山形県公立高校入試　令和７（2025）年度　解答＆解説

\( 8 \)

\( =4-(-4) \)
\( =4+4 \)
\( =8 \)

\( -\dfrac{4}{9} \)

\( =\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{2} \times \left( -\dfrac{4}{9} \right) \)
\( =\dfrac{2}{3}-\dfrac{10}{9} \)
\( =\dfrac{6}{9}-\dfrac{10}{9} \)
\( =-\dfrac{4}{9} \)

\( -3a+2 \)

\( =-\dfrac{18a^2b-12ab}{6ab} \)
\( =-(3a-2) \)
\( =-3a+2 \)

\( -10+2\sqrt{2} \)

\( =(-10-\sqrt{2})+3\sqrt{2} \)
\( =-10+2\sqrt{2} \)

　　　\( (2x-1)^2=5x-1 \)
　\( 4x^2-4x+1=5x-1 \)
　\( 4x^2-9x+2=0 \)
\( (4x-1)(x-2)=0 \)
　　　　　　　 \( x=\dfrac{1}{4}，2 \)

\( 15 \) 個

\( \sqrt{225-n}=m \)（\( m \) は整数）として，両辺を２乗すると，
　\( 225-n=m^2≧0 \) ･･･ ➀
また，\( n \) は自然数なので，
　\( 225-n<225 \) ･･･ ➁
➀➁より，\( 225-n \) の値は，\( 0≦225-n≦225 \) の平方数になります。
　 \( 0≦225-n<225 \)
　\( 0^2≦225-n<15^2 \)
なので，あてはまる \( n \) の値は，

であり，全部で \( 15 \) 個あります。
よって，\( \sqrt{225-n} \) の値が整数となるような自然数 \( n \) の個数は \( 15 \) 個になります。

【曲面部分の面積】
　\( 4\pi{} \times 10^2 \times \dfrac{1}{2}=200\pi{} \; (cm^2) \)
【底面部分の面積】
　\( \pi{} \times 10^2=100\pi{} \; (cm^2) \)
なので，この立体の表面積は，
　\( 200\pi{}+100\pi{}=300\pi{} \; (cm^2) \)

ア

すべてのデータの数が１３個なので，データの値を小さい順に並べ替えたとき，
　中央値 ･･･ 小さい方から７番目の値
　第一四分位数 ･･･ 小さい方から３番目と４番目の平均値
　第三四分位数 ･･･ 小さい方から１０番目と１１番目の平均値
になります。

ヒストグラムから，
　第一四分位数 ･･･ \( 0 \) 本以上 \( 10 \) 本未満の階級
　中央値 ･･･ \( 20 \) 本以上 \( 30 \) 本未満の階級
　第三四分位数 ･･･ \( 30 \) 本以上 \( 40 \) 本未満の階級
に含まれており，これらをすべて満たす箱ひげ図は ア になります。

　　　

\( -2 \)

エ　\( b<a<1 \)

２次関数 \( y=mx^2 \)（\( m>0 \)，\( m \) は定数） のグラフでは，\( m \) の値が大きくなるほど
グラフの開き具合は小さくなります。
\( y=ax^2 \) ･･･ ➁のグラフと \( y=bx^2 \) ･･･ ➂のグラフでは，
\( y=ax^2 \) ･･･ ➁の方がグラフの開き具合は小さいので，\( b<a \) であることがわかります。

関数 \( y=x^2 \) のグラフの方が，➁のグラフより開き具合が小さいので，
\( a<1 \) であることがわかります。

以上より，\( 1，a，b \) の関係は エ　\( b<a<1 \) になります。

手順３と手順５の直線の交点が求める点 \( P \) になります。

点 \( P \) が「条件➀ を満たすとき」と「条件➁ を満たすとき」をわけて考え，
その結果から，条件➀と➁の両方を満たす場所を考えます。

つまり，直線 \( BP \) は \( ∠ABC \) の二等分線であり，
点 \( P \) は，\( ∠ABC \) の二等分線上の点であるといえます。

つまり，点 \( U \) は線分 \( CD \) の中点であり，
点 \( P \) は，線分 \( CD \) の垂直二等分線上の点であるといえます。

以上より，点 \( P \) は，\( ∠ABC \) の二等分線と線分 \( CD \) の垂直二等分線の交点になります。

【１次方程式で表す場合】
そばを \( x \) 人分作ったとすると，
　\( \dfrac{100}{5}x+\dfrac{500}{5}(58-x)=3000 \)

