埼玉県公立高校入試　令和６（2024）年度（学校選択）　解答＆解説

重なる部分の三角形は底角２つがそれぞれ
１辺 \( 8 \; cm \) の正三角形と共通な角なので，
１辺 \( 4 \; cm \) の正三角形になっています。
２つの正三角形は相似なので，
右の図のように大きい正三角形を区切ると，
１辺 \( 4 \; cm \) の小さい正三角形だけで表すことができます。

例として，大きい正三角形が２個のとき，３個のとき，４個のときを実際に書いてみると，
かげをつけた正三角形の個数と白の正三角形の個数は下の表のようになっています。

かげをつけた正三角形は，
大きい正三角形を１個増やすごとに１個ずつ増えるので，
大きい正三角形を \( x \) 個かいたときの
かげをつけた正三角形の個数は，
\( x-1 \) 個になります。

白の正三角形は，左端の１個と右端の３個は同じで，
大きい正三角形を１個増やすごとに，
真ん中（赤のひし形）の部分の２個ずつが
増えていくので，
大きい正三角形を \( x \) 個かいたときの
かげをつけた正三角形の個数は，
\( 2(x-1)+4=2x+2 \)（個）
になります。

\( △DEF \) の面積を \( S \) とすると，
\( AE=ED \) より，
\( △ABE \) は，底辺が \( △DEF \) と等しく，
高さが \( △DEF \) の２倍なので，
面積は \( 2S \) と表すことができます。

\( △GAE \) ∽ \( △GCB \) なので，
　\( GE：GB=AE：CB=1：2 \)
\( △ABG \) と \( △ABE \) は高さが共通なので，
\( △ABG：△ABE=GB：BE=2：3 \)
であり，
　\( △ABG=\dfrac{2}{3}△ABE=\dfrac{2}{3} \times 2S=\dfrac{4}{3}S \)

点 \( A \) の \( y \) 座標は，
　\( y=a \times (-2)^2=4a  \)
点 \( B \) の \( y \) 座標は，
　\( y=a \times 4^2=16a  \)
と表すことができます。

直線 \( AB \) の傾きが \( \dfrac{1}{2} \) なので，
　\( \dfrac{16a-4a}{4-(-2)}=\dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( 2a=\dfrac{1}{2} \)
　　　　　 \( a=\dfrac{1}{4} \)

辺 \( AB \) を延長したときの直線ℓとの交点を
\( D \) とすると，
\( △BCD \) は，\( BC=CD，∠BCD=90° \) の
直角二等辺三角形であり，
これを直線ℓを軸として１回転させると，
　\( BC=CD=\sqrt{2}AB=2\sqrt{2} \; (cm) \)
より，底面の半径と高さが \( 2\sqrt{2} \; cm \) の円すい
になります。

この円すいの体積は，
　\( \pi{} \times (2\sqrt{2})^2 \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{16\sqrt{2}}{3} \pi{} \; (cm^3) \)

また，\( △ACD \) は，\( AC=AD，∠BCD=90° \) の直角二等辺三角形であり，
これを直線ℓを軸として１回転させると，
　\( AE=CE=DE=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \; (cm) \)
より，底面の半径と高さが \( \sqrt{2} \; cm \) の円すいを
２個くっつけた立体になります。

この立体の体積は，
　\( \pi{} \times (\sqrt{2})^2 \times \sqrt{2} \times \dfrac{1}{3} \times 2=\dfrac{4\sqrt{2}}{3} \pi{} \; (cm^3) \)

この円の中心を \( O \) とし，補助線 \( AH \) をひくと，
\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) の中心角は，
　中心角 \( ∠AOB=360° \times \dfrac{1}{10}=36° \)
\( \stackrel{\huge\frown}{ EH } \) は，\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) の３倍の長さなので，
　中心角 \( ∠EOH=36° \times 3=108° \)

\( ∠AHK \) は，\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する円周角なので，
　\( ∠AHK=\dfrac{1}{2}∠AOB=18° \)
\( ∠KAH \) は，\( \stackrel{\huge\frown}{ EH } \) に対する円周角なので，
　\( ∠KAH=\dfrac{1}{2}∠EOH=54° \)

\( △AHK \) において，
　\( ∠x=180°－(∠AHK+∠KAH)=108° \)

