問題
下の 表 のように，連続する自然数を１から順番に，次の 規則 にしたがって並べていく。
表
規則
- １段目には，自然数１，２，３，４を \( A \) 列 → \( B \) 列 → \( C \) 列 → \( D \) 列の順に並べる。
- ２段目以降は，１つ前の段に並べた自然数に続く，連続する４つの自然数を次の順に並べる。
１つ前の段で最後に並べた自然数が
- \( D \) 列にあるときは， \( D \) 列 → \( A \) 列 → \( B \) 列 → \( C \) 列の順
- \( C \) 列にあるときは， \( C \) 列 → \( D \) 列 → \( A \) 列 → \( B \) 列の順
- \( B \) 列にあるときは， \( B \) 列 → \( C \) 列 → \( D \) 列 → \( A \) 列の順
- \( A \) 列にあるときは， \( A \) 列 → \( B \) 列 → \( C \) 列 → \( D \) 列の順
このとき，次の（１）～（３）の問いに答えなさい。
（１） 下の説明は，格段に並べた数について述べたものである。 （ア） ， （イ） にあてはまる式を書きなさい。
各段の最大の数は４の倍数となっていることから，ｎ段目の最大の数はｎを用いて （ア） と表される。
したがって，ｎ段目の最小の数はｎを用いて （イ） と表される。
（２） ｍ段目の最小の数と，ｎ段目の２番目に大きい数の和が４の倍数となることを
（ｍ，ｎ）を用いて説明しなさい。
（３） （ｍ，ｎ）を２０未満の自然数とする。ｍ段目の最小の数と，ｎ段目の２番目に大きい数が
ともに \( B \) 列にあるとき，この２数の和が１２の倍数となる（ｍ，ｎ）の組み合わせは
何個あるか求めなさい。
解説
小問１
各段の最大の数は４の倍数となっていることから，ｎ段目の最大の数はｎを用いて ４ｎと表される。
したがって，ｎ段目の最小の数は，ｎを用いて ４ｎ－３と表される。
ｎ段目の最大の数を文字式で表す
規則より，各段には自然数を１から順番に
１段目：１ ，２ ，３ ，４
２段目：５ ，６ ，７ ，８
３段目：９ ，１０ ，１１ ，１２
と４つずつ並べるので，各段の最大の数は４の倍数になります。
４✕１ ，４✕２ ，４✕３ ・・・
と表すことができる数のことです。
＂ｎ段目の最大の数はｎを用いて ４ｎ と表される。”
ｎ段目のすべての数を文字式で表す
また，各段の数字は連続しているので，
各段の最大の数４ｎを基準に考えると，
大きい方から順に
４ｎ ，４ｎ－１ ，４ｎ－２ ，４ｎ－３
と表すことができます。
最も小さい数Ｍを基準にした場合
Ｍ ，Ｍ＋１ ，Ｍ＋２ ，Ｍ＋３ ・・・
最も大きい数Ｎを基準にした場合
Ｎ ，Ｎ－１ ，Ｎ－２ ，Ｎ－３ ・・・
小問２
ｍ段目に並ぶ数は，小さい方から順番に
４ｍ－３ ，４ｍ－２ ，４ｍ－１ ，４ｍ
なので，ｍ段目の最小の数は，４ｍ－３です。
また，ｎ段目に並ぶ数は，小さい方から順番に
４ｎ－３ ，４ｎ－２ ，４ｎ－１ ，４ｎ
なので，ｎ段目の２番目に大きい数は，４ｎ－１と表すことができます。
ｍ段目の最小の数と，ｎ段目の２番目に大きい数の和は，
＝４ｍ＋４ｎ－３－１
＝４ｍ＋４ｎ－４
＝４（ｍ＋ｎ－１）
４ ✕ 整数Ｎの形を導く必要がありますので，
文字式を４でくくります。
（ｍ，ｎ）は自然数なので，ｍ＋ｎ－１も自然数です。
よって，ｍ段目の最小の数と，ｎ段目の２番目に大きい数の和は，４の倍数となります。
０段目，１．１段目や \(\cfrac{1}{2}\) 段目がありませんので，（ｍ，ｎ）はどちらも自然数であると言えます。
