問題
右の図のように，連続する自然数をある規則にしたがって，１番目，２番目，３番目，･･･と並べていく。
このとき，３番目右上すみにある自然数は１６，左下すみにある自然数は１０となっている。
次の問い（１）～（３）に答えなさい。
１．４番目の右上すみにある自然数を答えなさい。
２．ｎ番目の右上すみにある自然数をｎを使って表しなさい。
３．右上すみにある自然数と左下すみにある自然数の和が１４６になるのは何番目か求めなさい。
解答
（１） ２５
（２） （ｎ＋１）2
（３） ８番目
解説
４番目の右上すみにある自然数は？
１番目，２番目，３番目の右上の自然数に注目すると，
１番目： ４（２ ✕ ２）
２番目： ９（３ ✕ ３）
３番目：１６（４ ✕ ４）
と，＂〇 の２乗”の形になっていることがわかります。
また， ＂〇 ”にあたる数字は，
＂● ”より１大きい数字になっています。
＂１ ”番目：＂２ ”の２乗
＂２ ”番目：＂３ ”の２乗
＂３ ”番目：＂４ ”の２乗
以上より，
＂４ ”番目：＂５ ”の２乗
となるので，
５ ✕ ５＝２５
となります。
その数字が持つ特徴をみつける必要があります。数字が持つ主な特徴と文字式での表し方
偶数：２ｎ
奇数：２ｎ＋１
〇の倍数：〇ｎ（２の倍数，３の倍数 等）
〇の２乗：ｎ２
連続する数字；ｎ，ｎ＋１，ｎ＋２
（６，７，８ 等）
ｎ番目の右上すみにある自然数をｎを使って表すと？
前問で＂● 番目”の右上すみにある自然数は，＂〇 の２乗”となっており，
＂〇” は ＂●” よりも１大きい数字であることがわかりました。
＂〇” は ＂●” よりも１大きい数字である を数式の形で表すと，
＂〇” ＝＂●”＋１
となります。
よって，＂ｎ番目”の右上すみにある自然数は，＂ｎ＋１ の２乗”
（ｎ＋１）2 ・・・ （１）
になります。
右上すみと左下すみの自然数の和が１４６になるのは何番目？
自然数の並べかたの規則性をみつける
自然数の並び順に注目すると，左上すみの＂１”を基準として，
左下すみ → 右下すみ → 右上すみ
という順番の繰り返しで並べられていることがわかります。
ｎ番目の左下すみの自然数をｎを使って表す
自然数は＂左下すみ → 右下すみ → 右上すみ”の順番で並べられているので，
ｎ番目の左下すみの自然数は
＂ｎー１番目の右上すみの自然数に１加えた自然数”
になります。
ｎ番目の右上すみの自然数は（ｎ＋１）2 で表すことができるので，
ｎー１番目の右上すみの自然数は，
｛（ｎー１）＋１｝2 ＝ｎ2
となります。
よって，ｎー１番目の右上すみの自然数に１加えた自然数は，
ｎ2 ＋１ ・・・ （２）
と表すことができます。
ｎ番目の右上すみと左下すみの自然数の和を文字式で表す
（１）（２）より，ｎ番目の右上すみの自然数と左下すみの自然数の和は，
（ｎ＋１）2＋ｎ2 ＋１＝ｎ2 ＋２ｎ＋１＋ｎ2 ＋１
＝２ｎ2 ＋２ｎ＋２
＝２（ｎ2 ＋ｎ＋１）
と表すことができますので，１４６になるのは，
２ (ｎ2＋ｎ＋１) ＝１４６
ｎ2＋ｎ＋１＝７３
ｎ2＋ｎ－７２＝０
(ｎ－８)(ｎ＋９)＝０
ｎ＝８，－９
ｎ＞０なので，ｎ＝８
以上より、右上すみの自然数と左下すみの自然数の和が１４６になるのは
８番目であるとわかります。
