大問１
（１） \( 3-2 \times \left(-\dfrac{1}{2} \right) \) を計算せよ。
（２） \( \sqrt{48}+\dfrac{3}{\sqrt{3}} \) を計算せよ。
（３） 家から学校までの通学路の距離は \( 5 \; km \) ある。通学路の途中に本屋があり，家から本屋まで時速 \( 3 \; km \) で歩くと \( a \) 時間かかる。このとき，本屋から学校までの距離を \( a \) を用いて表せ。
（４） 連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
2x-y=5 \\
3x+2y=-3 \\
\end{array} \right. \) を解け。
（５） ２次方程式 \( x^2-3x-4=0 \) を解け。
（６） ある高校の１クラスの生徒 \( 40 \) 人で，当たりくじつきのアイスを \( 1 \) 人 \( 1 \) 本ずつ食べたところ，その中の \( 2 \) 本が当たりだった。全校生徒 \( 600 \) 人で，このアイスを \( 1 \) 人 \( 1 \) 本ずつ食べたとき，およそ何本が当たりであると考えられるか。
（７） \( 2024=\dfrac{22 \times 23 \times 24}{□} \) と表せる。□に入る自然数を答えよ。
\( 2024 \) を素因数分解すると，\( 2024=2^3 \times 11 \times 23 \) なので，
\( 2024=(2 \times 11) \times 23 \times 2^2=22 \times 23 \times 4 \)
と表すことができます。
問題の式は，
\( 2024=22 \times 23 \times \dfrac{24}{□} \)
と表すこともできるので，
\( 22 \times 23 \times 4=22 \times 23 \times \dfrac{24}{□} \)
\( 4=\dfrac{24}{□} \)
\( □=6 \)
（８） 図１のような円 \( O \) において，\( ∠x \) の大きさを求めよ。
右の図のように点 \( A，B，C \) とすると，\( ∠ABC \) は弧 \( AC \) の円周角，\( ∠AOC \) (\( ∠x \) の反対側) は弧 \( AC \) の中心角なので，
\( ∠AOC=2 \times 108°=216° \)
よって，
\( ∠x=360°-216°=144° \)
（９） 図２のような，底面の円の半径が \( 3 \; cm \)，高さが \( 5 \; cm \) の円柱の体積は何 \( cm^3 \) か。
（１０） 図３において，\( ∠ABC \) の二等分線上にあって，点 \( A \) からの距離が最も短い点 \( P \) を定規とコンパスを用いて解答用紙の図３に作図して求め，その位置を点 \( \bullet \) で示せ。
ただし，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。
手順１ 点 \( B \) を中心に円弧を描く。
(直線 \( AB，BC \) との交点を，
それぞれ点 \( D，E \) とします。)
手順２ ２点 \( D，E \) を中心に円弧を描く。
(交点を点 \( F \) とします。)
手順３ ２点 \( B，F \) を通る直線を描く。
手順４ 点 \( A \) を中心に円弧を描く。
(直線 \( BF \) との交点を，
それぞれ点 \( G，H \) とします。)
手順５ ２点 \( G，H \) を中心に円弧を描く。
(交点を点 \( I \) とします。)
手順６ ２点 \( A，I \) を通る直線を描く。
手順３と手順６の直線の交点が求める点になります。
大問２
問１ 図１は，ある中学校の１年生４０人に対して，５月と６月に行った数学の１０点満点の小テストの得点の結果をもとにそれぞれ作成したヒストグラムである。このとき，次の（１）～（３）に答えよ。
（１） ５月の小テストで，得点が４点以下の生徒は何人か。