ここで，ｍ＋ｎ－１が最小になるのは，
ｍ＝１，ｎ＝１の場合です。 ｍ＋ｎ－１＝１＋１－１
＝１
となるので，ｍ＋ｎ－１も自然数であるといえます。
小問３
前提条件
（ｍ，ｎ）は２０未満の自然数なので，
１～１９段目の範囲に限定されます。
＂以下”と＂未満”の違い
＂２０以下”は２０を含みますが，
＂２０未満”は２０を含みません。
１～１９段目で最小の数が\( B \) 列にあるのは何段目？
最小の数が並ぶ列は１段目から順番に
\( A \) 列 → \( D \) 列 → \( C \) 列 → \( B \) 列 → \( A \) 列 → ・・・
の順に繰り返されます。
よって，１９段目までで最小の数が \( B \) 列に並ぶのは，
４段目 ，８段目 ，１２段目 ，１６段目 になるので，
ｍの値は，
ｍ＝４ ，ｍ＝８ ，ｍ＝１２ ，ｍ＝１６ ・・・ （ア）
のどれかになります。
１～１９段目で２番目に大きい数が\( B \) 列にあるのは何段目？
２番目に大きい数が並ぶ列は１段目から順番に
\( C \) 列 → \( B \) 列 → \( A \) 列 → \( D \) 列 → \( C \) 列 → ・・・
の順に繰り返されます。
よって，１９段目までで最小の数が\( B \) 列に並ぶのは，
２段目 ，６段目 ，１０段目 ，１４段目，１８段目 になるので，
ｍの値は，
ｎ＝２ ，ｎ＝６ ，ｎ＝１０ ，ｎ＝１４ ，ｎ＝１８ ・・・ （イ）
のどれかになります。
１２の倍数を文字式で表す
まず，１２の倍数がどのように表すことができるかを考えます。
１２の倍数とは，整数Ｎを使って，１２✕Ｎで表すことができる数のことです。
また、１２は，４✕３でもあるので，
１２✕ｎ＝４✕３✕Ｎ
＝４✕３Ｎ
と表すこともできます。
１２の倍数になるときのｍとｎの関係は？
前問（２）より，ｍ段目の最小の数と，ｎ段目の２番目に大きい数の和は，
４（ｍ＋ｎ－１）と表されることがわかっています。
これと、１２の倍数が４✕３Ｎと表されることから，
４（ｍ＋ｎ－１）＝４✕３Ｎ
ｍ＋ｎ－１＝３Ｎ
ｍ＋ｎ＝３Ｎ＋１
となるので，
ｍ段目の最小の数と，ｎ段目の２番目に大きい数の和が，
１２の倍数になるのは、ｍ＋ｎが３の倍数より１大きい数になるときです。
１２の倍数になるときのｍとｎの組み合わせは？
（ア）（イ）より，
ｍ＝４ ，ｍ＝８ ，ｍ＝１２ ，ｍ＝１６
ｎ＝２ ，ｎ＝６，ｎ＝１０ ，ｎ＝１４ ，ｎ＝１８
なので、
ｍ＋ｎ＝４＋２＝6 ・・・ ３✕２
ｍ＋ｎ＝４＋６＝１０ ・・・ ３✕３＋１
ｍ＋ｎ＝４＋１０＝１４ ・・・ ３✕４＋２
ｍ＋ｎ＝４＋１４＝１８ ・・・ ３✕６
ｍ＋ｎ＝４＋１８＝２２ ・・・ ３✕７＋１
ｍ＋ｎ＝８＋２＝１０ ・・・ ３✕３＋１
ｍ＋ｎ＝８＋６＝１４ ・・・ ３✕３＋２
ｍ＋ｎ＝８＋１０＝１８ ・・・ ３✕６
ｍ＋ｎ＝８＋１４＝２２ ・・・ ３✕７＋１
ｍ＋ｎ＝８＋１８＝２６ ・・・ ３✕８＋２
ｍ＋ｎ＝１２＋２＝１４ ・・・ ３✕４＋２
ｍ＋ｎ＝１２＋６＝１８ ・・・ ３✕６
ｍ＋ｎ＝１２＋１０＝２２ ・・・ ３✕７＋１
ｍ＋ｎ＝１２＋１４＝２６ ・・・ ３✕８＋２
ｍ＋ｎ＝１２＋１８＝３０ ・・・ ３✕１０
ｍ＋ｎ＝１６＋２＝１８ ・・・ ３✕６
ｍ＋ｎ＝１６＋６＝２２ ・・・ ３✕７＋１
ｍ＋ｎ＝１６＋１０＝２６ ・・・ ３✕８＋２
ｍ＋ｎ＝１６＋１４＝３０ ・・・ ３✕１０
ｍ＋ｎ＝１６＋１８＝３４ ・・・ ３✕１１＋１
となるので，
（ｍ，ｎ）＝（４，６），（４，１８），（８，２），（８，１４） ，（１２，１０），
（１６，６），（１６，１８）
の ７個になります。
