大問１
（１） \( (-5)+(-2) \) を計算しなさい。
（２） \( 3(a+b)-2 (a-b) \) を計算しなさい。
（３） \( 4\sqrt{2} \times 2\sqrt{3} \) を計算しなさい。
（４） 正四面体の辺の数を答えなさい。
（５） \( 4x^2-9y^2 \) を因数分解しなさい。
（６） \( y \) 軸を対称の軸として, 直線 \( y=-3x+1 \) と線対称となる直線の式を求めなさい。
直線 \( y=-3x+1 \) は，
\( (x，y)=(0，1)，(-1，4) \) を通ります。
\( (x，y)=(-1，4) \) の点を \( y \) 軸を対称の軸として移動させると，\( (x，y)=(1，4) \) に移動します。
また，\( (x，y)=(0，1) \) は，
直線 \( y=-3x+1 \) と \( y \) 軸の交点なので
移動しません。
よって，求める直線は，
２点 \( (0，1)，(1，4) \) を通る直線なので，
\( y=3x+1 \)
（７） 関数 \( y=5x^2 \) について，\( x \) の変域が \( -1≦x≦3 \) のときの \( y \) の変域を求めなさい。
\( y=ax^2 \;\;(a>0) \) において，
\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，
\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最大になるとき，
\( y \) の値も最大になります。
\( -1≦x≦3 \) のとき，
\( 0 \) を含んでいるので，最小値は \( 0 \)，
絶対値が最大になるのは \( x=3 \) のときなので，
\( y \) の値は，\( y=5 \times 3^2=45 \)
よって，\( y \) の変域は，\( 0≦y≦45 \)
（８） 右の表は，ある中学校の女子 \( 20 \) 人のハンドボール投げの記録を度数分布表に整理したものである。この表から求めた最頻値が \( 12.5 \; m \) であるとき，\( a，b \) にあてはまる数の組み合わせは全部で何通りあるか，求めなさい。
（９）\( △ABC \) において，\( AB=8 \; cm，BC=6 \; cm，CA=x \; cm \) である。\( △ABC \) が直角三角形になるときの \( x \) の値をすべて求めなさい。
\( AB=8 \; cm，BC=6 \; cm，CA=x \; cm \) より，一番長くなる可能性があるのは，
\( AB=8 \; cm，CA=x \; cm \) のどちらかです。
【\( AB=8 \; cm \) が斜辺の場合】
三平方の定理より，
\( 8^2=6^2+x^2 \)
\( x^2=28 \)
\( x=2\sqrt{7} \; (cm) \) (\( AB>0 \) より)
【\( CA=x \; cm \) が斜辺の場合】
三平方の定理より，
\( x^2=8^2+6^2 \)
\( x^2=100 \)
\( x=10 \; (cm) \) (\( CA>0 \) より)
辺 \( QR \) を斜辺とする直角三角形 \( PQR \) において，
３つの頂点を通る円 \( O \) を考えると，
\( ∠QPR=90° \) より，直径に対する円周角になるので，
辺 \( QR \) は円 \( O \) の直径になっています。
１つの円の中で最も長い弦が直径になるので，
３辺の中で辺 \( QR \) が一番長いといえます。
（１０） 右の図のように，点 \( A (3，6) \) をとる。また，\( 1 \) から \( 6 \) までの目が出るさいころを２回投げて，最初に出た目の数を \( a \)，２回目に出た目の数を \( b \) とし，２点 \( B (2，a)，C(1，b) \) をとる。このとき，３点 \( A，B，C \) が１つの直線上に並ぶ確率を求めなさい。ただし，さいころはどの目が出ることも同様に確からしいものとする。
３点 \( A，B，C \) が１つの直線上に並ぶのは，
\( B (2，6)，C(1，6) \) つまり，\( a=6，b=6 \)
\( B (2，5)，C(1，4) \) つまり，\( a=5，b=4 \)
\( B (2，4)，C(1，2) \) つまり，\( a=4，b=2 \)
の３通りになっています。
さいころの出た目 \( a，b \) の組み合わせを表に書き出すと，
一直線上に並ぶのは３通り，すべての組み合わせは３６通りなので，
求める確率は \( \dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12} \)
大問２