（２） ５月の小テストの得点と６月の小テストの得点の散らばりの程度(散らばりのぐあい)はどちらが大きいか，５月の小テストのヒストグラムと６月の小テストのヒストグラムから読み取れる数値を比較して説明せよ。
（３） 次の①～④について，図１から読み取れることとして，必ず正しいと判断できるものを１つ選び，その番号を書け。
➀ 最頻値(モード) は，５月の小テストよりも６月の小テストの方が大きい。
➁ 中央値 (メジアン)は，５月の小テストよりも６月の小テストの方が大きい。
➂ ５月の小テストの得点が７点以上の生徒のうち，６人が６月の小テストで得点を伸ばした。
④ ５月の小テストの得点よりも６月の小テストの得点が低い生徒が７人以上いる。
最頻値は５月の小テストの方が大きい。
➁ 全体で４０人なので，中央値は，得点の低い方から２０番目と２１番目の生徒の平均値になります。
５月の小テスト ･･･ ５点以下の階級の度数は \( 3+7+7=17 \)（人），
６点の階級の度数は \( 9 \) 人なので，
２０番目の人と２１番目の生徒の得点はどちらも６点であり，平均値も６点。
６月の小テスト ･･･ ５点以下の階級の度数は \( 1+2+7+6+2=18 \)（人），
６点の階級の度数は \( 5 \) 人なので，
２０番目の人と２１番目の生徒の得点はどちらも６点であり，平均値も６点。
つまり，５月の小テストも６月の小テストも中央値は６点になります。
➂ ヒストグラムのデータを比較するだけでは，誰が何点取ったかは判断できません。
➃ ５月の小テストでは得点が２点以下の生徒はいないので，６月の小テストで２点以下であった３人は，
確実に６月の小テストの方が得点が低かったといえます。
また，得点が３点の生徒は，５月の小テストでは３人，６月の小テストでは７人いるので，
５月の小テストで得点が３点だった３人が６月の小テストでも３点だったと仮定しても，
残りの４人は得点が下がった人になります。
よって，「５月の小テストの得点よりも６月の小テストの得点が低い生徒が７人以上いる」。
問２ 図２のように，箱の中に \( 1 \) から \( 6 \) までの数字が１つずつ書かれたカードが６枚入っており，この箱の中からカードを取り出す。このとき，次の（１），（２）に答えよ。ただし，どのカードが取り出されることも同様に確からしいとする。
（１） カードを１枚取り出し，取り出したカードに書かれた数字を確認してもとに戻す操作を行う。次の①～④について，正しいものを１つ選び，その番号を書け。
① この操作を５回行い，\( 1 \) の数字が書かれたカードを１回も取り出さなかったとき，もう１回
この操作を行うと，必ず \( 1 \) の数字が書かれたカードを取り出す。
➁ この操作を６０回行う。５０回目までに \( 1 \) の数字が書かれたカードを１回も取り出さなかった
とき，その後の１０回の操作では，\( 1 \) の数字が書かれたカードを取り出しやすくなる。
➂ この操作を６０００回行うと，\( 1 \) の数字が書かれたカードを取り出す回数はおよそ１０００回
である。
④ この操作の回数にかかわらず，\( 1 \) の数字が書かれたカードを取り出した回数を操作した回数
で割ると，つねに \( \dfrac{1}{6} \) になる。
（２） カードを同時に２枚取り出す操作を１回行うとき，次の文中の ア ， イ に適当な数を入れ、文を完成させよ。
すべての場合の数は１５通りになっています。
（同時に取り出していることに注意！）
ア ･･･ 和が３になるのは１通りなので，求める確率は \( \dfrac{1}{15} \)
イ ･･･ 和が イ となる場合の数を \( x \) 通りとすると，確率が \( \dfrac{1}{5} \) になるのは，
\( \dfrac{x}{15}=\dfrac{1}{5} \)
\( x=3 \)（通り）
のときなので，樹形図から，３通りの選び方があるのは和が７のときになります。
問３ 図３は，ある月のカレンダーである。このカレンダーで， 
や 
のように，
で囲まれた３つの数について「３つの数の和は \( 3 \) の倍数となる」ことを文字 \( n \) を使って証明せよ。ただし，証明は解答用紙の「３つの数の中で一番小さい数を \( n \) とすると，」に続けて完成させよ。
大問３
