大問１
（１） \( 7+4 \times (-2) \) を計算しなさい。
（２） \( xy^3 \times 6x^2y \div 3y^2 \) を計算しなさい。
（３） \( \sqrt{24}-\sqrt{6} \) を計算しなさい。
（４） \( 8a+4b-(5a-b) \) を計算しなさい。
（５） 連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
2x+3y=4 \\
5x+4y=3 \\
\end{array} \right. \) を解きなさい。
（６） 右の図は，縦 \( 10 \; cm \)，横 \( 3 \; cm \) の長方形である。
この長方形を，直線 \( ℓ \) を軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。
ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。
図の長方形を回転させると，底面の半径が \( 3 \; cm \)，高さが \( 10 \; cm \) の円柱になるので，体積は，
\( \pi{} \times 3^2 \times 10=90\pi{} \; (cm^3) \)
（７） 関数 \( y=ax^2 \) について，\( x \) の値が \( 2 \) から \( 6 \) まで増加するときの変化の割合が \( 12 \) であるとき，\( a \) の値を求めなさい。
\( y=ax^2 \) について，
\( x=2 \) のときの \( y \) 座標の値は，
\( y=a \times 2^2=4a \)
\( x=6 \) のときの \( y \) 座標の値は，
\( y=a \times 6^2=36a \)
なので，
変化の割合は
\( \dfrac{36a-4a}{6-2}=8a \)
と表すことができます。
よって，
\( 8a=12 \)
\( a=\dfrac{3}{2} \)
（８） ある博物館の入館料は，おとな１人が \( a \) 円，中学生１人が \( b \) 円で，おとな４人と中学生３人の入館料の合計が \( 7000 \) 円以下であった。これらの数量の関係を不等式で表しなさい。
（９） 袋の中に \( 1，2，3，4，5 \) の数が１つずつ書かれた同じ大きさの玉が５個入っている。中を見ないで，この袋から同時に２個の玉を取り出すとき，取り出した玉に書かれた数の積が偶数となる確率を求めなさい。
ただし，どの玉を取り出すことも同様に確からしいものとする。
積が偶数になる組み合わせは７通り，すべての組み合わせは１０通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{7}{10} \)
【別解】
２つの数の積が奇数になるのは
奇数 \( \times \) 奇数
の場合になります。
奇数は \( 1，3，5 \) の３つなので，
２個とも奇数を取り出すときの組み合わせは，
\( 1 \) と \( 3 \)，\( 1 \) と \( 5 \)，\( 3 \) と \( 5 \)
の３通り
ここから，積が奇数になる確率は \( \dfrac{3}{10} \) なので，
積が偶数になる確率は \( 1-\dfrac{3}{10}=\dfrac{7}{10} \)
（偶数・奇数の積の組み合わせ）
偶数 \( \times \) 偶数 \( = \) 偶数
偶数 \( \times \) 奇数 \( = \) 偶数
奇数 \( \times \) 偶数 \( = \) 偶数
奇数 \( \times \) 奇数 \( = \) 奇数
（１０） 右の図のような \( △ABC \) がある。辺 \( AB \) が辺 \( AC \) に重なるように \( △ABC \) を折ったときの，折り目の線分と辺 \( BC \) との交点を \( P \) とする。この点 \( P \) を作図によって求め，\( P \) の記号をつけなさい。
ただし，作図に用いた線は残しておくこと。
手順１ 点 \( A \) を中心に円弧を描く。
(辺 \( AB，AC \) との交点をそれぞれ
点 \( D，E \) とします。)
手順２ ２点 \( D，E \) を中心に円弧を描く。
(交点を点 \( F \) とします。)
手順３ ２点 \( A，F \) を通る直線を描く。
手順３の直線と辺 \( BC \) との交点が，
求める点 \( P \) になります。