【連立方程式で表す場合】
そばを \( x \) 人分，うどんを \( y \) 人分作ったとすると，
　\( \left\{ \begin{array}{}
x+y=58 \\
\dfrac{100}{5}x+\dfrac{500}{5}y=3000 \\
\end{array} \right.  \)

【１次方程式で表す場合】
そばを \( x \) 人分作ったとすると，そばとうどんを合わせて \( 58 \) 人分作ったことから，
作ったうどんの量は \( (58-x) \) 人分と表すことができます。

と表すことができます。

そばとうどんを合わせて \( 58 \) 人分作るために使った小麦粉の量は \( 3000 \; g \) なので，
この関係を方程式で表すと，
　\( \dfrac{100}{5}x+\dfrac{500}{5}(58-x)=3000 \)

【連立方程式で表す場合】
そばを \( x \) 人分，うどんを \( y \) 人分作ったとすると，
そばとうどんを合わせて \( 58 \) 人分作ったので，この関係を方程式で表すと，
　\( x+y=58 \) ･･･ ➀
\( x \) 人分のそばと \( y \) 人分のうどんを作るために必要な小麦粉の量に注目すると，

と表すことができます。

\( x \) 人分のそばと \( y \) 人分のうどんを作るために使った小麦粉の量は \( 3000 \; g \) なので，
この関係を方程式で表すと，
　\( \dfrac{100}{5}x+\dfrac{500}{5}y=3000 \) ･･･ ➁

➀➁を連立方程式として表すと，
　\( \left\{ \begin{array}{}
x+y=58 \\
\dfrac{100}{5}x+\dfrac{500}{5}y=3000 \\
\end{array} \right.  \)

\( 200 \; g  \)

【（１）を１次方程式で表した場合】
　\( \dfrac{100}{5}x+\dfrac{500}{5}(58-x)=3000 \)
　　 \( 20x+100(58-x)=3000 \)
　　　　　\( x+5(58-x)=150 \)
　　　　　　 \( -4x+290=150 \)
　　　　　　　　　　　\( 4x=140 \)
　　　　　　　　　　　 \( x=35 \)（人）
\( 35 \) 人分のそばを作るために使ったそば粉の量は
　\( \dfrac{400}{5} \times 35=2800 \; (g) \)
なので，残ったそば粉の量は
　\( 3000-2800=200 \; (g) \)

【（１）を連立方程式で表した場合】
　\( \left\{ \begin{array}{}
x+y=58 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
\dfrac{100}{5}x+\dfrac{500}{5}y=3000 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
➁より，
　\( x+5y=150 \) ･･･ ➁’
➁’-➀ すると，
　\( 4y=92 \)
　 \( y=23 \)（人）
➀ の代入すると，
　\( x+23=58 \)
　　　 \( x=35 \)（人）
\( 35 \) 人分のそばを作るために使ったそば粉の量は
　\( \dfrac{400}{5} \times 35=2800 \; (g) \) なので，
残ったそば粉の量は
　\( 3000-2800=200 \; (g) \)

ゲームＳで景品をもらえる確率は \( \dfrac{1}{2} \)，ゲームＴで景品をもらえる確率は \( \dfrac{3}{5} \) で，
ゲームＴで景品をもらえる確率の方が高い。
よって，ゲームＴの方が景品をもらいやすい。

【ゲームＳで景品をもらえる確率】
\( 3 \) 個の赤玉に「赤１」，「赤２」，「赤３」
\( 3 \) 個の白玉に「白１」，「白２」，「白３」
と名前をつけると，赤玉が出るのは，
「赤１」を選んだとき，「赤２」を選んだとき，「赤３」を選んだとき，
の \( 3 \) 通り，すべての組み合わせは \( 6 \) 通りなので，
景品をもらえる確率は，\( \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2} \)

【ゲームＴで景品をもらえる確率】
\( 2 \) 個のうち，少なくとも \( 1 \) 個は赤玉のとき景品がもらえるのだから，
景品がもらえないのは，赤玉が出ない（２個とも白玉が出る）場合です。
\( 2 \) 個の赤玉に「赤１」，「赤２」
\( 3 \) 個の白玉に「白１」，「白２」，「白３」，「白４」
と名前をつけ，取り出した \( 2 \) 個の玉の組み合わせを樹形図に書き出すと，
２個とも白玉が出る組み合わせは，\( 6 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 15 \) 通りなので，
景品をもらえない確率は，\( \dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5} \) です。
よって，景品をもらえる確率は，\( 1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5} \) です。

