岡山県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

大問１

（１） \( 5+(-12) \)

（２） \( 7-8 \times (-2) \)

（３） \( \dfrac{2}{3}ab \div (-4b) \times 9a \)

（４） \( (\sqrt{3}-\sqrt{5})^2 \)

（５） 連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
x+5y=11 \\
3x+2y=-6 \\
\end{array} \right.  \) を解きなさい。

（６） 方程式 \( x(x+2)=48 \) を解きなさい。

（８） ３枚の１０円硬貨を同時に投げるとき，１枚は表で，２枚は裏となる確率を求めなさい。ただし，表と裏の出方は同様に確からしいものとします。

【解説】

３枚の１０円硬貨にＡ，Ｂ，Ｃと名前をつけ，表と裏の組み合わせを樹形図に書き出し，
１枚だけ表になる組み合わせのところに ○ をつけてみます。
１枚だけ表になる組み合わせは３通り，すべての組み合わせは８通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{3}{8} \)

大問２

太郎さんと花子さんは，通っている中学校で標本調査を行いました。（１）～（３）に答えなさい。

（１） 次の 　　　 には，それぞれ全数調査，標本調査のいずれかが入ります。標本調査が入るのは，ア～エのうちではどれですか。当てはまるものをすべて答えなさい。

　　　　ア　中学校の健康診断は，生徒一人一人の健康状態を知る必要があるため，　　　 で行われる。
　　　　イ　食品を出荷する前の品質検査は，検査に使った食品は商品として売ることができないため，
　　　　　　　　　 で行われる。
　　　　ウ　テレビの視聴率調査は，少ない時間や労力，費用で，目的にあう程度に正確な結果が
　　　　　　得られるため，　　　 で行われる。
　　　　エ　日本に住んでいるすべての人が調査対象となっている国勢調査は，国内の人口や世帯の
　　　　　　実態を明らかにするため，　　　 で行われる。

（２） 太郎さんは，全校生徒 \( 300 \) 人について，数学の勉強が好きかどうかの調査をするために，全校生徒 \( 300 \) 人を母集団として，\( 50 \) 人を無作為に抽出する標本調査を行いました。①，② に答えなさい。

①　標本の選び方に関して述べたＸ，Ｙ，Ｚの文について，内容の正誤を表したものとして最も適当なのは，ア～カのうちではどれですか。一つ答えなさい。
　　　Ｘ　全校生徒に通し番号をつけ，乱数表を使って \( 50 \) 人を選ぶ。
　　　Ｙ　１年生 \( 98 \) 人全員に通し番号をつけ，くじ引きで \( 50 \) 人を選ぶ。
　　　Ｚ　全校生徒にアンケート用紙を配布し，回答をくれた順に \( 50 \) 人を選ぶ。

　　　ア　Ｘのみ正しい。　　　　　　イ　Ｙのみ正しい。
　　　ウ　Ｚのみ正しい。　　　　　　エ　ＸとＹのみ正しい。
　　　オ　ＸとＺのみ正しい。　　　　カ　ＹとＺのみ正しい。

➁　調査した \( 50 \) 人のうち，数学の勉強が好きと答えた人は \( 28 \) 人でした。このとき，全校生徒 \( 300 \) 人のうち数学の勉強が好きな人はおよそ何人と推定されるかを答えなさい。ただし，式も書きなさい。

（３） 花子さんは，３年生 \( 107 \) 人に対して，平日１日あたりの数学の学習時間を調べ，標本調査から母集団の平均値を推定しようとしています。

ヒストグラムと箱ひげ図から読みとれることを次のように整理したとき，　（あ）　，　（い）　 に当てはまることばの組み合わせとして最も適当なのは，ア～エのうちではどれですか。一つ答えなさい。