辺 \( AB \) が辺 \( AC \) に重なるように \( △ABC \) を折ったときの，点 \( B \) の移動先を点 \( B’ \) とすると，折り返す前後の図形は合同なので，\( △ABP≡△AB’P \)
対応する角のは等しいので，\( ∠BAP=∠B’AP \)
よって，折り目の直線 \( AP \) は \( ∠BAC \) の二等分線になります。
大問２
右の図のように，横の長さが縦の長さの３倍である長方形の土地があり，その中に道幅 \( 3 \; m \) で，互いに垂直な道を縦と横につくった。残りの土地を畑にすると，畑の面積が \( 297 \; m^2 \) になった。もとの長方形の土地の縦の長さを求めたい。
かおるさんとひなたさんは，もとの長方形の土地の縦の長さを \( x \; m \) として，それぞれ次の方程式をつくった。
このとき，あとの問いに答えなさい。
左辺と右辺のどちらも，畑の面積を表している
方程式をつくると，
\( ( \) ① \( )( \) ➁ \( )=297 \)
左辺と右辺のどちらも，道の面積を表している
方程式をつくると，
➂ \( =3x^2-297 \)
（１） かおるさんがつくった方程式の ① ， ② にあてはまる式を，\( x \) を使った式でそれぞれ表しなさい。
このとき，畑は，縦 \( x-3 \; m \)，横 \( 3x-3 \; m \) の長方形になります。
（２） ひなたさんがつくった方程式の ③ にあてはまる式を，\( x \) を使った式で表しなさい。
このとき，道は，
縦 \( x-3 \; m \)，横 \( 3 \; m \) の長方形と縦 \( 3 \; m \)，横 \( 3x \; m \) の長方形を
くっつけた形になるので，
\( 3(x-3)+3 \times 3x=12x-9 \; (m^2) \)
と表すことができます。
（３） もとの長方形の土地の縦の長さを求めなさい。
大問３
あるグループの７人が１５問の○×クイズに挑戦した。下の図１は，７人の正解した問題数のデータを，箱ひげ図に表したものである。
このとき，次の問いに答えなさい。
（１） ７人のデータの四分位範囲を求めなさい。
（２） あとから，みずきさんが同じ１５問の○×クイズに挑戦した。下の図２は，７人とみずきさんを合わせた８人の正解した問題数のデータを，箱ひげ図に表したものである。
このとき，次の問いに答えなさい。
① みずきさんの正解した問題数として，考えられる値は２つある。その値をそれぞれ求めなさい。
第一四分位数は２番目，中央値は４番目，第三四分位数は６番目の値になるので，
わからない値をＡ，Ｂとすると，次のようになります。
図１と図２を比較すると，最大値と最小値はどちらも同じなので，
みずきさんの正解数は，下のア～カのどこかに入ることがわかります。
８人の正解数で箱ひげ図を描くとき，
第一四分位数は２番目と３番目の平均値，中央値は４番目と５番目の平均値，
第三四分位数は６番目と７番目の平均値
になります。
みずきさんの正解数を \( x \) と考えると，
ア（２番目）に入ると仮定すると，２番目の値が \( x \)，３番目の値が \( 3 \)，第一四分位数が \( 4 \) になるので，
\( \dfrac{x+3}{2}=4 \) となり，これを解くと，\( x=5 \)
\( x=2，3 \) でなければならないので，これはあてはまりません。
カ（７番目）に入ると仮定すると，６番目の値が \( 11 \)，７番目の値が \( x \)，第三四分位数が \( 10 \) になるので，
\( \dfrac{11+x}{2}=10 \) となり，これを解くと，\( x=9 \)
\( 11≦x≦14 \) でなければならないので，これはあてはまりません。
エ（５番目）に入ると仮定すると，４番目の値が \( 8 \)，５番目の値が \( x \)，中央値が \( 7 \) になるので，
\( \dfrac{8+x}{2}=7 \) となり，これを解くと，\( x=6 \)
\( 8≦x≦11 \) でなければならないので，これはあてはまりません。
オ（６番目）に入ると仮定すると，４番目の値が \( 8 \)，５番目の値が \( B \)，中央値が \( 7 \) になるので，
\( \dfrac{8+B}{2}=7 \) となり，これを解くと，\( B=6 \)
\( 8≦B≦11 \) でなければならないので，これはあてはまりません。
イ（３番目）に入ると仮定すると，２番目の値が \( 3 \)，３番目の値が \( x \)，第一四分位数が \( 4 \) になるので，
