問題
１．\(a=2+\sqrt{2}\)，\(b=2-\sqrt{2}\) のとき，\(a^2-b^2\) の値を求めなさい。
２．\(a=\sqrt{5}-1\) のとき，\(a^2+2a-4\) の値を求めなさい。
３．\(x=2\sqrt{3}\)，\(y=3\sqrt{2}\) のとき，\((x+y)^2-2xy\) の値を求めなさい。
４．\(4a-5b=6\) のとき，\(\dfrac{5a-4b}{3}-\dfrac{2a-b}{2}\) の値を求めなさい。
解説
\(a=2+\sqrt{2}\)，\(b=2-\sqrt{2}\) のとき，\(a^2-b^2\) の値は？
\(a+b\) と \(a－b\) を求める
\(a\) と \(b\) が “ ＋ ” と “ － ” が違うだけであることに注目します。
\(a=2+\sqrt{2}\)，\(b=2-\sqrt{2}\)より，
\(a＋b＝(2+\sqrt{2})+(2－\sqrt{2})＝4\)
\(a－b＝(2+\sqrt{2})－(2－\sqrt{2})＝2\sqrt{2}\)
となります。
値の類似性は大きな特徴の一つです。
・先に和や差，積を求めてみる
・因数分解できるか確認する
・式の一部を文字で置き替える
など，ひと工夫することで簡単に計算できる場合があります。
\(a^2-b^2\) を因数分解する
\(a^2-b^2\) は式の展開の公式 \((a+b)(a－b)=a^2-b^2\) により因数分解できます。
\((a+b)\)\((a－b)\) に \(a+b=4\)，\(a－b=2\sqrt{2}\) を代入すると，
\(a^2－b^2\,＝\,(a＋b)(a－b)\)
\(＝4\;✕\;2\sqrt{2}\)
\(＝8\sqrt{2}\)
となります。
\(\sqrt{5}-1\) のとき，\(a^2+2a-4\) の値は？
普通に\(a=\sqrt{5}-1\) を \(a^2+2a-4\) に代入しても解けますが，
より簡単に解ける“平方完成”という方法で解いてみましょう。
\(a=\sqrt{5}-1\) を計算しやすい形に変形する
まず，
\(a=\sqrt{5}-1\) の “\(-1\)” がなかったら計算しやすいのに･･･
と感じることが大事なポイントです。
\(a=\sqrt{5}-1\) は “－1”を左辺に移行すると，
\(a+1=\sqrt{5}\) ・・・ （1）
となり，２乗の計算でも簡単にできる形になります。
\(a^2+2a-4\) を \(a+1\) を使った形に変形する
ここで，値を求める式 \(a^2+2a-4\) に注目します。
\(a^2+2a-4\) を \(a^2+2a+(-4)\) と考えると，
乗法公式
\((a+b)^2=a^2+2ab＋b^2\)
とほぼ同じ形になっています。
さらに，\(b=1\) の場合を考えると，
\((a+1)^2=a^2+2a＋1\)
と，定数部分を除いた \(a^2+2a\) までが同じになります。
この式を利用して，右辺を\(a^2+2a-4\) にするためには，
\((a+1)^2=a^2+2a＋1\)
両辺から1をひく
\((a+1)^2-1=a^2+2a＋1-1\)
\(\:\:=a^2+2a\)
さらに両辺から4をひく
\((a+1)^2-1-4=a^2+2a-4\)
\((a+1)^2-5=a^2+2a-4\)
と変形することで
\(a^2+2a-4=(a+1)^2-5\) ・・・ （2）
と表すことができました。
\(a+1=\sqrt{5}\)を代入して値を求める
以上より，（2）に（1）を代入すると、
\(a^2+2a-4=(a+1)^2-5\)
\(\;=\sqrt{5} ^2-5\)
\(\;=0\)
となります。
\(x=2\sqrt{3}\)，\(y=3\sqrt{2}\) のとき，\((x+y)^2-2xy\) の値は？
この問題も，普通に\(x=2\sqrt{3}\)，\(y=3\sqrt{2}\) を \((x+y)^2-2xy\) に代入しても解けますが，
より簡単な方法で解いてみましょう。
\((x+y)^2-2xy\)を展開する
この問題では，\(x+y\)の形のまま計算すると，\sqrt{3} や \sqrt{2} が残ってしまいますが、
\(x^2\)，\(y^2\) を使って計算すると，自然数になるので，簡単に計算できます。
\((x+y)^2-2xy\)を展開すると，
\((x+y)^2-2xy=(x^2+2xy+y^2)-2xy\)
\(=x^2+y^2\)
\(x=2\sqrt{3}\)，\(y=3\sqrt{2}\) を代入する
\((x+y)^2-2xy=x^2+y^2\)
\(=x^2+y^2\)
\(=(2\sqrt{3})^2+(3\sqrt{2})^2\)
\(=12+18\)
\(=30\)
\(4a-5b=6\) のとき，\(\displaystyle \frac{5a-4b}{3}-\frac{2a-b}{2}\) の値は？
\(\cfrac{5a-4b}{3}－\cfrac{2a-b}{2}=\cfrac{5a-4b}{6}\;✕\;2－\cfrac{2a-b}{6}\;✕\;3\)
\(=\cfrac{(5a-4b)\;✕\;2-(2a-b)\;✕\;3}{6}\)
\(=\cfrac{(10a-8b)－(6a-3b)}{6}\)
\(=\cfrac{10a-8b－6a+3b}{6}\)
\(=\cfrac{4a-5b}{6}\)
\(=\cfrac{6}{6}\)
\(=1\)