図１，図２のように，関数 \( y=x^2 \) のグラフ上に２点 \( A，B \) があり，\( A，B \) の \( x \) 座標はそれぞれ \( -1，2 \) である。原点を \( O \) として，次の問いに答えなさい。
問１ 点 \( B \) の \( y \) 座標を求めよ。
問２ 関数 \( y=x^2 \) について，\( x \) の変域が \( -1≦x≦2 \) のときの \( y \) の変域を求めよ。
右の図の赤い部分の曲線において，
最小値になるのは，\( x=0 \) のときで，\( y=0 \)
最大値になるのは，\( x=2 \) のときで，\( y=4 \)
よって，\( y \) の変域は，\( 0≦y≦4 \)
問３ 直線 \( AB \) の式を求めよ。
\( A(-1，1)，B(2，4) \) を通るので，
直線 \( AB \) の式を \( y=ax+b \) とすると，
傾き \( a=\dfrac{4-1}{2-(-1)}=1 \)
\( y=x+b \) に \( x=2，y=4 \) を代入すると，
\( 4=2+b \)
\( b=2 \)
よって，求める式は \( y=x+2 \)
問４ 図２のように，\( x \) 軸上に点 \( P(t, 0) \) をとる。点 \( P \) を通り，\( y \) 軸に平行な直線を \( ℓ \) とし，直線 \( ℓ \) と直線 \( AB \) の交点を \( Q \)，直線 \( ℓ \) と \( y=x^2 \) のグラフの交点を \( R \) とする。このとき、次の（１），（２）に答えよ。ただし，\( 0<t<2 \) とする。
（１） 線分 \( QR \) の長さを \( t \) を用いて表せ。
点 \( Q \) は，\( y=x+2 \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( t \) なので，
\( y \) 座標の値は，\( y=t+2 \)
点 \( R \) は，\( y=x^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( t \) なので，
\( y \) 座標の値は，\( y=t^2 \)
右の図のとおり，\( 0<x<2 \) の範囲において，
点 \( Q \) の \( y \) 座標の値は
点 \( R \) の \( y \) 座標の値よりも大きいので，
線分 \( QR \) の長さは，
\( QR=t+2-t^2=-t^2+t+2 \)
（２） 線分 \( PR \) の長さが線分 \( QR \) の長さの２倍となるとき，\( t \) の値を求めよ。
大問４
図１～図３のように，\( AD=BD=CD=4 \; cm，∠ADB=∠ADC=∠BDC=90° \) である三角錐 \( ABCD \) がある。辺 \( AC \) の中点を \( E \) とし，辺 \( CD \) 上を動く点を \( F \) とする。このとき，次の問いに答えなさい。
問１ 辺 \( AC \) の長さは何 \( cm \) か。
問２ 図２のように，点 \( F \) が辺 \( CD \) の中点となるとき，次の（１），（２）に答えよ。
（１） \( △BCF \) の面積は何 \( cm^2 \) か。
（２） 三角錐 \( EBCF \) の体積は何 \( cm^3 \) か。
問３ 図３において，２つの線分 \( BF，FE \) の長さの和 \( BF+FE \) が最小となるとき，\( BF+FE \) の長さは何 \( cm \) か。
\( △BCD \) は，辺 \( BC \) が斜辺の直角二等辺三角形なので，
\( BC=\sqrt{2}CD=4\sqrt{2} \; (cm) \)
面 \( BCD \) と面 \( ACD \) を展開すると，
\( △BCD \) と \( △ACD \) は直角二等辺三角形なので，
\( ∠BCD=∠ACD=45° \) であり，\( ∠ACB=90° \)
点 \( E \) は，辺 \( AC \) の中点なので，
\( CE=\dfrac{1}{2}AC=2\sqrt{2} \; (cm) \)
\( △BCE \) において，三平方の定理より，