\( \dfrac{3+x}{2}=4 \) となり，これを解くと，\( x=5 \)
このとき，４番目の値が \( A \)，５番目の値が \( 8 \)，中央値が \( 7 \) になるので，
\( \dfrac{A+8}{2}=7 \) となり，これを解くと，\( A=6 \)
これはあり得ます。
ウ（４番目）に入ると仮定すると，４番目の値が \( x \)，５番目の値が \( 8 \)，中央値が \( 7 \) になるので，
\( \dfrac{x+8}{2}=7 \) となり，これを解くと，\( x=6 \)
このとき，２番目の値が \( 3 \)，３番目の値が \( A \)，第一四分位数が \( 4 \) になるので，
\( \dfrac{3+A}{2}=4 \) となり，これを解くと，\( A=5 \)
これはあり得ます。
以上より，みずきさんの正解した問題数として，考えられる値は５問または６問
➁ ８人のデータの平均値を求めなさい。
大問４
２直線 \( ℓ，m \) と \( x \) 軸に平行な直線の合わせて３つの直線で三角形をつくる。直線 \( ℓ \) の式は \( y=x \)，直線 \( m \) の式は \( y=-x \) である。下の図１のように，\( x \) 軸に平行な直線が直線 \( y=1 \) のときの三角形を「\( 1 \) 番目の三角形」，直線 \( y=2 \) のときの三角形を「\( 2 \) 番目の三角形」，直線 \( y=3 \) のときの三角形を「\( 3 \) 番目の三角形」とする。以下，このように，「\( 4 \) 番目の三角形」，「\( 5 \) 番目の三角形」，･･･ をつくっていく。
ただし，三角形をつくる \( x \) 軸に平行な直線と \( y \) 軸との交点の \( y \) 座標は自然数とする。
また，点 \( (0，0)，(1，2)，(-2，3) \)のように，\( x \) 座標，\( y \) 座標がともに整数である点を格子点という。
このとき，次の問いに答えなさい。
（１） 下の図２にある・は三角形の周上にある格子点を表しており，その個数について考える。例えば，「\( 3 \) 番目の三角形」の周上にある格子点の個数は \( 12 \) 個である。
このとき，あとの問いに答えなさい。
① 「\( 5 \) 番目の三角形」の周上にある格子点の個数を求めなさい。
➁ 「\( n \) 番目の三角形」の周上にある格子点の個数を，\( n \) を使って表しなさい。
\( n \) 個のかたまりが２個，\( n-1 \) 個のかたまりが２個，どちらにも含まれない点が２個あるので，
全部で \( 2n+2(n-1)+2=4n \)（個）
（２） 下の図３にある・は三角形の周上にある格子点と内部にある格子点を表しており，その個数の合計を考える。例えば，「\( 3 \) 番目の三角形」の格子点の個数の合計は \( 16 \) 個である。このとき，格子点の個数の合計がはじめて \( 200 \) 個以上となるのは「何番目の三角形」か求めなさい。
「\( 1 \) 番目の三角形」･･･ \( 4=2^2 \) 個
「\( 2 \) 番目の三角形」･･･ \( 9=3^2 \) 個
「\( 3 \) 番目の三角形」･･･ \( 16=4^2 \) 個
・・・
となるので，
「\( n \) 番目の三角形」･･･ \( (n+1)^2 \) 個
となります。
\( 10^2=100，20^2=400 \) より，\( (n+1)^2=200 \) となる \( n+1 \) の値は，
\( 10≦n+1≦20 \) の範囲にあるとわかります。
\( n+1=15 \) のとき，\( (n+1)^2=225 \)
\( n+1=14 \) のとき，\( (n+1)^2=196 \)
なので，はじめて \( 200 \) 個以上となるのは，\( n+1=15 \)，
つまり，\( n=14 \) のときなので，「\( 14 \) 番目の三角形」
\( 1+2+ \;\; ･･･ \;\; +n \) 個のかたまりが２個，\( n+1 \) 個のかたまりが１個にわけられます，
\( 1+2+ \;\; ･･･ \;\; +n \) 個のかたまり２個の合計個数は \( n(n+1) \)（個）になるので，
全部で \( n(n+1)+n+1=(n+1)^2 \)（個）
大問５
右の図１のような \( AC=AD=BC=BD=7cm，CD=4cm \) の三角すい \( ABCD \) がある。辺 \( CD \) の中点を \( M \) とすると，\( AB=BM=AM \) である。
