山梨県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

円と接線については，以下の性質があるので，
これを利用して求める円の中心の位置を求めます。
（円の中心を \( O \) とします。）

・ 円の半径と接線は接点において垂直に交わる
・ 円 \( O \) の外部の点 \( B \) から２本の接線をひいたとき，直線 \( OB \) は \( ∠B \) の二等分線になる。（注）

反比例の式は，
　\( y=\dfrac{a}{x} \) ( \( a \) は定数)
と表すことができるので，
\( x=-1，y=-4 \) を代入すると，
　\( -4=\dfrac{a}{-1} \)
　　\( a=4 \)

\( y=\dfrac{4}{x} \) において，
\( x \) 座標と \( y \) 座標がともに整数となるのは，
\( x \) と \( y \) の値がともに \( 4 \) の約数になるときです。

\( 4 \) の（正の）約数は \( 1，2，4 \) の３つなので，
グラフの曲線１本あたり３個になります。
反比例の曲線は原点 \( O \) について点対称な位置にもあるので，全部で６個になります。

①は \( A(-3，3)，B\left(1，\dfrac{1}{3} \right) \) を通っているので，
右のグラフより，\( 0≦y≦3 \)

\( △COB \) と \( △CPA \) において，
対頂角は等しいので，\( ∠BCO=∠ACP \) ･･･ ➀
\( OB//AP \) より，
錯角は等しいので，\( ∠BOC=∠APC \) ･･･ ➁
２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △COB \) ∽ \( △CPA \)

\( △COB \) の底辺を線分 \( CO \) とすると，
高さは \( 1 \)，
\( △CPA \) の底辺を線分 \( CP \) とすると，
高さは \( 3 \)
なので，相似比は \( 1：3 \)

直線 \( AB \) の式を \( y=ax+b \) とすると，
　\( a=\dfrac{\dfrac{1}{3}-3}{1-(-3)}=-\dfrac{2}{3} \)
\( y=-\dfrac{2}{3}x+b \) に \( x=-3，y=3 \) を代入すると，
　\( 3=-\dfrac{2}{3} \times (-3)+b \)
　\( b=1 \)
となり，直線 \( AB \) の式は \( y=-\dfrac{2}{3}x+1 \)

ここから，\( OC=1 \) なので，
\( CD=2 \) となるのは，\( D(0，-1) \) のとき，
\( CE=2 \) となるのは，\( E(0，3) \) のときです。

\( △ABC \) と \( △EDC \) において，

円 \( O \) の直径なので，
　\( AB=ED \) ･･･ ➀

直径に対する円周角なので，
　\( ∠ACB=∠ECD=90° \) ･･･ ➁

\( ∠ABC \) は弧 \( AC \) の円周角，
\( ∠EDC \) は弧 \( CE \) の円周角なので，
弧 \( AC= \) 弧 \( CE \) より，
　\( ∠ABC=∠EDC \) ･･･ ➂

➀➁➂より，
直角三角形の斜辺と他の１つの鋭角がそれぞれ等しいので，
　\( △ABC≡△EDC \)

弧 \( AC \) の中心角なので，
　\( ∠AOC=2∠ABC=36° \)
弧 \( AC= \) 弧 \( CE \) より，
　\( ∠EOC=∠AOC=36° \)
ここから，
　\( ∠BOE=180°-(∠AOC+∠EOC) \)
　　　　　\( =108° \)

おうぎ形の弧の長さは，中心角に比例するので，
　弧 \( EB=8\pi{} \times \dfrac{108°}{360°} \)
　　　　　\( =8 \pi{} \times \dfrac{3}{10} \)
　　　　　\( =\dfrac{12}{5}\pi{} \; (cm) \)

線分 \( AC \) は底面の対角線なので，\( AC=4\sqrt{2} \; cm \)

正方形の対角線はそれぞれの中点で交わるので，
　\( AH=\dfrac{1}{2}AC=2\sqrt{2} \; (cm) \)

\( OH⊥AC \) より，
\( △OAH \) は直角二等辺三角形なので，
　\( OA=\sqrt{2}OH=4 \; (cm) \)

\( △OAH \) において，
\( Q \) は線分 \( AH \) の中点なので，
\( QH=\dfrac{1}{2}AH=\sqrt{2} \; (cm) \)
また，中点連結定理より，
\( PQ//OH，PQ=\dfrac{1}{2}AH=\sqrt{2} \; (cm) \)

ここから，
\( △PQH \) を，直線 \( OH \) を軸として回転させてできる立体は，底面の半径と高さが \( \sqrt{2} \; cm \) の円柱 \( V_1 \) から底面の半径と高さが \( \sqrt{2} \; cm \) の円すい \( V_2 \) を取り除いた形になります。

\( V_1，V_2 \) の体積は，
　\( V_1=(\pi{} \times \sqrt{2}^2) \times \sqrt{2}=2\sqrt{2}\pi{} \; (cm^3) \)
　\( V_2=(\pi{} \times \sqrt{2}^2) \times \sqrt{2} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\pi{} \; (cm^3) \)
なので，
　\( V_1-V_2=2\sqrt{2}\pi{}-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\pi{}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}\pi{} \; (cm^3) \)

 正方形 \( ABCD \) の対角線が \( 4\sqrt{2} \; cm \) なので，
１辺の長さは，\( 4\sqrt{2} \times \dfrac{1}{\sqrt{2}}=4 \; (cm) \)

\( △OAB \) において，中点連結定理より，
\( PR//AB，PR=\dfrac{1}{2}AB=2 \; (cm) \)
なので，
\( EJ=PR=2 \; cm，AE=BJ=1 \; cm \)