静岡県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

【点 \( A \) を接点とする円 \( O \) の接線】
手順１　２点 \( O，A \) を通る直線を描く
手順２　点 \( A \) を中心に円弧を描く
（直線 \( OA \) との交点を \( C，D \) とします）
手順３　２点 \( C，D \) を中心に円弧を描く
（交点を \( E \) とします）
手順４　２点 \( A，E \) を通る直線を描く

【点 \( O，B \) から等距離にある点を結んだ直線】
手順５　２点 \( O，B \) を中心に円弧を描く
（交点を \( F，G \) とします）
手順６　２点 \( F，G \) を通る直線を描く

手順４と６の直線の交点が点 \( P \) になります。

・ ２点から等距離にある点を結んだ直線の作図
　 ２点 \( A，B \) の中点を \( M \) ，
　 ２点 \( A，B \) との距離が等しくなる点のうち，
　 \( M \) とは異なる点を \( N \) とします。
　 \( △NAB \) は二等辺三角形になるので，
　 \( NM⊥AB \) であり，
　 \( NM \) は \( AB \) の垂直二等分線になります。

辺 \( CD \) とねじれの位置にある辺は，
辺 \( AE，BF，EH，FG \)
この中で，面 \( BFGC \) と平行な辺は，
辺 \( AE，EH \)

\( T \) を通り，面 \( ABCD，EFGH \) に垂直な面の
うち，辺 \( CD，EF，GH \) との交点を，それぞれ
点 \( U，V，W \) ，\( T \) から \( VW \) に垂線をひいた交点を \( X \) とすると，右の図のようになります。

\( ∠V \) 共通，\( ∠VXT=∠VWU=90° \) より，
\( △VTX \) ∽ \( △VUW \) になっているので，
相似比がわかれば \( TX \) の長さが求められます。

面 \( DEFC \) に注目すると，
\( CD//EF \) であることから，
\( △TEF \) ∽ \( △TSD \) であり，
\( EF=AB=4 \; cm \)，
\( SD=CD-CS=3 \; cm \)
より，相似比は \( 4：3 \)
相似な三角形は高さの比も相似比と等しいので，
　\( TV：TU=4：3 \)

\( TV：TU=4：3 \) より，
\( △VTX \) ∽ \( △VUW \) の相似比は
　\( TV：UV=4：(3+4)=4：7 \)
なので，
　\( TX：UW=4：7 \)
　　 \( TX：6=4：7 \)
　　　　\( TX=\dfrac{24}{7} \; (cm) \)

【四角形 \( ADOB \) の面積】
点 \( B \) から \( x \) 軸に垂線をひき，交点を \( E \) とすると，
\( E \) の座標は \( E(-2，0) \) になるので，
四角形 \( ADOB \) の面積は，
　四角形 \( ADOB= \) 台形 \( ADEB+△OBE \)
で求められます。
　台形 \( ADEB=(3+9) \times 4 \times \dfrac{1}{2}=24 \)
　\( △OBE=2 \times 9 \times \dfrac{1}{2}=9 \)
なので，
　四角形 \( ADOB=24+9=33 \)

【\( △BOC \) の面積】
点 \( C \) から \( x \) 軸に垂線をひき，交点を \( F \) とすると，
\( F \) の座標は \( F(4，0) \) になるので，
\( △BOC \) の面積は，
　\( △BOC= \) 台形 \( BEFC-△OBE-△OCF \)
で求められます。

点 \( C \) は \( y=ax^2 \; (a>0) \) 上の点であり，
\( x \) 座標は \( 4 \) なので，
\( y \) 座標は \( 16a \) と表すことができます。

ここから，台形 \( BEFC，△OBE，△OCF \) の
面積を \( a \) を使って表すと，
　台形 \( BEFC=(9+16a) \times 6 \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　　　 \( =48a+27 \)
　\( △OBE=2 \times 9 \times \dfrac{1}{2}=9 \)
　\( △OCF=4 \times 16a \times \dfrac{1}{2}=32a \)
なので，
　\( △BOC=(48a+27)-9-32a=16a+18 \)

\( \stackrel{\huge\frown}{ CE } \) の円周角なので，
　\( ∠PAC=∠EBC \) ･･･ ➀
仮定より，\( AB=AD \) なので，
\( △ABD \) は二等辺三角形であり，
　\( ∠ABD=∠ADB \) ･･･ ➁
対頂角は等しいので，
　\( ∠CDF=∠ADB \) ･･･ ➂
➁➂より，
　\( ∠ABD=∠CDF \) ･･･ ➃
\( ∠EFC \) は \( △CDF \) の外角なので，
　\( ∠DCF=∠EFC-∠CDF \) ･･･ ➄
また，\( ∠ABC=∠ABD+∠EBC \) なので，
　\( ∠EBC=∠ABC-∠ABD \) ･･･ ⑥
➃➄➅と仮定 \( ∠EFC=∠ABC \) より，
　\( ∠DCF=∠EBC \) ･･･ ➆
➀➆より，
　\( ∠PAC=∠DCF \)
底角が等しいので，\( △PAC \) は二等辺三角形である。
よって，\( PA=AC \)

【\( △ABE \) に注目する】
対頂角は等しいので，\( ∠EFP=∠CFD=49° \)
\( △EFP \) において，
　\( ∠FEP=180°-(90°+49°)=41° \)

\( ∠BAC \) は，\( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) の円周角，
\( ∠EAC \) は，\( \stackrel{\huge\frown}{ CE } \) の円周角，
であり，
円周角の大きさは対応する弧の長さに比例するので，
　\( ∠BAC：∠EAC=\stackrel{\huge\frown}{ BC }：\stackrel{\huge\frown}{ CE }=4：5 \)
\( ∠BAC=4x \) とすると，\( ∠EAC=5x \) と
表すことができます。

\( △ABE \) において，
　\( ∠ABE=180°-(41°+4x+5x) \)
　　　　　\( =139°-9x \) ･･･ ➀

【\( △ABD \) に注目する】
\( AB=AD \) の二等辺三角形なので，
　\( ∠ABE=\dfrac{180°-4x}{2}=90°-2x \) ･･･ ➁