このとき，次の問いに答えなさい。
（１） 線分 \( AM \) の長さを求めなさい。
\( △ACD \) は \( AC=AD \) の二等辺三角形で，
\( M \) は辺 \( CD \) の中点であることから，
\( AM⊥CD \) なので，三平方の定理より，
\( AM^2=7^2-2^2=45 \)
\( AM=3\sqrt{5} \; (cm) \)
（２） 三角すい \( ABCD \) の体積を求めなさい。
\( △ACD，△BCD \) はどちらも \( 7 \; cm，7 \; cm，4 \; cm \) の二等辺三角形なので，
この２面に注目するとひし形 \( ACBD \) を
対角線 \( CD \) で折り曲げた形になっています。
ここから，点 \( A \) から面 \( BCD \) に垂線をひき，
交点を \( N \) とすると，
点 \( N \) は線分 \( BM \) 上の点になります。
\( △ABM \) は１辺 \( 3\sqrt{5} \; cm \) の正三角形なので，
\( AN=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AM=\dfrac{3\sqrt{15}}{2} \; (cm) \)
以上より，三角すい \( ABCD \) の体積は，
\( \left( 4 \times 3\sqrt{5} \times \dfrac{1}{2} \right) \times \dfrac{3\sqrt{15}}{2} \times \dfrac{1}{3}=6\sqrt{5} \times \dfrac{\sqrt{15}}{2} \)
\( =15\sqrt{3} \; (cm^3) \)
（３） 右の図２のように，辺 \( AB \) の中点を \( P \) とし，線分 \( BM \) 上に点 \( Q \) をとる。三角すい \( PQCD \) の体積が三角すい \( ABCD \) の体積の \( \dfrac{1}{3} \) となるとき，線分 \( QM \) の長さを求めなさい。
三角すい \( PQCD \) の高さ \( PL=H_2 \)，底面積 \( △QCD=S_2 \)
とすると，
三角すい \( ABCD \) の体積は，\( \dfrac{1}{3}S_1H_1 \)
三角すい \( PQCD \) の体積は，\( \dfrac{1}{3}S_2H_2 \)
と表すことができるので，
\( \dfrac{1}{3}S_2H_2=\dfrac{1}{3} \times \left( \dfrac{1}{3}S_1H_1 \right) \)
\( S_2H_2=\dfrac{1}{3}S_1H_1 \)
となります。
面 \( △ABM \) に注目すると，
\( △ABN \) と \( △PBL \) において，
\( AN//PL \) なので，中点連結定理より，
\( PL=\dfrac{1}{2}AN \)
\( H_2=\dfrac{1}{2}H_1 \)
ここから，
\( S_2H_2=\dfrac{1}{3}S_1H_1 \)
\( \dfrac{1}{2}S_2H_1=\dfrac{1}{3}S_1H_1 \)
\( S_2=\dfrac{2}{3}S_1 \)
面 \( △BCD \) に注目すると，
\( △BCD \) と \( △QCD \) は，底辺 \( CD \) が共通なので，面積比は高さの比と等しくなります。
ここから，\( S_2=\dfrac{2}{3}S_1 \) であるとき，
\( QM=\dfrac{2}{3}BM=\dfrac{2}{3} \times 3\sqrt{5}= 2\sqrt{5} \; (cm) \)
大問６
Ａさん，Ｂさん，Ｃさんの自宅をそれぞれＡ宅，Ｂ宅，Ｃ宅とする。Ａ宅，Ｂ宅，Ｃ宅，図書館がこの順に一直線の道路沿いにあり，Ａ宅からＢ宅までは \( 900 \; m \)，Ａ宅からＣ宅までは \( 1200 \; m \)，Ａ宅から図書館までは \( 2100 \; m \) はなれている。Ａさん，Ｂさん，Ｃさんの３人は，次の のように，来週の日曜日に図書館へ行く計画を立てた。
Ｃさんの３人でＣ宅から図書館へ行くことにした。
・３人は毎分 \( 60 \; m \) の速さで歩いていくことにして，図書館に到着する時刻を決め，Ａさんの出発時刻，
Ｂ宅とＣ宅のそれぞれでの待ち合わせ時刻を計画した。
ア ＢさんはＢ宅での待ち合わせ時刻から \( 5 \) 分間待っていたが，Ａさんが来なかったので，Ａさんを迎えに