\( △ACD \) と \( △AGB \) において，
正方形の辺の長さは等しいので，
　\( AD=AB \) ･･･ ➀
　\( AC=AG \) ･･･ ➁
正方形の内角は \( 90° \) なので，
　\( ∠CAD=90°+∠CAB \) ･･･ ③
　\( ∠GAB=90°+∠CAB \) ･･･ ➃
③➃より，
　\( ∠CAD=∠GAB \) ･･･ ➄
①②➄より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ACD≡△AGB \) ･･･ ⑥

\( △CIH \) と \( △GAH \) において，
⑥より，合同な三角形の対応する角は等しいので，
　\( ∠ACD=∠AGB \) ･･･ ➆
対頂角は等しいので，
　\( ∠CHI=∠GHA \) ･･･ ⑧
➆⑧より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △CIH \) ∽ \( △GAH \)
相似な三角形の対応する角は等しいので，
　\( ∠CIH=∠GAH=90° \)

\( 0<t<3 \) の場合，
　\( PQ：PR=4：3 \)
　　\( t：\dfrac{1}{3}t^2=4：3 \)
　　　　 \( 3t=\dfrac{4}{3}t^2 \)
　　　　 \( 9t=4t^2 \)
　 \( 4t^2-9t=0 \)
　\( t(4t-9)=0 \)
　　　　　\( t=\dfrac{9}{4} \) ( \( t>0 \) より)

\( 3<t≦5 \) の場合，
　 \( PQ：PR=4：5 \)
　　 \( t：\dfrac{1}{3}t^2=4：5 \)
　　　　　\( 5t=\dfrac{4}{3}t^2 \)
　　　　 \( 15t=4t^2 \)
　 \( 4t^2-15t=0 \)
　\( t(4t-15)=0 \)
　　　　　 \( t=\dfrac{15}{4} \) ( \( 3<t≦5 \) より)

 \( ∠AEF=∠BIA=90°，∠AFE=∠BAI \)
より，\( △AEF \) ∽ \( △BIA \) になっています。

\( △AEF \) において，三平方の定理より，
　\( AF^2=12^2+6^2=180 \)
　 \( AF=6\sqrt{5} \; (cm) \)
なので，
　\( EF：IA=AF：BA \)
　　\( 6：IA=6\sqrt{5}：6 \)
　 \( 6\sqrt{5}IA=36 \)
　　　 \( IA=\dfrac{6}{\sqrt{5}} \; (cm) \)

\( ∠BAJ=∠AEF=90°，∠ABJ=∠EAF \)
より，\( △BAJ \) ∽ \( △AEF \)
なので，
　 \( BJ：AF=BA：AE \)
　\( BJ：6\sqrt{5}=6：12 \)
　　　\( 12BJ=36\sqrt{5} \)
　　　　\( BJ=3\sqrt{5} \; (cm) \)

容器 \( ABCD－EFGH \) の容積 \( V_1 \) は，
　\( V_1=6 \times 6 \times 12=432 \; (cm^3) \)

三角柱 \( ABJ－DCK \) の体積は，
　\( V_2=\left( 3\sqrt{5} \times \dfrac{6}{\sqrt{5}} \times \dfrac{1}{2} \right) \times 6=54 \; (cm^3) \)

\( F \) から水面に垂線をひき，交点を \( R \) とすると，
\( ∠BRF=∠AQB=90°，∠FBR=∠BAQ \)
より，
\( △BFR \) ∽ \( △ABQ \) になっています。

\( PQ=x \; cm \) とすると，\( FR=x \; cm \) なので，
　\( FR：BQ=BF：AB \)
　　\( x：BQ=12：6 \)
　　　 \( BQ=\dfrac{x}{2} \; (cm) \)

\( △ABQ \) において，三平方の定理より，
　　　\( \left( \dfrac{x}{2} \right)^2+(3\sqrt{10}-x)^2=6^2 \)
　\( \dfrac{x^2}{4}+(x^2-6\sqrt{10}x+90)=36 \)
　　　　\( \dfrac{5}{4}x^2-6\sqrt{10}x+54=0 \)
　　　\( 5x^2-24\sqrt{10}x+216=0 \)
　\( x=\dfrac{-(-24\sqrt{10})±\sqrt{(-24\sqrt{10})^2-4 \times 5 \times 216}}{2 \times 5} \)
　\( =\dfrac{24\sqrt{10}±\sqrt{1440}}{10} \)
　\( =\dfrac{12\sqrt{10}±6\sqrt{10}}{5} \)
　\( =\dfrac{6\sqrt{10}}{5} \; (cm) \)  (\( 0<x<6 \) より)