一直線にのびた線路と，その横に，線路に平行な道路がある。電車が駅に停車していると，あさひさんが乗った自転車が電車の後方から，電車の進行方向と同じ方向に走ってきた。図１のように，停車している電車の先端を地点 \( P \) とする。このとき，電車が地点 \( P \) を出発したのと同時に，自転車も地点 \( P \) を通過した。
電車が地点 \( P \) を出発してから \( x \) 秒間に電車と自転車が進む距離を \( y \; m \) とする。\( 0≦x≦30 \) のとき，電車は \( y=\dfrac{3}{10}x^2 \) の関係になり，自転車は \( y=6x \) の関係になることがわかっている。
図２は，電車と自転車について，\( x \) と \( y \) の関係をグラフに表したものである。（１）～（４）に答えなさい。
（１） 電車が自転車に追いつくのは，地点 \( P \) から何 \( m \) 離れた地点か，求めなさい。
（２） 電車が地点 \( P \) を出発して \( 10 \) 秒後から \( 20 \) 秒後までの電車の平均の速さは秒速何 \( m \) か，求めなさい。
出発して \( 10 \) 秒後の電車の位置は
\( y=\dfrac{3}{10} \times 10^2=30 \; (m) \)
なので，平均の速さは
\( \dfrac{120-30}{20-10}=9 \)
より，秒速 \( 9 \; m \)
（３） \( 0≦x≦20 \) のとき，自転車と電車が \( 30 \; m \) 離れるのは，電車が地点 \( P \) を出発してから何秒後か，求めなさい。
（４） 地点 \( P \) から \( 150 \; m \) 離れた地点において，電車が到達してから自転車が到達するまでにおよそ何秒かかるか，求め方を説明しなさい。 ただし，実際に何秒かかるかを求める必要はない。
大問３
まことさんは，トランプを使って図１のようなタワーをつくろうと考えた。できるだけ大きなタワーをつくるために，必要なトランプの枚数を調べることにした。（１）・（２）に答えなさい。
（１） まことさんは，図２のように，トランプの代わりに同じ長さの棒を並べたモデルをつくり，棒の本数を数えることでトランプの枚数を調べることにした。（ａ），（ｂ）に答えなさい。
（ａ） まことさんは，図３のように，上から \( 1 \) 段目，\( 2 \) 段目，\( 3 \) 段目，\( 4 \) 段目，･･･ ，\( n \) 段目と分けて，各段の棒の本数を，横向きの棒と斜め向きの棒に着目して，下のような表にまとめようとしている。表の ( ア ) にあてはまる数を， イ にはあてはまる \( n \) を用いた式をそれぞれ書きなさい。
図３から，横向きの棒の本数は，\( 0 → 1 → 2 → 3 \) となっているので，その次は \( 4 \)
斜め向きの棒の本数は， \( 2 → 4 → 6 → 8 \) となっているので，その次は \( 10 \)
よって，合計の本数は \( 14 \) 本。
イ
横向きの棒の本数は，段数より \( 1 \) 小さい数字が入っているので，
\( n \) 段目のときは，\( n-1 \) 本。
（ｂ） トランプ \( 1 \) 組 \( 54 \) 枚を使うと最大何段のタワーをつくることができるか，求めなさい。ただし，使わないトランプがあってもよいものとする。
\( 1 \) 段目 ･･･ \( 2 \) 本
\( 2 \) 段目 ･･･ \( 2+5=7 \) 本
\( 3 \) 段目 ･･･ \( 2+5+8=15 \) 本
\( 4 \) 段目 ･･･ \( 2+5+8+11=26 \) 本
\( 5 \) 段目 ･･･ \( 2+5+8+11+14=40 \) 本
\( 6 \) 段目 ･･･ \( 2+5+8+11+14+17=57 \) 本
なので，\( 54 \) 枚のトランプでは，最大 \( 5 \) 段のタワーをつくることができる。
（２） まことさんは，タワーをつくるために，必要なトランプの枚数を効率的に調べる方法について，次のように考えをまとめた。（ａ），（ｂ）に答えなさい。
【まことさんの考え】
［\( 4 \) 段のとき］
図４のように，\( 4 \) 段のモデルと，同じものを逆さまにしたモデルを組み合わせて，上から \( 1 \) 段目，\( 2 \) 段目，\( 3 \) 段目，\( 4 \) 段目を考えると，各段の棒の本数は，それぞれ ( ウ ) 本で同じになる。
このことを利用すれば，\( 4 \) 段のタワーに必要なトランプの枚数を求めることができる。
［\( n \) 段のとき］
図５のように，\( n \) 段のモデルと，同じものを逆さまにしたモデルを組み合わせて，上から \( 1 \) 段目，\( 2 \) 段目，\( 3 \) 段目，･･･ ，\( n \) 段目を考えると，各段の棒の本数は，それぞれ ( エ ) 本で同じになる。