行くために，Ａ宅に向かってＢ宅を出発した。
イ ＢさんはＢ宅からＡ宅に向かって毎分 \( 60 \; m \) の速さで \( 5 \) 分間歩いたところで，Ａ宅からＢ宅に向かっ
て毎分 \( 120 \; m \) の速さで走ってきたＡさんと出会った。
ウ 出会ったＡさんとＢさんは，すぐにＣ宅に向かって毎分 \( 120 \; m \) の速さで走った。
エ ＣさんはＣ宅での待ち合わせ時刻から \( 5 \) 分間待っていたが，２人が来なかったので，Ｃ宅から図書館に
向かって毎分 \( 30 \; m \) の速さで歩いた。
オ ＡさんとＢさんがＣ宅に到着したときにはすでにＣさんが出発していたので，すぐにＡさんとＢさんは
毎分 \( 120 \; m \) の速さのままＣ宅から図書館へ向かったところ, Ｃさんに追いついた。
カ ＡさんとＢさんがＣさんに追いついたあと，３人一緒に図書館に向かった。
右の図は，ＢさんがＢ宅での待ち合わせ時刻から \( x \) 分後に，Ａ宅から \( y \; m \) はなれた地点にいるとして，ＢさんがＡさんと出会うまでの \( x \) と \( y \) の関係を表したグラフである。
このとき，次の問いに答えなさい。
（１） ＢさんがＡさんと出会ってからＣ宅に到着するまでのグラフを右の図にかき入れなさい。
ＡさんとＢさんは，
Ａ宅から \( 600 \; m \) の場所で出会った後，
Ｃ宅まで毎分 \( 120 \; m \) の速さで走ったので，
かかった時間は， \( \dfrac{1200-600}{120}=5 \) （分）。
これをグラフに書き込むと右の図のようになります。
（２） Ａさんは計画より何分おくれてＡ宅を出発したか求めなさい。
ＡさんはＡ宅を出発してから毎分 \( 120 \; m \) の速さで走ったので，
これをグラフに書き込むと，下の図の青の直線になります。
グラフから，ＡさんがＡ宅を出発したのは \( x=5 \) のとき。
【計画上のＡさんがＡ宅を出発する時間】
計画上のＢ宅での待ち合わせ時刻と場所を表す座標は \( (0，900) \) で，
Ａさんは，Ｂ宅までの \( 900 \; m \) を毎分 \( 60 \; m \) の速さで歩く予定だったので，
ＡさんがＢ宅までの歩くのにかかる時間は \( \dfrac{900}{60}=15 \)（分）
これをグラフに書き込むと，下の図の緑の直線になります。
つまり，計画されていたＡさんがＡ宅を出発する時間は \( x=-15 \) のとき。
よって， Ａさんは計画より \( 5-(-15)=20 \) 分遅れて出発したことになります。
（３） ＡさんとＢさんは，Ａ宅から何 \( m \) はなれた地点でＣさんに追いついたか求めなさい。
交点としてグラフ上に表されるので，
この２つの直線の式を連立方程式として解いていきます。
【Ｃ宅での待ち合わせ時刻】
（２）の緑の直線は計画通りに歩いたときの状態を表しているので，
この直線を \( y=1200 \) まで伸ばしたときの \( x \) の値は \( x=5 \) であり，
これがＣ宅での待ち合わせ時刻になります。
【Ｃさんが歩いた状態を表す直線の式】
Ｃさんは．待ち合わせ時刻から \( 5 \) 分後に出発したので，出発したのは \( x=10 \) のとき。
出発してから毎分 \( 30 \; m \) の速さで歩いたので，これをグラフに書き込むと，紫の直線になります。
この直線を延長すると，\( y=900 \) で \( y \) 軸と交わるので，
この直線の式は \( y=30x+900 \) ･･･ ➀
【ＡさんとＢさんが出会ってからＣさんに追いつくまでに歩いた状態を表す直線の式】
（１）の赤の直線がＡさんとＢさんが出会ってから歩いた状態を表していて，
この直線を延長すると，\( y=-600 \) で \( x \) 軸と交わるので，
この直線の式は \( y=120x-600 \) ･･･ ➁
紫と赤の直線の交点がＣさんに追いついた時間と場所を表すので，
上の２つの式を連立方程式として解くと，
\( x=\dfrac{50}{3}，y=1400 \) となるので，
追いついたのは，Ａ宅から何 \( 1400 \; m \) はなれた地点になります。
（４） ＡさんとＢさんがＣさんに追いついたあと，３人ははじめに計画していた毎分 \( 60 \; m \) の速さで歩いて図書館に向かった。計画より何分何秒おくれて図書館に到着するか求めなさい。
【計画上，図書館に到着する時刻】
（２）の緑の直線は計画通りに歩いたときの状態を表しているので，
