連続する〇つの整数・自然数の和や余りを求める問題

問題
解説

問題

１．連続する３つの自然数をそれぞれ２乗して足すと３６５であった。
　　もとの３つの自然数のうち，最も小さい数を求めなさい。

２．連続する３つの偶数の和が１６２であるとき，最も小さい偶数を求めなさい。

３．連続する３つの奇数の和が２３１であるとき，最も小さい奇数を求めなさい。

４．連続する３つの奇数がある。最も大きい数の９倍は，他の２数の積より８だけ小さい。
　　このとき，２番目に大きい奇数を求めなさい。

５．連続する３つの自然数のうち，最も小さい数を７で割った余りが３であるとき，
　　３つの自然数の和を７で割った余りを求めなさい。

解説

３つの自然数の２乗の和が３６５になる場合

３つの自然数をそれぞれ \( n，n+1，n+2 \) とすると，それぞれの２乗の和は，

\begin{align*}
(n)^2＋(n+1)^2＋(n+2)^2 &＝ 365 \\
n^2＋(n^2+2n+1)+(n^2+4n+4) &＝ 365 \\
3n^2+6n+5 &＝ 365 \\
3n^2+6n-360 &＝ 0 \\
n^2+2n-120 &＝ 0 \\
(n-10)(n+12) &＝ 0 \\
n &＝ 10,-12 \\
\end{align*}

仮定より \( n \) は自然数なので，\( n ＝ 10,-12 \) のうち，適するのは \( n ＝ 10 \)

よって、求める自然数は \( n ＝ 10 \)

連続する３つの偶数の和が１６２である場合

偶数とは，２で割り切れる整数なので，整数 \( n \) を使って \( 2n \) と表すことができます。

最も小さい偶数を \( 2n \) とすると，連続する３つの偶数は，

\( 2n，2n+2，2x+4 \)

と表すことができるので，３つの偶数の和が１６２になるということは，

\begin{align*}
2n+(2n+2)+(2n+4) &= 162 \\
6n &= 156 \\
n &= 26 \\
\end{align*}

最も小さい偶数は \( 2n \) なので， \( 2n = 2 \times 26 = 52 \)

連続する３つの奇数の和が２３１である場合

奇数とは，２で割り切れない整数なので，整数 \( n \) を使って \( 2n＋1 \) と表すことができます。

最も小さい奇数を \( 2n+1 \) とすると，連続する３つの奇数は，

\( 2n+1，2n+3，2n+5 \)

と表すことができるので，３つの偶数の和が２３１になるということは，

\begin{align*}
(2n+1)+(2n+3)+{2n+5} &= 231 \\
6n &= 222 \\
n &= 37 \\
\end{align*}

最も小さい偶数は \( 2n+1 \) なので， \( 2n+1 = 2 \times 37 +1 = 75 \)

最も大きい数の 9 倍は，他の２数の積より８だけ小さい

奇数とは，２で割り切れない整数なので，整数 \( n \) を使って \( 2n＋1 \) と表すことができます。

２番目に大きい奇数を \( 2n＋1 \) とすると，一番小さい奇数は \( 2n-1 \)，一番大きい奇数は \( 2n＋3 \) と表すことができます。

このとき，最も大きい数の9倍は \( 9(2n＋3) \)，他の２数の積より８小さい数は \( (2n-1)(2n＋1)-8 \) となるので，

\begin{align*}
9(2n＋3) &= (2n-1)(2n＋1)-8 \\
18n+27 &= 4n^2-1-8 \\
4n^2-18n-36 &= 0 \\
2n^2-9n-18 &= 0 \\
(2n+3)(n-6) &= 0 \\
n &= -\dfrac{3}{2},6 \\
\end{align*}

\( n \) は整数なので，\( n = -\dfrac{3}{2},6 \) のうち，適するのは\( n = 6 \)。
よって，２番目に大きい奇数は \( 2n＋1 = 2\times6+1=13 \)