大問１
(1) 次の計算をしなさい。
➀ \( (-21) \div 7 \)
➁ \( -\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6} \)
➂ \( (-3a) \times (-2b)^3 \)
➃ \( \sqrt{8}-\sqrt{18} \)
(2) ある球の半径を２倍にすると，体積はもとの球の体積の何倍になるか，求めなさい。
大問２
(1) 桃の果汁が \( 31 \; \% \) の割合で含まれている飲み物がある。この飲み物 \( a \; mL \) に含まれている桃の果汁の量は何 \( mL \) か，\( a \) を使った式で表しなさい。
(2) 等式 \( 3x+2y-4=0 \) を \( y \) について解きなさい。
(3) 右の図のような，\( △ABC \) がある。
辺 \( AC \) 上にあって，辺 \( AB，BC \) までの距離が等しい点 \( P \) を，定規とコンパスを用いて作図によって求め，\( P \) の位置を示す文字 \( P \) も書きなさい。
ただし， 作図に用いた線は消さずに残しておきなさい。
手順１ 点 \( P \) を中心に円弧を描く。
（線分 \( AB，BC \) との交点を点 \( D，E \) とします。）
手順２ 点 \( D，E \) を中心に円弧を描く。
（交点を点 \( F \) とします。）
手順３ ２点 \( B，F \) を通る直線を描く。
手順３の直線と線分 \( AC \) の交点が，求める点 \( P \) になります。
「点 \( P \) から線分までの距離」というのは，点 \( P \) から線分に垂線をひいたときの垂線の長さになります。
（右の図で線分 \( PQ \) の長さ）
また，右の図のように点 \( P \) と二直線までの距離が等しいとき，
斜辺と他の１辺の長さが等しいので，\( △BPQ≡△BPR \) です。
合同な三角形の対応する角は等しいので，\( ∠PBQ=∠PBR \)
ここから，線分 \( BP \) は \( ∠B \) の二等分線になります。
(4) 関数 \( y=x^2 \) について，\( x \) の値が \( 1 \) から \( 4 \) まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
変化の割合は \( \dfrac{y \; の増加量}{x \; の増加量} \;\;\;\; \) で求めることができます。
\( x=1 \) のとき，\( y \) の値は \( y=1^2=1 \)
\( x=4 \) のとき，\( y \) の値は \( y=4^2=16 \)
よって，
変化の割合 \( =\dfrac{16-1}{4-1}=5 \)
(5) 図１は，ある学級の生徒３０人について，先月の図書館の利用回数を調べ，その分布のようすをヒストグラムに表したものである。例えば，利用回数が２回以上４回未満の生徒は３人であることがわかる。また，図２のア～エのいずれかは，この利用回数の分布のようすを箱ひげ図に表したものである。その箱ひげ図をア～エの中から１つ選び，記号で答えなさい。
学級の生徒３０人が３０人なので，
第一四分位数は少ない方から８番目の人の値，
中央値は１５番目と１６番目の人の値の平均値，
第三四分位数は多い方から８番目の人の値です。
図１のヒストグラムから
第一四分位数が含まれる階級は６回以上８回未満，
中央値が含まれる階級は８回以上１０回未満，
第三四分位数が含まれる階級は１２回以上１４回未満
なので，
これらをすべて満たしている箱ひげ図は エ です。
大問３
(1) 右の図のように，袋の中に \( 1，2，3 \) の数字が１つずつ書かれた３個の玉が入っている。Ａ，Ｂの２人が，この袋の中から，<取り出し方のルール> の (ア) ，(イ) のいずれかにしたがって，１個ずつ玉を取り出し，書かれた数が大きいほうの玉を取り出した人が景品をもらえるゲームを考える。書かれた数が等しい場合には２人とも景品はもらえない。ただし，どの玉を取り出すことも同様に確からしいものとする。
<取り出し方のルール>
(ア) はじめにＡが玉を取り出す。次に，その取り出した玉を袋の中にもどし，よくかき混ぜてからＢが玉を取り出す。
(イ) はじめにＡが玉を取り出す。次に，その取り出した玉を袋の中にもどさず，続けてＢが玉を取り出す。
