山形県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

\( ∠ACB=x \) とすると，
４点 \( A，B，C，D \) が１つの円周上にあることから，
\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) の円周角なので，\( ∠ADB=∠ACB=x \)
\( △ACD \) において，
　\( x=180°-(42°+36°+55°)=47° \)

１回目と２回目に取り出したカードに書かれている
整数の組み合わせとその積を表に書き出し，
積が自然数になるところに ○ をつけると，
積が自然数になる組み合わせは \( 10 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 25 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{10}{25}=\dfrac{2}{5} \)

手順１　２点 \( A，C \) を中心に円弧を描く。
　　　　(交点を \( D，E \) とします。)
手順２　２点 \( D，E \) を通る直線を描く。
　　　　(辺 \( AC \) との交点を \( F \) とします。)
手順３　２点 \( B，F \) を通る直線を描く。
手順４　点 \( B \) を中心に，辺 \( BA \) を半径とする
　　　　円弧を描く。

　➀ \( \times 11 \)
　　\( 11x+11y=14700 \times 11  \) ･･･ ➀’
　➁ \( \times 10 \)
　　\( 12x+11y=14700 \times 10+24600  \) ･･･ ➁’
　➁’\( – \) ➀’
　　\( x=14700 \times 10+24600-14700 \times 11 \)
　　　\( =24600-14700  \)
　　　\( =9900  \)

【\( 0≦x≦4 \) のとき】
点 \( P \) は２点 \( A，F \) 間，点 \( Q \) は２点 \( C，G \) 間をそれぞれ移動します。
\( △BPQ \) の底辺を \( BQ \) とすると，
\( x \) 秒後の \( CQ \) の長さは \( CQ=2x \; (cm) \) なので，
　\( BQ=12-2x \; (cm) \)
高さは \( AF//BC \) より，\( 6 \; cm \) で一定なので，
　\( y=(12-2x) \times 6 \times \dfrac{1}{2} \)
　　\( =-6x+36 \) ･･･ 　ア　

【\( 4≦x≦6 \) のとき】
点 \( P \) は２点 \( F，E \) 間を移動します。
点 \( Q \) は \( x=4 \) のときに点 \( G \) に到着しているため動きません。
ここから，底辺は \( BQ=BG=4 \; cm \) で一定です。

高さについては，
\( FE⊥BC，AF=BG=4 \; cm \) より，\( PQ⊥BQ \) なので，\( PQ \) が高さになります。

\( AF+FP=x \; cm，AF=4 \; cm \) より，\( FP=x-4 \; cm \) なので，
\( PQ=FQ-FP=6-(x-4)=10-x \; (cm) \)
ここから，
　\( y=4 \times (10-x) \times \dfrac{1}{2} \)
　　\( =-2x+20 \) ･･･ 　ウ　

以上より，　イ　 に入る値は \( 6 \) になります。

\( x \) 秒後の \( PD \) の長さは
　\( PD=AF+FE+ED-x \)
　　　 \( =14-x \; (cm) \)
と表すことができるので，
台形 \( PQCD \) の面積の関係を方程式にして解くと，
　\( \{(14-x)+8\} \times 4 \times \dfrac{1}{2}=28 \)
　　　　　　　　\( 2(22-x)=28 \)
　　　　　　　　　　　　\( 2x=16 \)
　　　　　　　　　　　　 \( x=8 \)（秒後）→ 　エ　

\( x=8 \) のとき，\( PD=14-8=6 \; cm \) なので，
　\( EP=2 \; cm \)
また，\( EQ=DC=4 \; cm \) なので，
\( △PQE \) において，三平方の定理より，
　\( PQ^2=4^2+2^2=20 \)
　 \( PQ=2\sqrt{5}  \; (cm) \) (\( PQ>0 \) より) ･･･ 　オ　

\( △ABC \) と \( △EDA \) において，
　仮定より，\( BC=DA \) ･･･ ➀
　仮定より，\( BC//DA \) なので，錯角は等しく，
　\( ∠EAD=∠AEC \) ･･･ ➁
　仮定より，\( ∠ACB=∠AEC \) ･･･ ➂
　なので，
　➁➂より，\( ∠ACB=∠EAD \) ･･･ ➃
　\( △ACE \) は，底角が等しく二等辺三角形であり，\( AC=EA \) ･･･ ➄
➀➂➄より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABC≡△EDA \)

\( △GCE \) と \( △GAD \) において，
仮定より，\( BC//DA \) なので，
\( ∠GCE=∠GAD，∠GEC=∠GDA \) であり，
２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △GCE \) ∽ \( △GAD \)

仮定より，\( BC=10 \; cm，BC=DA \) なので，
　\( DA=10 \; cm \)
仮定より，\( BC=10 \; cm，BE=4 \; cm \) なので，
　\( EC=6 \; cm \)
\( CG=x \; cm \) とすると，
　 \( CG：AG=EC：DA \)
　\( x：(x+5)=6：10 \)
　　　　 \( 10x=6(x+5) \)
　　　　　\( 4x=30 \)
　　　　　 \( x=\dfrac{15}{2} \; (cm) \)

\( △AFE \) が \( △ABE \) から \( △FBE \) を
取り除いたものであることに注目すると，
\( △ABE \) と \( △FBE \) は \( BE=4 \; cm \) が
共通なので，高さがわかると，
それぞれの面積を求めることができます。

【\( △ABE \) の面積を求める】
仮定より，\( ∠ACB=∠AEC \) であり，
\( △ACE \) は，底角が等しいので，
二等辺三角形になっています。

点 \( A \) から線分 \( BC \) に垂線をひき，
交点を \( H \) とすると，
点 \( H \) は辺 \( EC \; (=6 \; cm) \) の中点なので，
\( CH=3 \; cm \)
\( AC=5 \; cm，CH=3 \; cm \) より，
\( △ACH \) は，３辺の長さが \( 3：4：5 \) の
直角三角形なので，\( AH=4 \; cm \)

よって，
　\( △ABE=4 \times 4 \times \dfrac{1}{2}=8 \; (cm^2) \)

【\( △FBE \) の面積を求める】
\( △FBE \) と \( △FAD \) において，
仮定より，\( BC//DA \) なので，
\( ∠FBE=∠FAD，∠FEB=∠FDA \) であり，
２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △FBE \) ∽ \( △FAD \)

\( BE=4 \; cm，AD=10 \; cm \) なので，
相似比は \( △FBE ：△FAD=4：10=2：5 \)
点 \( F \) から線分 \( BE，DA \) に垂線をひき，
交点を \( I，J \) とすると，
　\( FI ：FJ=2：5 \)
\( BC//DA \) より，\( IJ=AH=4 \; cm \) なので，
　\( FI=4 \times \dfrac{2}{7}=\dfrac{8}{7} \; cm \)

よって，
　\( △FBE=4 \times \dfrac{8}{7} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{16}{7} \; (cm^2) \)