\( BE^2=(4\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=40 \)
\( BE=2\sqrt{10} \; (cm) \)
大問５
図１～図３のように，\( ∠ABC=∠ACB \) である鈍角三角形 \( ABC \) がある。辺 \( BC \) 上に \( ∠BAC=∠ADB \) となる点 \( D \) をとると，\( △ABC \) ∽ \( △DBA \) となる。\( BD=3 \; cm，CD=5 \; cm \) とするとき，次の問いに答えなさい。
問１ 線分 \( AD \) の長さは何 \( cm \) か。
問２ 辺 \( AB \) の長さは何 \( cm \) か。
\( AB：DB=BC：BA \)
\( x：3=8：x \)
\( x^2=24 \)
\( x=2\sqrt{6} \; (cm) \) ( \( x>0 \) より)
問３ 図２のように，辺 \( AB \) 上に \( ∠ADB=∠DEA \) となる点 \( E \) をとる。このとき，次の（１）～（３）に答えよ。
（１） \( △CAD \) ∽ \( △BDE \) であることを次のように証明した。 ア ～ ウ にあてはまる内容を書き入れて，証明を完成させよ。ただし，同じ記号には同じ内容が入る。
(証明)
\( △CAD \) と \( △BDE \) において
仮定より \( ∠ABC=∠ACB \) であるので，\( ∠DCA=∠EBD \) ･･･ ①
仮定より \( ∠ADB=∠DEA \) ･･･ ②
また \( ∠CDA= \) ア ° \( -∠ADB \) ･･･ ③
また \( ∠ \) イ \( = \) ア ° \( -∠DEA \) ･･･ ④
➁，③，④より，\( ∠CDA=∠ \) イ ･･･ ⑤
①，⑤より， ウ がそれぞれ等しいから
\( △CAD \) ∽ \( △BDE \)
（２） 線分 \( AE \) の長さと線分 \( EB \) の長さの比を最も簡単な整数の比で表せ。
\( EB=y \; cm \) とすると，
\( △CAD \) ∽ \( △BDE \) より，
\( AC：DB=DC：EB \)
\( 2\sqrt{6}：3=5：y \)
\( 2\sqrt{6}y=15 \)
\( y=\dfrac{5\sqrt{6}}{4} \; (cm) \)
\( AB=2\sqrt{6} \; cm \) より，
\( AE=2\sqrt{6}-\dfrac{5\sqrt{6}}{4}=\dfrac{3\sqrt{6}}{4} \; (cm) \)
よって，
\( AE：EB=\dfrac{3\sqrt{6}}{4}：\dfrac{5\sqrt{6}}{4}=3：5 \)
（３） 図３のように，線分 \( CE \) と線分 \( AD \) の交点を \( F \) とする。\( △ACF \) の面積と四角形 \( BDFE \) の面積の比を最も簡単な整数の比で表せ。
四角形 \( BDFE \) は，\( △ABD \) から \( △AEF \) を取り除いたものです。
同様に，\( △ACF \) は，\( △ACE \) から \( △AEF \) を取り除いたものです。
ここから，\( △ABD \) と \( △ACE \) の面積が，\( △ABC \) の何倍であるかを最初に求めていきます。
（２）より，\( AE：EB=3：5 \) なので，
\( AE：AB=3：8 \)
\( △ACE \) と \( △ABC \) は，高さが共通なので，
\( △ACE：△ABC=AE：AB=3：8 \)
であり，
\( △ACE=\dfrac{3}{8}△ABC \) ･･･ ➀
\( BD：DC=3：5 \) なので，\( BD：BC=3：8 \)
\( △ABD \) と \( △ABC \) は，高さが共通なので，
\( △ABD：△ABC=BD：BC=3：8 \)
であり，
\( △ABD=\dfrac{3}{8}△ABC \) ･･･ ➁
➀➁より，\( △ACE=△ABD \)
\( △ACF=△ACE-△AEF \)
四角形 \( BDFE=△ABD-△AEF \)