➀ ルール (ア) にしたがったとき，Ａが景品をもらえる確率を求めなさい。
Ａが景品がもらえる組み合わせは３通り，すべての組み合わせは９通りなので，
確率は，\( \dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3} \)
➁ Ａが景品をもらえない確率が大きいのは，ルール (ア)，(イ) のどちらのルールにしたがったときか。ア，イの記号で答え，その確率も書きなさい。
➀ より，Ａが景品をもらえる確率は \( \dfrac{1}{3} \) なので，もらえない確率は，\( 1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3} \)
【ルール (イ) の場合】
➀ の場合と同様に樹形図に表すと，
Ａが景品がもらえない組み合わせは３通り，すべての組み合わせは６通りなので，
確率は，\( \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2} \)
以上より，Ａが景品をもらえない確率が大きいのは，ルール (ア) の場合になります。
(2) 図１のように，整数を \( 1 \) から順に１段に７つずつ並べたものを考え，縦，横に２つずつ並んでいる４つの整数を四角形で囲む。ただし，◦は整数を省略したものであり，囲んだ位置は例である。
このとき，囲んだ４つの整数を
とすると， \( ad-bc \) はつねに同じ値になる。
➀ \( ad-bc \) の値を求めなさい。
➁ 図２のように，１段に並べる整数の個数を \( n \) に変えたものを考える。ただし，\( n \) は \( 2 \) 以上の整数とする。
このとき，\( ad-bc \) はつねに \( n \) を使って表された同じ式になる。その式を解答用紙の( )の中に書きなさい。また，それがつねに成り立つ理由を説明しなさい。
大問４
ある中学校で地域の清掃活動を行うために，生徒２００人が４人１組または５人１組のグループに分かれた。ごみ袋を配るとき，１人１枚ずつに加え，グループごとの予備として４人のグループには２枚ずつ，５人のグループには３枚ずつ配ったところ，配ったごみ袋は全部で３１４枚であった。
このとき，４人のグループの数と５人のグループの数をそれぞれ求めなさい。求める過程も書きなさい。
大問５
下の図のように，線分 \( AB \) を直径とする円 \( O \) の周上に，直線 \( AB \) に対して反対側にある２点 \( C，D \) を \( AC//DO \) となるようにとる。また，線分 \( AB \) と線分 \( CD \) との交点を \( E \) とする。
このとき，次の (1)，(2) の問いに答えなさい。
(1) \( △EDO \) ∽ \( △EBD \) となることを証明しなさい。
\( △EDO \) と \( △EBD \) において，
\( AC//DO \) より，錯角が等しいので，\( ∠ACD=∠EDO \) ･･･ ➀
弧 \( AD \) の円周角なので，\( ∠ACD=∠EBD \) ･･･ ➁
➀➁より，\( ∠EDO=∠EBD \) ･･･ ➂
\( ∠E \) は共通 ･･･ ➃
➂➃より，２組の角がそれぞれ等しいので，\( △EDO \) ∽ \( △EBD \)
(2) \( AC：DO=7：9 \) であるとき，\( △EDO \) と \( △EBD \) の相似比を求めなさい。
\( △ACE \) と \( △EDO \) において，
\( AC//DO \) より，錯角が等しいので，
\( ∠ACE=∠ODE \) ･･･ ➀
\( ∠CAE=∠DOE \) ･･･ ➁
➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ACE \) ∽ \( △EDO \)
\( AC：DO=7：9 \) より，相似比は \( 7：9 \)
よって，\( EA：EO=7：9 \)
\( BO，OA \) は円 \( O \) の半径なので，\( BO=OA=EA+EO \) より，
\( EO：BO=EO：EA+EO=9：(7+9)=9：16 \)
ここから，
\( EO：EB=EO：EO+BO=9：(16+9)=9：25 \)
\( △EDO \) の底辺を線分 \( EO \)，\( △EBD \) の底辺を線分 \( EB \) とすると，