この直線を \( y=2100 \) まで伸ばしたときの \( x \) の値は \( x=20 \) であり，
これが計画上の図書館への到着時刻になります。
【Ｃさんに追いついてから図書館まで歩いた状態を表す直線】
３人は，\( (x，y)=\left(\dfrac{50}{3}，1400\right) \) で出会い，
そこから毎分 \( 60 \; m \) の速さで歩いたので，これをグラフに書き込むと，水色の直線になります。
このとき，緑の直線と水色の直線はどちらも毎分 \( 60 \; m \) の速さで歩いた状態を表す直線なので，
平行になっています。
ここで，緑の直線と水色の直線について，
計画上，\( y=1400 \) の場所に到着する予定の点を点 \( A \)，
Ｃさんに追いついた点を点 \( B \)，
３人が図書館に到着した点を点 \( C \)，
計画上，図書館に到着する予定の点を点 \( D \)，
とすると，図書館への到着が計画よりおくれた時間は線分 \( CD \) の長さとして求めることができます。
また，\( AB//CD，AD//BC \) より四角形 \( ABCD \) は平行四辺形になっていることから，
\( AB=CD \) なので，\( AB \) の長さを求めることで遅れた時間を求めます。
緑の直線の式は，\( y=60x+900 \) であり，点 \( A \) の \( y \) 座標は \( 1400 \) なので，
\( x \) 座標は，
\( 1400=60x+900 \)
\( 500=60x \)
\( \dfrac{25}{3}=x \)
点 \( B \) の \( x \) 座標は \( \dfrac{50}{3} \) であることから，
図書館への到着が計画よりおくれた時間は
\( \dfrac{50}{3}-\dfrac{25}{3}=\dfrac{25}{3}=8+\dfrac{1}{3} \)（分）
\( \dfrac{1}{3} \) 分を秒に換算すると，\( 60 \times \dfrac{1}{3}=20 \)（秒）
なので，求める答えは \( 8 \) 分 \( 20 \) 秒。
大問７
右の図のように，点 \( O \) を中心とし，線分 \( AB \) を直径とする円 \( O \) と，点 \( A \) を中心とし，線分 \( AO \) を半径とする円 \( A \) がある。円 \( O \) と円 \( A \) の交点のうち，一方を \( C \) とする。また，線分 \( AB \) を３等分する点のうち，点 \( A \) に近い方を \( D \) とし，円 \( A \) の周上に \( ∠AED=30° \) となるように点 \( E \) をとる。ただし，点 \( E \) は円 \( O \) の外側にあり，直線 \( AB \) について点 \( C \) と同じ側にあるものとする。また，直線 \( BC \) と直線 \( DE，AE \) の交点をそれぞれ \( F，G \) とする。
このとき，次の問いに答えなさい。
（１） 次の【証明】は，\( △OAC \) が正三角形であることを示し，そのことを用いて \( △AED \) ∽ \( △ABG \) を証明したものである。この【証明】を完成させなさい。
【証明】
\( △OAC \) において，
\( OA，OC \) は円 \( O \) の半径であるから，\( OA=OC \)
\( AO，AC \) は円 \( A \) の半径であるから，\( AO=AC \)
よって，\( OA=OC=AC \)
3つの辺が等しいから，\( △OAC \) は正三角形である。
したがって，\( ∠OAC=∠AOC=∠OCA=60° \)
\( △AED \) ∽ \( △ABG \)
\( △AED \) と \( △ABG \) において
\( ∠AOC \) は弧 \( AC \) の中心角
\( ∠ABC \) は弧 \( AC \) の円周角
なので，\( ∠ABC=\dfrac{1}{2}∠AOC=30° \)
\( ∠ABG=∠ABC \) であり，
\( ∠AED=30° \) より，
\( ∠AED=∠ABG \) ･･･ ➀
\( ∠A \) は共通 ･･･ ➁
➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △AED \) ∽ \( △ABG \)
（２） \( AB=6 \; cm，AG=4 \; cm \) のとき，次の問いに答えなさい。
① 線分 \( BG \) の長さを求めなさい。
