AFD+∠DAF=180° \)
\( ○+×+90°=180° \)
\( ○=90°-× \) ･･･ ➀
点 \( F \) は線分 \( AE \) 上の点なので，
\( ∠AFD+∠DFQ+∠EFQ=180° \)
\( ×+90°+∠EFQ=180° \)
\( ∠EFQ=90°-× \) ･･･ ➁
➀➁より，\( ∠EFQ=○ \)
よって，\( ∠ADF=∠EFQ \) ･･･ ➂
四角形 \( AECD \) は長方形なので，
\( ∠FAD=∠QEF=90° \) ･･･ ➃
➃➄より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △DAF \) ∽ \( △FEQ \)
(2) 線分 \( EQ \) の長さは何 \( cm \) か。
\( △DAF≡△BEF \) より，
\( AF=FE=\dfrac{1}{2}AE=2 \; cm \) なので，
\( DA：FE=AF：EQ \)
\( 3：2=2：EQ \)
\( 3EQ=4 \)
\( EQ=\dfrac{4}{3} \; (cm) \)
(3) 線分 \( AP \) の長さと線分 \( PB \) の長さの比を，最も簡単な整数の比で表せ。
直線 \( AD \) と直線 \( PQ \) の交点を点 \( R \) とすると，
\( AF=EF，∠FAR=∠FEQ，∠AFR=∠EFQ \) より，
\( △AFR≡△EFQ \)
対応する辺の長さは等しいので，\( AR=EQ＝\dfrac{4}{3} \; (cm) \)
\( △APR \) と \( △BPQ \) において，
\( DR//BC \) で，錯角は等しいので，\( ∠RAP=∠QBP，∠ARP=∠BQP \)
２組の角がそれぞれ等しいので，\( △APR \) ∽ \( △BPQ \)
対応する辺の長さは等しいので，
\( AP：BP=AR：BQ \)
\( =\dfrac{4}{3}：\left( 3+\dfrac{4}{3} \right) \)
\( =\dfrac{4}{3}：\dfrac{13}{3} \)
\( =4：13 \)
大問６
幹奈さんと新一さんのクラスでは，文化祭で電球を並べて巨大な電飾のタワーを作ることになりました。タワーを作るために必要な電球の個数について，幹奈さんと新一さんが先生と話をしています。３人の会話を読んで，あとの問いに答えなさい。
幹奈：ポスターにあるようなタワーを参考にして作ります。タワーは
４０段で，形は正四角錐にしましょう。一番上の段を１段目と
して，１段目は１個，２段目以降は，\( n \) 段目の正方形の一辺に
\( n \) 個ずつ電球を並べます。図１は，各段に並ぶ電球のうち，
１段目から５段目までを表したものです。
新一：まず，１段目から６段目までに電球が何個必要かを考えてみま
す。１段ずつ考えると，１段目は１個，２段目は４個，３段目は
８個，４段目は１２個，５段目は１６個，６段目は \( \fbox{ (ア) } \) 個と
なるので，１段目から６段目までの電球の個数の合計は
\( \fbox{ (イ) } \) 個です。
幹奈：１段目から順番に４０段目までの電球の個数を足していくと，
計算が大変ですね。
新一：奇数段目と偶数段目に分けて考えてみましょう。奇数段目は
図２のように１段目から順に組み合わせて，しきつめていくと
計算しやすいですね。図２を利用して，１段目，３段目，
５段目，･･･，３９段目の電球の個数の合計は\( \fbox{ (ウ) } \)\( \times \)\( \fbox{ (ウ) } \) と
いう式で計算できます。
幹奈：偶数段目も同じように計算できますね。
新一：１段目から４０段目までの電球の個数の合計は \( \fbox{ (エ) } \) 個に
なりました。
先生：よくできましたね。でも，そんなに多いと予算を超えてしまい
ますよ。
幹奈：では，正四角錐はあきらめて，正三角錐で作りましょう。
１段目は１個，２段目以降は，\( n \) 段目の正三角形の一辺に
\( n \) 個ずつ電球を並べます。１段目から４０段目までの電球の
個数の合計は何個になるかを考えてみます。
今度も工夫して計算できないのかな。
先生：図３を利用して，まず６段目までで段をどのように分けて
組み合わせるかを考えてみましょう。
新一：わかりました。１段目から６段目までを，\( \fbox{ (オ) } \)，\( \fbox{ (カ) } \)，
\( \fbox{ (キ) } \) の３組に分けて，それぞれ組み合わせると，しきつめる
ことができますね。
幹奈：その考え方を利用すれば，１段目から４０段目までの個数の
合計も求められそうです。でも，正方形のときと同じようには
計算できませんね。
先生：例えば，図４の点線で囲まれた電球の個数は，同じ個数の
電球を図４のように逆向きにして並べると計算できませんか。
(数分後)
新一：できました。図４の点線で囲まれた電球の個数は
\(\dfrac{\fbox{ (ク) }(\fbox{ (ク) }+1)}{\fbox{ (ケ) }}\) という式で計算できます。
幹奈：この考え方を使うと，正三角錐で作る場合，１段目から４０段目
までの電球の個数の合計は \( \fbox{ (コ) } \) 個になりますね。
これで予算内に収まりますか。
図において，電球を同じ大きさの○で表し，図１，図３は各段を真上から見た図とする。
問１ \( \fbox{ (ア) } \)，\( \fbox{ (イ) } \)，\( \fbox{ (ウ) } \)，\( \fbox{ (エ) } \) にあてはまる自然数を答えよ。
問２ \( \fbox{ (オ) } \)，\( \fbox{ (カ) } \)，\( \fbox{ (キ) } \) にあてはまる段の組を答えよ。
問３ \( \fbox{ (ク) } \)，\( \fbox{ (ケ) } \) にあてはまる１けたの自然数を答えよ。
ただし，これは，求めたい三角形状に並んだ個数の２倍（点線の三角形２個分）を数えているので，
２で割る必要があります。
問４ \( \fbox{ (コ) } \) にあてはまる自然数を答えよ。