これらの考え方を利用すれば，何段のタワーであっても，必要なトランプの枚数を求めることができる。
（ａ） 【まことさんの考え】の ( ウ ) にあてはまる数を， エ にはあてはまる \( n \) を用いた式を，それぞれ書きなさい。
すべての段において，横向きの棒は \( 3 \) 本，
斜め向きの棒は，「ハ」の字または「Ｖ」の字型を１組と考えると５組ずつあるので，全部で \( 10 \) 本
よって，合計で \( 13 \) 本。
エ
すべての段において，横向きの棒は \( n-1 \) 本，
斜め向きの棒は，「ハ」の字または「Ｖ」の字型を１組と考えると
下の図のように \( n+1 \) 組ずつあるので，全部で \( 2(n+1) \) 本
よって，合計で \( (n-1)+2(n+1)=3n+1 \) 本。
（ｂ） \( 20 \) 段のタワーをつくるために，必要なトランプは何枚か，求めなさい。
大問４
右の図のように，直線 \( y=3x \) 上に点 \( A \)，直線 \( y=\dfrac{1}{2}x \) 上に点 \( C \)，直線 \( y=-x \) 上に点 \( E \) があり，点 \( A \) の \( x \) 座標は \( 3 \) である。また，四角形 \( ABCD \) と四角形 \( AEFG \) がともに正方形になるように点 \( B，D，F，G \) をとる。ただし，点 \( C \) と点 \( F \) の \( x \) 座標はともに \( 3 \) より大きく，辺 \( AB \) と辺 \( AE \) はともに \( y \) 軸に平行とする。（１）～（４）に答えなさい。
（１） 点 \( E \) の座標を求めなさい。
（２） ２点 \( A，F \) を通る直線の式を求めなさい。
点 \( A \) は \( y=3x \) 上の点で，\( x \) 座標は \( 3 \) なので，
\( y \) 座標の値は \( y=3 \times 3=9 \) であり，
点 \( A \) の座標は \( A(3，9) \)
辺 \( AE \) はともに \( y \) 軸に平行で，
点 \( A \) の \( y \) 座標の値は \( 9 \)
点 \( E \) の \( y \) 座標の値は \( -3 \)
なので，辺 \( AE \) の長さは \( 9-(-3)=12 \)
四角形 \( AEFG \) は正方形なので，
\( EF=AE=12 \)
点 \( F \) の \( x \) 座標は \( 3+12=15 \)
\( AE⊥EF \) より，辺 \( EF \) は \( x \) 軸に平行なので，
\( y \) 座標の値は \( -3 \)
であり，点 \( F \) の座標は \( F(15，-3) \)
求める直線は \( A(3，9)，F(15，-3) \) を通るので，
傾き \( =\dfrac{-3-9}{15-3}=-1 \)
この直線の式を \( y=-x+b \) とし，\( x=3，y=9 \) を代入すると，
\( 9=-3+b \)
\( b=12 \)
よって，２点 \( A，F \) を通る直線の式は \( y=-x+12 \)
（３） 正方形 \( ABCD \) を，辺 \( AB \) を回転の軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。
点 \( C \) の \( x \) 座標の値を \( t \) とすると，
点 \( C \) の座標は \( C \left(t，\dfrac{1}{2}t \right) \)
正方形 \( ABCD \) は，辺 \( AB \) が \( y \) 軸に平行，
辺 \( BC \) が \( x \) 軸に平行なので，
点 \( B \) の座標は \( B \left(3，\dfrac{1}{2}t \right) \)
正方形のすべての辺は等しいので，
\( AB=BC \)
\( 9-\dfrac{1}{2}t=t-3 \)
\( \dfrac{3}{2}t=12 \)
\( t=8 \)
よって，点 \( C \) の座標は \( C(8，4) \)
以上より，正方形 \( ABCD \) は１辺の長さが \( 5 \) なので，
求める立体は底面の半径 \( 5 \)，高さ \( 5 \) の円柱になります。
この円柱の体積は，
\( (\pi{} \times 5^2) \times 5=125\pi{} \)
（４） 辺 \( FG \) 上に点 \( P \) をとり，\( △OAP \) の周の長さが最小となるような点 \( P \) の座標を求めなさい。
点 \( P \) がどこにあっても，辺 \( AO \) の長さは変わらないので，
\( OP+PA \) が最小のとき，\( △OAP \) の周の長さが最小になります。