\( △ABC \) において，
直径に対する円周角なので，\( ∠ACB=90° \)
（１）より \( ∠ABC=30° \)
なので，
\( AC=\dfrac{1}{2}AB=3 \; (cm) \)
\( BC=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AB=3\sqrt{3} \; (cm) \)
\( △AGC \) において，三平方の定理より，
\( CG^2=4^2-3^2=7 \)
\( CG=\sqrt{7} \; (cm) \) (\( CG>0 \) より)
よって，
\( BG=(3\sqrt{3}+\sqrt{7}) \; cm \)
➁ \( △EFG \) の面積を求めなさい。
\( △AED \)∽\( △ABG \)，\( AB=6 \; cm，AG=4 \; cm \)，
\( AD=\dfrac{1}{3}AB=2 \; cm \) より，
相似比は
\( AD：AG=AE：AB \)
\( 2：4=AE：6 \)
\( AE=3 \; (cm) \)
ここから，\( EG=AG-AE=1 \; (cm) \)
\( △EGF \) と \( △BDF \) において，
対頂角は等しいので，\( ∠GEF=∠AED \)
（１）より，\( ∠DBF=∠AED \)
ここから，\( ∠GEF=∠DBF \) ･･･ ➀
また，\( ∠F \) は共通 ･･･ ➁
➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △EGF \) ∽ \( △BDF \)
相似比は，\( EG：DB=1：4 \)
点 \( D，E \) から線分 \( BF \) に垂線をひき，
交点を \( H，I \) とすると，
\( △ABC \) ∽ \( △DBH \) であり，
\( AB=6 \; cm，AC=3 \; cm，DB=4 \; cm \) なので，
\( AB：DB=AC：DH \)
\( 6：4=3：DH \)
\( DH=2 \; (cm) \)
\( △AGC \) ∽ \( △EGI \) であり，
\( AG=4 \; cm，AC=3 \; cm，EG=1 \; cm \) なので，
\( AG：EG=AC：EI \)
\( 4：1=3：EI \)
\( EI=\dfrac{3}{4} \; (cm) \)
\( △EFI \) と \( △DFH \) において，
\( ∠EIF=∠DHF=90° \)，\( ∠F \) は共通
より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △EFI \) ∽ \( △DFH \)
相似比は，\( EI：DH=\dfrac{3}{4}：2=3：8 \)
\( EF：DF=3：8 \) より，\( DE=x \; cm \) とすると，
\( EF：DE=3：5 \)
\( EF：x=3：5 \)
\( EF=\dfrac{3}{5}x \; (cm) \)
\( △EGF \) ∽ \( △BDF \) で，相似比は \( 1：4 \) なので，
\( GF：DF=1：4 \)
\( GF：\dfrac{8}{5}x=1：4 \)
\( GF=\dfrac{2}{5}x \; (cm) \)
以上より，
\( △EFG=GF \times EI \times \dfrac{1}{2} \)
\( =\dfrac{2}{5}x \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{2} \)
\( =\dfrac{3}{20}x \; (cm^2) \)
\( △AED \) ∽ \( △ABG \)，\( AD=2 \; cm，AG=4 \; cm，BG=(3\sqrt{3}+\sqrt{7}) \; cm \) より，
\( AD：AG=x：BG \)
\( 2：4=x：(3\sqrt{3}+\sqrt{7}) \)
\( x=\dfrac{3\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2} \; (cm) \)
なので，
\( △EFG=\dfrac{3}{20}x \)
\( =\dfrac{3}{20} \times \dfrac{3\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2} \)
\( =\dfrac{9\sqrt{3}+3\sqrt{7}}{40} \; (cm^2) \)