標本の大きさが 　（あ）　 方が，標本の平均値の範囲や四分位範囲が 　（い）　 傾向にあり，母集団の平均値を推定しやすくなる。

　ア　（あ） 大きい　　　（い） 大きくなる
　イ　（あ） 大きい　　　（い） 小さくなる
　ウ　（あ） 小さい　　　（い） 大きくなる
　エ　（あ） 小さい　　　（い） 小さくなる

大問３

太郎さんと花子さんは，カレンダーを見て気づいたことを話し合っています。（１）～（４）に答えなさい。

太郎：あれっ？カレンダーで \( 6 \) の倍数の日の前の日と次の日は素数になっているね。
花子：よく見て。そうなっていない日もあるよ。
太郎：見落としていたよ。でも，\( 6 \) 日以降で前の日と次の日がどちらも素数の場合，それらにはさまれた
　　　日は \( 6 \) の倍数になっているね。
花子：確かにそうだね。いつでも，そうなっているのかな?
太郎：確かめようよ。まず，【\( 2 \) より大きい素数は 　（あ）　 だから，前の日と次の日がどちらも素数の
　　　場合，それらにはさまれた日は 　（い）　 になる】ね。
花子：それから，連続する三つの自然数には，\( 3 \) の倍数が含まれているよね。\( 3 \) より大きい素数は
　　　\( 3 \) の倍数でないから，\( 6 \) 日以降で前の日と次の日がどちらも素数の場合，それらにはさまれた日は
　　　\( 3 \) の倍数になるね。
太郎：なるほど。\( 6 \) 日以降で前の日と次の日がどちらも素数の場合，それらにはさまれた日は \( 2 \) の倍数で
　　　あって，\( 3 \) の倍数でもあるから，\( 6 \) の倍数になるね。

（１） 次のことがらは正しくありません。反例を書きなさい。

\( 6 \) 以上 \( 31 \) 以下の自然数 \( m \) が \( 6 \) の倍数ならば，\( m-1 \) と \( m+1 \) はどちらも素数である。

（２） 【　　　】のことがらを次のように整理したとき，　（あ）　，　（い）　 に当てはまることばの組み合わせとして最も適当なのは，ア～エのうちではどれですか。一つ答えなさい。

\( 2 \) より大きい素数は 　（あ）　 だから，\( 6 \) 以上の自然数n について，\( n-1 \) と \( n+1 \) がどちらも素数の場合，\( n \) は 　（い）　 になる。
　　　　 ア　（あ） 偶数 　（い） 偶数 　　　　イ　（あ） 偶数 　（い） 奇数
　　　　 ウ　（あ） 奇数 　（い） 偶数 　　　　エ　（あ） 奇数 　（い） 奇数

（３） 連続する三つの自然数 \( a，a+1，a+2 \) について，\( a \) を \( 3 \) で割ったときの商を \( b \)，余りを \( 1 \) とします。 ① ，②に答えなさい。

①　\( a，b \) の関係を正しく表しているのは，ア～エのうちではどれですか。当てはまるものをすべて答えなさい。
　　　ア　\( a+1=3b \) 　　　イ　\( a-3b=1 \)
　　　ウ　\( a<3b+1 \) 　　　エ　\( a>3b \)

②　\( a+2 \) を \( 3 \) で割ったときの余りを求めなさい。

（４） \( 31 \) より大きい２桁の自然数のうち，その自然数より \( 1 \) 小さい数と \( 1 \) 大きい数がどちらも素数であるものを一つ答えなさい。

大問４

太郎さんは，看護師等が使う「ナースウォッチ」とよばれる脈拍測定機能付きの時計について調べました。（１）～（３）に答えなさい。

<太郎さんが調べたこと>
ナースウォッチは，関数の関係を利用して，１分間の脈拍をより短い時間で測定することができる時計です。

図は，秒針が文字盤の \( 12 \) を指したところから脈拍が \( 15 \) 回を数えたときの秒針の位置を表しています。この図では，秒針が文字盤の \( 2 \)，内側の数字は \( 90 \) を指しているので，脈拍が \( 15 \) 回を数えるまでにかかった時間は \( 10 \) 秒，１分間の脈拍は \( 90 \) 回と測定します。