線分 \( FG \) について点 \( A \) と対称な点を \( A’ \) とすると，
\( PA=PA’ \) なので，\( OP+PA’=OP+PA \) であり，
線分 \( OA’ \) と線分 \( FG \) の交点が点 \( P \) になるとき，
\( OP+PA \) が最小になります。
\( A(3，9)，F(15，-3) \) より，点 \( G \) の座標は \( G(15，9) \)
\( A’G=AG \) なので，\( AG=12 \) より，
点 \( A’ \) の座標は \( A’(27，9) \)
ここから，直線 \( OA’ \) の式は \( y=\dfrac{1}{3}x \)
直線 \( OA’ \) と線分 \( FG \) の交点 \( P \) の \( x \) 座標の値は \( 15 \) なので，
\( y \) 座標の値は
\( y=\dfrac{1}{3} \times 15=5 \)
よって，求める点 \( P \) の座標は，\( P(15，5) \)
大問５
右の図のように，円 \( O \) の直径 \( AB \) 上に点 \( C \) をとり，点 \( C \) を通り直径 \( AB \) に垂直な直線と円 \( O \) との交点をそれぞれ \( D，E \) とする。中心 \( O \) と点 \( E \)，点 \( A \) と点 \( D \)，点 \( A \) と点 \( E \)，点 \( B \) と点 \( E \) をそれぞれ結ぶ。（１）～（４）に答えなさい。
（１） \( ∠AEB \) の大きさを求めなさい。
（２） \( △AED \) ∽ \( △OEB \) の証明について，（ａ），（ｂ）に答えなさい。
（ａ） \( △AED \) ∽ \( △OEB \) を証明するために，次のように \( △DAC≡△EAC \) を証明した。
にあてはまる言葉を書きなさい。
【\( △DAC≡△EAC \) の証明】
\( △DAC \) と \( △EAC \) で
\( AC \) は共通だから，\( AC=AC \) ･･･ ①
仮定より， \( ∠DCA=∠ECA=90° \) ･･･ ②
また，直径 \( AB \) は弦 \( DE \) の垂直二等分線だから，
\( DC=EC \) ･･･ ③
➀，②，③ より， が，それぞれ等しいので，\( △DAC≡△EAC \)
（ｂ） （ａ）で示したことを用いて，\( △AED \) ∽ \( △OEB \) を証明しなさい。
\( △AED \) ∽ \( △OEB \) において，
\( △DAC≡△EAC \) より，
\( ∠DAC=∠EAC \) なので，
\( ∠EAD=2∠EAB \) ･･･ ➀
\( ∠EAB \) は弧 \( EB \) に対する円周角，
\( ∠EOB \) は弧 \( EB \) に対する中心角なので，
\( ∠EOB=2∠EAB \) ･･･ ➁
➀➁より，\( ∠EAD=∠EOB \) ･･･ ③
弧 \( AE \) に対する円周角なので，
\( ∠ADE=∠OBE \) ･･･ ➃
③➃より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △AED \) ∽ \( △OEB \)
（３） \( △AED \) と \( △OEB \) の相似比が \( 5：3 \) であり，\( △AED \) の面積が \( 50 \; cm^2 \) であるとき，\( △AEB \) の面積を求めなさい。
相似な三角形の面積比は相似比の二乗の比になるので，
\( △AED：△OEB=5^2：3^2=25：9 \)
\( 50：△OEB=25：9 \)
\( △OEB=18 \; (cm^2) \)
\( △OEA \) と \( △OEB \) は，
\( OA=OB \)，高さが共通なので，
\( △OEA=△OEB=18 \; (cm^2) \)
よって，
\( △AEB=△OEA+△OEB=36 \; (cm^2) \)
（４） \( AD=8 \; cm，BE=4 \; cm \) のとき，\( AC：CB \) を求めなさい。
\( △DAC \) と \( △BEC \) において，
\( ∠ADC=∠EBC，∠ACD=∠ECB=90° \) より，
２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △DAC \) ∽ \( △BEC \)
対応する辺の比は等しいので，
\( AC：EC=AD：EB=8：4=2：1 \)
\( △DAC≡△EAC \) より，\( DC=EC \) なので，
\( AC：DC=2：1 \)
また，\( DC：BC=2：1 \) でもあるので，
\( AC：DC：BC=2：1：\dfrac{1}{2} \)
よって，
\( AC：BC=2：\dfrac{1}{2}=4：1 \)
