問題
１．同じお菓子をつくる２種類の機械ＡとＢがある。Aを３台，Ｂを４台使うと，１時間に６８個のお菓子を
作ることができる。また，Aを２台，Ｂを５台使うと，１時間に６４個のお菓子を作ることができる。
AとBを１台ずつ使うとき，１時間に何個のお菓子をつくることができるか求めなさい。
２．Ａさんは今１５歳で祖父と父がいる。今から１年前，Aさんと父の年齢の和は祖父の年齢より
１０歳小さかった。また，今から５年後には，祖父の年齢は父の年齢の１．５倍になる。
このとき，現在の祖父の年齢と父の年齢を求めなさい。
３．赤玉と青玉が入っている箱がある。そこから赤玉１個と青玉２個のセットを作れるだけ作ったところ，
赤玉だけが１０個残った。次に，すべて箱に戻し，赤玉２個と青玉３個のセットを作れるだけ作ったことろ，
赤玉が４個，青玉が１個残った。このとき，赤玉１個と青玉２個のセットと赤玉２個と青玉３個のセットが
それぞれ何セットできたか求めなさい。
解説
小問１
１時間でＡの機械１台で作ることができるお菓子の数を \(x\) 個，
Ｂの機械１台で作ることができるお菓子の数を \(y\) 円とします。
Ａを３台，Ｂを４台で作ることができるお菓子の数を \(x\)， \(y\) を使って表す
”Ａを３台，Ｂを４台使うと，１時間に６８個のお菓子を作ることができる”のだから，
\(3x+4y=68\) ・・・ （1）
Ａを２台，Ｂを５台で作ることができるお菓子の数を \(x\)， \(y\) を使って表す
”Ａを２台，Ｂを５台使うと，１時間に６４個のお菓子を作ることができる”のだから，
\(2x+5y=64\) ・・・ （2）
連立方程式を解く
（1）（2）を連立方程式にすると，
\(
\left\{
\begin{array}{}
3x+4y=68 ・・・ （1）\\
2x+5y=64 ・・・ （2）\\
\end{array}
\right.
\)
これを解くと，\(x=12\)，\(y=8\)となるので，
ＡとＢを１台ずつ使うとき，１時間で作ることが
できるお菓子の数は，
\(x+y=12+8\)
\(=20\)
\(6x+8y=136\) ・・・ （3）
（2）を３倍すると，
\(6x+15y=192\) ・・・ （4）
（4）－（3）すると，
\(7y=56\)
\(y=8\) ・・・ （5）
（5）を（2）に代入すると，
\(2x+5✕8=64\)
\(\;2x=24\)
\(x=12\)
以上より，ＡとＢを１台ずつ使うとき，１時間で作ることができるお菓子の数は，
２０個になります。
小問２
まず、問題文で与えられている３人の年齢の関係性を数式の形にして表します。
今から１年前，Aさんと父の年齢の和は祖父の年齢より１０歳小さかった。 １年前のAさんの年齢 ＋ １年前の父の年齢 ＝ １年前の祖父の年齢 － １０ ・・・（1）
今から５年後には，祖父の年齢は父の年齢の１．５倍になる。 ５年後の祖父の年齢 ＝ ５年後の父の年齢 ✕ １．５ ・・・（2）
１年前の３人の年齢の関係を \(x\)，\(y\) を使って表す
現在の父の年齢を \(x\) 歳，現在の祖父の年齢を \(y\) 歳とすると，
１年前のAさんの年齢：１４歳 ，１年前の父の年齢：\(x－1\) ，１年前の祖父の年齢：\(y－1\) なので，
（1）より，
１年前のAさんの年齢 ＋ １年前の父の年齢 ＝ １年前の祖父の年齢 － １０
\(14 + (x－1) = (y－1) －10\)
\((x－1) － (y－1) = －24\)
\(x－y = －24\) ・・・ （3）
５年後の父と祖父の年齢の関係を \(x\)，\(y\) を使って表す
また，５年後の父の年齢：\(x+5\) ，５年後の祖父の年齢：\(y+5\) なので，
（2）より，
５年後の祖父の年齢 ＝ ５年後の父の年齢 ✕ １．５
\(y+5 = (x+5) ✕ 1.5\)
\(y+5 = 1.5x+7.5 \)
\(-1.5x+y = 2.5\) ・・・ （4）
連立方程式を解く
\(\left\{
\begin{array}{}
x－y = －24 ・・・ （3）\\
-1.5x+y = 2.5 ・・・ （4）\\
\end{array}
\right.
\)
これを解くと，\(x=43，y＝67\) となるので，
現在の父の年齢は４３歳
現在の祖父の年齢は６７歳
となります。
（3）＋（4）すると，
\(-0.5x=－21.5\)
\(x=43\) ・・・ （5）
（5）を（1）に代入すると，
\(43-y＝-24\)
\(y＝67\)
小問３
赤玉１個と青玉２個のセットを \(x\) セット，赤玉２個と青玉３個のセットを \(y\) セット
作ることができたとします。
赤玉の個数を \(x\) ， \(y\) を使って表す。
赤玉１個と青玉２個のセットを \(x\) セット作ったときの赤玉の個数を文字式で表すと，
赤玉１（個）✕ \(x\) （セット）＝ \(x\)（個）
余りの赤玉 ＝ １０（個）
なので，赤玉の総数は \(x\) ＋ １０（個）であるとわかります。
次に，赤玉２個と青玉３個のセットを \(y\) セット作ったときの赤玉の個数を文字式で表すと，
赤玉２（個）✕ \(y\) （セット）＝ ２\(y\)（個）
余りの赤玉 ＝ ４（個）
なので，赤玉の総数は ２\(y\) ＋ ４（個）であるとわかります。
このとき、赤玉の総数は同じなので，
\(x\) ＋ １０＝ ２\(y\) ＋ ４ ・・・ （1）
青玉の個数を \(x\) ， \(y\) を使って表す。
赤玉１個と青玉２個のセットを \(x\) セット作ったときの青玉の個数を文字式で表すと，
青玉２（個）✕ \(x\) （セット）＝ ２\(x\)（個）
残った青玉 ＝ ０（個）
なので，青玉の総数は ２\(x\)（個）であるとわかります。
次に，赤玉２個と青玉３個のセットを \(y\) セット作ったときの青玉の個数を文字式で表すと，
青玉３（個）✕ \(y\) （セット）＝ ３\(y\)（個）
残った青玉 ＝ １（個）
なので，青玉の総数は ３\(y\) ＋ １（個）であるとわかります。
このとき、青玉の総数は同じなので，
２\(x\)＝ ３\(y\) ＋ １ ・・・ （2）
連立方程式を解く
\(
\left\{
\begin{array}{}
x + 10＝ ２y + 4 ・・・ （1）\\
2x ＝ 3y + 1 ・・・ （2）\\
\end{array}
\right.
\)
これを解くと，\(x=20，y＝13\) となるので，
赤玉１個と青玉２個のセットが２０セット
赤玉２個と青玉３個のセットが１３セット
作られたとわかります。
（1）を２倍すると，
\(2x+20=4y+8\) ・・・ （3）
（3）－（2）すると，
\(20=y+7\)
\(y=13\) ・・・（4）
（4）を（1）に代入すると，
\(x+10=2✕13+4\)
\(x=20\)