\( 250 \; m  \)

グラフより，Ａ駅を出発してから \( 6 \) 分間に \( 550-100=450 \; (m) \) 標高が高くなっているので，
\( 1 \) 分あたり \( \dfrac{450}{6}=75 \; (m) \) ずつ標高が高くなっていることになります。
ここから，\( 2 \) 分間で \( 75 \times 2=150 \; (m) \) 標高が高くなったとわかります。
スタートのＡ駅の標高は \( 100 \; m \) なので，出発してから \( 2 \) 分後の標高は
　\( 100+150=250 \; (m) \)
になります。

\( \boxed{　ア　} \) ･･･ \( 75x+100  \)
\( \boxed{　イ　} \) ･･･ \( 9  \)
\( \boxed{　ウ　} \) ･･･ \( 35x+235  \)

グラフ

\( \boxed{　ア　} \)
グラフより， \( 0≦x≦6 \) の直線は \( (0，100)，(6，550) \) を通っているので，
　傾き \( =\dfrac{550-100}{6-0}=75 \)
であり，この直線の式は \( y=75x+100 \) になります。

\( \boxed{　イ　} \)
\( y=550 \) の式は，Ｂ駅から移動していないことを表しています。
明美さんがＢ駅に到着したのは，Ａ駅を出発してから \( 6 \) 分後なので，
明美さんがＢ駅を出発したのは，Ａ駅を出発してから \( 6+3=9 \) 分後になります。

\( \boxed{　ウ　} \)
明美さんがＢ駅を出発した時間と場所を表す座標は \( (9，550) \)，
明美さんがＣ駅に到着した時間と場所を表す座標は \( (19，900) \)
なので，この２点を通る直線の式を \( y=ax+b \) とすると，
　\( a=\dfrac{900-550}{19-9}=35 \)
\( y=35x+b \) に \( x=9，y=550 \) を代入すると，
　\( 550=35 \times 9+b \)
　　\( b=235 \)
なので，求める直線の式は \( y=35x+235 \) になります。

\( 10 \) 分前

\( x=5 \) のときの \( y \) 座標の値は，
　\( y=75 \times 5+100=475 \)
なので，大樹さんと明美さんがいる位置の標高が等しくなったのは \( (5，475) \) のときです。

また，大樹さんがＢ駅に到着したのは \( (8，550) \) のときなので，
この２点を通る直線の式を \( y=mx+n \) とすると，
　\( m=\dfrac{550-475}{8-5}=25 \)
\( y=25x+n \) に \( x=8，y=550 \) を代入すると，
　\( 550=25 \times 8+b \)
　　\( b=350 \)
なので，この直線の式は \( y=25x+350 \) になります。

大樹さんがＡ駅を出発した点を表しているのは \( y=100 \) になる点なので，
\( y=25x+350 \) に \( y=100 \) を代入すると，
　\( 100=25x+350 \)
　　\( x=-10 \)
よって，大樹さんがＡ駅を出発したのは，明美さんがＡ駅を出発する \( 10 \) 分前になります。

\( 3：2 \)

\( △OBF=△BEO-△OEF \) と考えると，図から \( △AEC≡△OEF \) であれば，
\( △AEC \) と \( △OEF \) の相似比を求めることで，
\( △AEC \) と \( △OBF \) の面積の比を求めることができると推測できます。

\( OE=OC-CE=3 \; cm \) であることから，\( △AEC \) と \( △OEF \) の相似比は，
　\( AE：OE=3\sqrt{3}：3=\sqrt{3}：1 \)

相似な三角形の面積は相似比の２乗の比と等しいので，
　\( △AEC：△OEF=(\sqrt{3})^2：1^2=3：1 \)

よって，\( △AEC \) と \( △OBF \) の面積の比は，
　\( △AEC：△OBF=△AEC：(△BEO-△OEF) \)
　　　　　　　　　　 \( =△AEC：(△AEC-△OEF) \)
　　　　　　　　　　 \( =3：(3-1) \)
　　　　　　　　　　 \( =3：2 \)

\( \sqrt{17} \; cm \)

\( △ECN \) において，三平方の定理より，
　\( EN^2=3^2-1^2=8 \)
\( △AEN \) において，三平方の定理より，
　\( AE^2=AN^2+EN^2 \)
　　　　\( =3^2+8 \)
　　　　\( =17 \)
　 \( AE=\sqrt{17} \; (cm) \)