高さが共通になっているので，底辺の長さの比が面積比になります。
ここから，\( △EDO \) と \( △EBD \) の面積比は，
\( △EDO：△EBD=EO：EB=9：25=3^2：5^2 \)
相似な三角形の面積比は相似比の２乗の比と等しいので，
\( △EDO \) と \( △EBD \) の相似比は，\( 3：5 \)
大問６
図１のように，反比例 \( y=\dfrac{a}{x} \;\; (x>0) \) のグラフ上に２点 \( A，B \) があり，\( A \) の \( y \) 座標は \( 6 \)，\( B \) の \( x \) 座標は \( 2 \) である。また，比例 \( y=ax \) のグラフ上に点 \( C \)，\( x \) 軸上に点 \( D \) があり，\( A \) と \( D \) の \( x \) 座標，\( B \) と \( C \) の \( x \) 座標はそれぞれ等しい。ただし，\( 0<a<12 \) とする。
次の[会話]は，花子さんと太郎さんが四角形 \( ADBC \) について考察し，話し合った内容である。
[会話]
花子さん：\( a \) の値を１つとると，２つのグラフが定まり，４つの辺と面積も定まるね。
点 \( A \) の座標は，反比例の関係 \( xy=a \) から求めることができそうだよ。
太郎さん：例えば，\( a=1 \) のときの四角形について調べてみようか。
・・・・・
太郎さん：形を見ると，いつでも台形だね。平行四辺形になるときはあるのかな?
花子さん：私は，面積についても調べてみたよ。そうしたら，\( \underline{a=1} \) のときと面積が等しくなる四角形が
他にもう１つあることがわかったよ。
このとき，次の (1)～(3) の問いに答えなさい。
(1) 図２は，図１において，\( a=1 \) とした場合を表している。このとき，線分 \( BC \) の長さを求めなさい。
(2) 四角形 \( ADBC \) が平行四辺形になるときの \( a \) の値を求めなさい。
平行四辺形の条件の１つ「向かい合う１組の辺が平行で長さが等しい」から，
\( AD=BC \) であるとき，つまり，\( BC=6 \) であるとき，四角形 \( ADBC \) が平行四辺形になります。
点 \( B \) は \( y=\dfrac{a}{x} \) 上の点なので，\( y \) 座標は，\( y=\dfrac{a}{2} \)
点 \( C \) は \( y=ax \) 上の点なので，\( y \) 座標は，\( y=2a \)
と表すことができます。
よって，\( BC=6 \) であるとき，
\( 2a-\dfrac{a}{2}=6 \)
\( \dfrac{3}{2}a=6 \)
\( 3a=12 \)
\( a=4 \)
(3) [会話]の下線部について，四角形 \( ADBC \) の面積が \( a=1 \) のときの面積と等しくなるような \( a \) の値を，\( a=1 \) の他に求めなさい。
点 \( A \) の \( y \) 座標は \( 6 \) なので，
反比例の関係 \( xy=a \) より，
\( x \times 6=1 \)
\( x=\dfrac{1}{6} \)
ここから，四角形 \( ADBC \) の高さは，
\( 2-\dfrac{1}{6}=\dfrac{11}{6} \) になります。
よって，\( BC=\dfrac{3}{2}，AD=6 \)，高さ \( =\dfrac{11}{6} \) より，
四角形 \( ADBC=\left( \dfrac{3}{2}+6 \right) \times \dfrac{11}{6} \times \dfrac{1}{2} \)
\( =\dfrac{55}{8} \)
次に，\( a=1 \) 以外のときの四角形 \( ADBC \) の面積を \( a \) を使って表します。
点 \( A \) の \( y \) 座標は \( 6 \) なので，
反比例の関係 \( xy=a \) より，
\( x \times 6=a \)
\( x=\dfrac{a}{6} \)
ここから，四角形 \( ADBC \) の高さは，\( 2-\dfrac{a}{6} \) と表せます。
また，(2) より，\( BC \) の長さは，\( 2a-\dfrac{a}{2}=\dfrac{3}{2}a \) と表せるので，