一般成人の１分間の脈拍は，安静時 \( 60～100 \) 回が正常の目安です。

また，ナースウォッチには，脈拍を \( 20 \) 回数えて測定すあるものもあり，脈拍を \( 15 \) 回数えて測定するものとは文字盤の内側の数字が異なります。

（１） \( y \) が \( x \) の関数であるものは，ア～エのうちではどれですか。当てはまるものをすべて答えなさい。

　　　　ア　毎分 \( x \; m \) の速さで 10km の道のりを走るときにかかる時間 \( y \) 分
　　　　イ　周の長さが \( x \; cm \) の長方形の面積 \( y \; cm^2 \)
　　　　ウ　\( 1500 \) 円を出して，1個 \( x \) 円の品物を \( 10 \) 個買ったときのおつり \( y \) 円
　　　　エ　半径が \( x \; cm \) の円の面積 \( y \; cm^2 \)

（２） 脈拍が \( 15 \) 回を数えるまでにかかった時間を \( x \) 秒，１分間の脈拍を \( y \) 回とします。①，②に答えなさい。

①　\( x \) と \( y \) の関係を表したグラフとして最も適当なのは，ア～エのうちではどれですか。一つ答えなさい。ただし，原点を \( O \) とします。

② 次の 　　　 に適当な数を書きなさい。

\( x \) の変域が 　　　 \( ≦x≦15 \) のとき，\( y \) の変域は \( 60≦y≦100 \) である。

（３） 脈拍を \( 20 \) 回数えて測定するナースウォッチについて，文字盤の \( 3 \) の内側にある数字を答えなさい。ただし，脈拍の測り方は次のとおりとします。

１．秒針が文字盤の \( 6 \)，もしくは，\( 12 \) を指したところから脈拍を \( 20 \) 回数える。
２．脈拍が \( 20 \) 回を数えたときに，秒針が指した文字盤の内側の数字が１分間の脈拍となる。

大問５

太郎さんと花子さんは，次の【問題】を考えています。（１）～（４）に答えなさい。

花子：先生から条件の一つを外して考えてみたらと言われたよ。「頂点 \( C \) が直線 \( m \) 上にある」という
　　　条件を外して考えてみようよ。
太郎：そうだね。一つの頂点が直線 \( \large{ℓ} \) 上にある正三角形 \( ADE \) や正三角形 \( AFG \) をかいたよ。
花子：私は，\( _{(\mathbf{あ})} \)【\( \color{red}{30°} \) の角の作図を使って, 二つの頂点が直線 \( \color{red}{\large{ℓ}} \) 上にある正三角形 \( \color{red}{AHI} \) をかいた】よ。
太郎：あれっ？３点 \( E，I，G \) は一直線上にありそうだね。
花子：\( _{(\mathbf{い})} \)【\( \color{red}{△AHD} \) と \( \color{red}{△AIE} \) は合同】，\( △AFH \) と \( △AGI \) も合同だから，\( ∠AIE \) と
　　　\( _{(\mathbf{う})} \)【\( \color{red}{∠AIG} \) の大きさが決まる】ね。このことから，３点 \( E，I，G \) は一直線上にあるといえるね。
太郎：この直線と直線 \( m \) の交点を \( C \) として，線分 \( AC \) を１辺とする正三角形をかくと，直線 \( \large{ℓ} \) 上に
　　　頂点がある正三角形がかけるね。この頂点が \( B \) だね。

（２） 【　(い)　】について，\( △AHD≡△AIE \) を証明しなさい。

（３） 【　(う)　】について，\( ∠AIG \) の大きさを求めなさい。

（４） この【問題】において，点 \( A \) と直線 \( \large{ℓ} \) との距離が \( 6 \; cm \)，点 \( A \) と直線 \( m \) との距離が \( 9 \; cm \) のとき，正三角形 \( ABC \) の１辺の長さを求めなさい。