問題
１．一の位の数字が４である２けたの自然数Ａが，Ａの各位の数字の和の７倍に等しいとき，
自然数Ａを求めなさい。
２．２けたの自然数Ａは，各位の数字の和の４倍に等しく，また，十の位の数字と一の位の数字を
入れかえてできる２けたの自然数は，自然数Ａの２倍より９だけ小さい。
このとき，自然数Ａを求めなさい。
３．十の位の数字と一の位の数字の和が１０である２けたの自然数がある。この自然数の
十の位の数字と一の位の数字を入れかえた自然数は，もとの自然数より３６大きくなる。
もとの自然数を求めなさい。
解答
１． ８４
２． １４
３． ３７
解説
一の位の数字が４＆各位の数字の和の７倍に等しい
最初に，例として２５の場合を考えます。
２５という自然数は，１０を２個，１を５個集めてできている数字です。
これを数式で表すと，２５＝１０✕２＋１✕５になります。
同様に，求める２けたの自然数Ａを，１０をａ個，１を４個集めてできた数字と考えると，
数式では，Ａ＝１０ａ＋４と表すことができます。
また、＂Ａの各位の数字の和の７倍に等しい”を
数式にすると，Ａ＝（ａ＋４）✕７と表すことができます。
以上より，
１０ａ＋４＝（ａ＋４）✕７
１０ａ＋４＝７ａ＋２８
１０ａ－７ａ＝２８－４
３ａ＝２４
ａ＝８
となり，自然数Ａは８４になります。
各位の数字の和の４倍＆入れかえた自然数は２倍より９小さい。
十の位の数字をａ，一の位の数字をｂ，とすると，
”２けたの自然数Ａは，各位の数字の和の４倍に等しい”を数式で表すと，Ａ＝（ａ＋ｂ）✕４となります。
また，＂十の位の数字と一の位の数字を入れかえた自然数＂を数式で表すと，１０ｂ＋ａとなります。
これが自然数Ａの２倍より９だけ小さい”ので，１０ｂ＋ａ＝２Ａ－９
以上より
１０ｂ＋ａ＝２Ａ－９
１０ｂ＋ａ＝２✕４（ａ＋ｂ）－９
１０ｂ＋ａ＝８ａ＋８ｂ－９
２ｂ＝７ａ＋９ （１≦ａ≦９，１≦ｂ≦９）
これを満たす（ａ，ｂ）の組み合わせは（ａ，ｂ）＝（１，４）のみですので
自然数Ａは１４になります。
各位の数字の和が１０＆ 入れかえた自然数は３６大きい
もとの自然数をＰ，十の位の数字をａ，一の位の数字をｂとするとき，
＂十の位の数字と一の位の数字の和が１０である”ことは，
ａ＋ｂ＝１０ ・・・ （1）
と表すことができます。
次に，もとの自然数Ｐは，
Ｐ＝１０ａ＋ｂ ・・・ （2）
と表すことができます。
また，もとの自然数Ｐの十の位の数字と一の位の数字を入れかえた自然数をＱとすると，
Ｑ＝１０ｂ＋ａ ・・・ （3）
と表すことができます。
ここで，自然数Ｑは，もとの自然数Ｐより３６大きくなるので，
Ｑ＝Ｐ＋３６ ・・・ （4）
となります。
ここで，（2）（3）（4）より，
\begin{eqnarray}
Q&=&P+36\\
10b+a&=&10a+b+36\\
10b+a-10a-b&=&36\\
9b-9a&=&36\\
b-a&=&4 ・・・ （5）\\
\end{eqnarray}
（1）（5）より連立方程式を立てると，
\(\left
\{\begin{array}{l}
a+b=10 (1) \\
b-a=4 (5) \\
\end{array}
\right.\)
(1)＋(5) より
\( 2b = 14 \)
\(\;b = 7 \)
(4) より
\( a+7 = 10 \)
\( a = 3 \)
以上より、２けたの自然数は３７であるとわかります。