四角形 \( ADBC=\left( \dfrac{3}{2}a+6 \right) \times \left( 2-\dfrac{a}{6} \right) \times \dfrac{1}{2} \)
\( =\dfrac{(3a+12)(12-a)}{24} \)
\( =\dfrac{(a+4)(12-a)}{8} \)
四角形 \( ADBC \) の面積が等しくなるとき，
\( \dfrac{(a+4)(12-a)}{8}=\dfrac{55}{8} \)
\( (a+4)(12-a)=55 \)
\( -a^2+8a+48=55 \)
\( a^2-8a+7=0 \)
\( (a-1)(a-7)=0 \)
\( a=1，7 \)
\( a=1 \) の他を求めるので，あてはまるのは，\( a=7 \)
大問７
下の図のように，底面が１辺 \( 2 \; cm \) の正方形で，高さが \( \sqrt{15} \; cm \) の正四角柱と，正方形 \( EFGH \) のすべての辺に接する円 \( O \) を底面とする円錐があり，それらの高さは等しい。また，線分 \( EF \) と円 \( O \) との接点 \( I \) から円錐の側面にそって１周して \( I \) にもどるひもが，最も短くなるようにかけられている。ただし，円錐において，頂点と点 \( O \) を結ぶ線分は底面に垂直である。
このとき，次の (1)～(3) の問いに答えなさい。
(1) 円錐の母線の長さを求めなさい。
この正四角柱と円錐を面 \( BFGC \) が正面になるように見ると，右の図のようになります。
円錐の頂点と正四角柱の接点を \( Q \) とすると，線分 \( QF(QI) \) が母線になります。
\( △OQF \) において，三平方の定理より，
\( QF^2=OQ^2+OF^2=( \sqrt{15})^2+1^2=16 \)
\( QF=4 \; (cm) \) （ \( QF>0 \)より ）
(2) ひもの長さを求めなさい。ただし，ひもの太さや伸び縮みは考えないものとする。
円錐の側面を線分 \( QI \) で切って展開すると，
半径 \( 4 \; cm \) のおうぎ形になります。
このおうぎ形の弧の長さは底面である
直径 \( 2 \; cm \) の円周の長さと等しいので，
\( 2\pi{} \; cm \)
半径 \( 4 \; cm \) の円周の長さは \( 8\pi{} \; cm \) なので，
おうぎ形の中心角の大きさは \( 360° \times \dfrac{2\pi{}}{8\pi{}}=90° \)
ここで， \( △QII \) は直角二等辺三角形なので，
ひもの長さは，\( 4\sqrt{2} \; cm \)
(3) ひもの通る線上に点 \( P \) をとる。\( P \) を頂点とし，四角形 \( ABCD \) を底面とする四角錐の体積が最も小さくなるとき，その体積を求めなさい。
四角錐の体積が最も小さくなるのは，点 \( P \) と四角形 \( ABCD \) の距離が最も小さくなるときなので，線分 \( PQ \) の長さが最も短くなるときであるともいえます。
線分 \( PQ \) の長さが最も短くなるのは，円錐の側面の展開図において，線分 \( PQ \) とひもが垂直に交わるときなので，
\( △PQI \) は斜辺が \( 4 \; cm \) の直角二等辺三角形になります。
よって，\( PQ=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2} \; (cm) \)
ここで，点 \( P \) から線分 \( QO \) に垂線をひき，交点を \( R \) とすると，\( △QPR \) ∽ \( △QGO \) なので，
\( QP：QG=QR：QO \)
\( 2\sqrt{2}：4=QR：\sqrt{15} \)
\( 4QR=2\sqrt{30} \)
\( QR=\dfrac{\sqrt{30}}{2} \; (cm) \)
以上より，四角錐の体積は，
\( 2 \times 2 \times \dfrac{\sqrt{30}}{2} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{2\sqrt{30}}{3} \; (cm^3) \)