\( △ACE=△ABD \)
より，
\( △ACF= \) 四角形 \( BDFE \) なので，
\( △ACF： \) 四角形 \( BDFE=1：1 \)
大問６
学さんと学さんのお姉さんは，車のナンバープレートを見て数遊びをしている。２人の会話を読んで，あとの問いに答えなさい。
姉：４つの数が表示されているナンバープレートだけに注目してみよ
う。図１のように、ナンバープレートに表示されている４つの数
を左から順に書き並べて，それを１段目とするね。次に，１段目の
隣り合う数の差を２段目に書くことにするよ。ただし，差は \( 0 \)
以上とするね。これを続けると，４段目の数はどんな数になるか
な。例えば、ナンバープレートの表示が \( 22-64 \) だと，４つの
数 \( 2，2，6，4 \) を１段目に並べ，\( 2 \) と \( 2 \) の差が \( 0 \)，\( 2 \) と \( 6 \) の
差が \( 4 \)，\( 6 \) と \( 4 \) の差が \( 2 \) だから，２段目は \( 0，4，2 \) が並ぶ
よ。これを続けると，４段目の数は \( 2 \) となるね。図２のように，
ナンバープレートの表示が \( 89-10 \) だと，４段目の数は (ア)
となるよ。
学：なるほど。\( 22-64 \) を \( 2264 \) というように，ナンバープレート
の４つの数を \( 1000 \) 以上 \( 9999 \) 以下の自然数と考えて，１段目
にその自然数の各位の数を左から順に書き並べて，４段目の数を
調べるということだね。
姉：そうだね。では，最初にすべての４けたの自然数について，４段
目の数を調べたら，４段目の数は， \( 2 \) や ア を含めて
何通りあるかな。
学：うん。調べてみるね。
(数分後)
学：すべての場合を調べなくても，\( 1000 \) や \( 2000 \) などの自然数を
いくつか調べれば，４段目の数は イ 通りあることが分かる
よ。
姉：そうだね。それでは，\( 5012 \) や \( 3486 \) といった各位の数が異なる
４けたの自然数の場合も，４段目の数は イ 通りあるかな。
学: 少し考えさせて。
(数分後)
学：４段目の数は ウ にはならないので， イ 通りはないね。
姉：よくわかったね。それでは，最後に \( 1234 \) や \( 2310 \) や \( 5746 \)
といった連続する４つの整数を並べかえてできる４けたの自然数
で，４段目の数が奇数になるものがあるか考えてみよう。私が今
まで調べた中では，見つけられなかったんだよね。でも，すべて
の場合を調べたわけではないから，４段目の数が奇数になるもの
がないとは言い切れないんだけど，どのように考えたらいいかな。
学：わかった。考えてみるね。
(数分後)
学：４段目から考えたらどうかな。４段目の数が奇数となるためには，
３段目の２つの数は，偶数と奇数でなければならないね。偶数と
偶数，奇数と奇数では，差は偶数となり，奇数にならないからね。
姉：なるほど。そうやって次は２段目，１段目と考えていけば，
【連続する４つの整数を並べかえてできる４けたの自然数で，
４段目の数が奇数になるものはない】ことが説明できそうだね。
問１ ア ～ ウ にあてはまる数を答えよ。ただし，同じ記号には同じ数が入る。
４段目の数が \( 9 \) であるとき，３段目の２つの数は必ず \( 9 \) と \( 0 \) になります。
また，３段目の \( 9 \) の上（２段目）の２つの数も必ず \( 9 \) と \( 0 \) になります。
このとき，２段目ののこり１つの数は，\( 9 \) または \( 0 \) になります。
１段目についても同様に考え，この図を完成させると，４つの数が \( 9 \) または \( 0 \) になります。
よって，「各位の数が異なる」という条件にあてはまらないので，
４段目の数が \( 9 \) になることはありません。
注）この図は，組み合わせの一部です。
問２ 下線部で示した内容が正しいことを説明せよ。ただし，説明は解答用紙の「奇数を○，偶数を×とすると，４段目が○ (奇数)となるためには，３段目は、○×か，×○でなければならない。」 に続けて完成させよ。
