鳥取県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

\( ∠CMD=80° \) は \( △BCM \) の外角なので，
　\( ∠BCM=80°-20°=60° \)

\( ∠BCM \) は \( △ACN \) の外角なので，
　\( ∠x=∠BCM-∠CAN \)
\( ∠CAN \) は  \( \stackrel{\huge\frown}{ CD } \) に対する円周角なので，
　\( ∠CAN=∠BCM=20° \)

よって，
　\( ∠x=60°-20°=40° \)

「少なくとも１枚は表となる」ということは，
「１枚または２枚または３枚が表になる」
ということであり，
「３枚とも裏になる」１通りだけを除けばいい
ことになります。

３枚の硬貨の表裏の組み合わせを樹形図に表すと，
すべての組み合わせは８通りなので，
少なくとも１枚は表となる組み合わせは７通りです。

よって，求める確率は，\( \dfrac{7}{8} \)

使う部品の数ごとの飾りの数を各段ごとに考えると，
【使う部品が１個のとき】
　上の段，下の段 ･･･ ２個ずつ
　中の段 ･･･ １個

【使う部品が２個のとき】
　上の段，下の段 ･･･ ３個ずつ
　中の段 ･･･ ２個

【使う部品が３個のとき】
　上の段，下の段 ･･･ ４個ずつ
　中の段 ･･･ ３個

なので，使う部品が \( n \) 個のとき，必要な飾りの数は
　上の段，下の段 ･･･ \( n+1 \) 個ずつ
　中の段 ･･･ \( n \) 個
になります。

つまり，\( 2 \times (n+1) \) は上の段と下の段で使う飾りの総数ということになります。

重複部分の数は，上の段と下の段だけにあり，
　使う部品が１個のとき ･･･ 重複部分なし
　使う部品が２個のとき ･･･ 上下１か所ずつ
　使う部品が３個のとき ･･･ 上下２か所ずつ

なので，使う部品が \( n \) 個のとき，重複部分の数は，上下 \( n-1 \) か所ずつになります。

よって，必要な飾りの個数は，
　\( 5n-2(n-1)=3n+2 \)（個）
になります。

手順１　点 \( A \) を中心に円弧を描く。
(辺 \( AB，AC \) との交点を点 \( D，E \) とします。)
手順２　２点 \( D，E \) を中心に円弧を描く。
(交点を点 \( F \) とします。)
手順３　２点 \( A，F \) を通る直線を描く。

手順３の直線と辺 \( BC \) の交点が
求める点 \( P \) になります。

ア
四分位範囲の大きさは箱の長さ（高さ）で判断することができます。
箱の高さ最も高いのは，Ａなので，正しい。

オ
全部で \( 150 \) 人のデータなので，第三四分位数は値の小さい方から \( 113 \) 番目（大きい方から \( 38 \) 番目）の値になります。
箱ひげ図からＡ～Ｄすべてにおいて第三四分位数の値は \( 50 \) 歳以上なので，\( 50 \) 歳以上の参加者は \( 38 \) 人以上いるといえます。

\( t=1 \) のとき，
点 \( P \) の \( x \) 座標は \( 1 \) なので，
\( y \) 座標は \( y=1^2=1 \)
点 \( P \) の \( x \) 座標は \( 1-3=-2 \) なので，
\( y \) 座標は \( y=(-2)^2=4 \)

直線 \( PQ \) は \( P(1，1)，Q(-2，4) \) を通るので，
傾き \( =\dfrac{1-4}{1-(-2)}=-1 \)
直線 \( PQ \) の式を \( y=-x+b \) として，
\( x=1，y=1 \) を代入すると，
　\( 1=-1+b \)
　\( b=2 \)

よって，直線 \( PQ \) の式は \( y=-x+2 \)

【\( t \) の値】
直線 \( PQ \) が \( x \) 軸と平行になるのは，
２点 \( P，Q \) の \( y \) 座標が等しくなるときなので，
　\( x=t \) のときの \( y \) 座標は，\( y=t^2 \)
　\( x=t-3 \) のときの \( y \) 座標は，\( y=(t-3)^2 \)
であり，
　\( t^2=(t-3)^2 \)
　\( t^2=t^2-6t+9 \)
　\( 6t=9 \)
　 \( t=\dfrac{3}{2} \)

【点 \( R \) の \( y \) 座標】
点 \( R \) は，\( y=\dfrac{8}{x} \) 上の点で，
\( x \) 座標は \( \dfrac{3}{2} \) なので，
　\( y=\dfrac{8}{\dfrac{3}{2}} \)
　　\( =8 \div \dfrac{3}{2} \)
　　\( =8 \times \dfrac{2}{3} \)
　　\( =\dfrac{16}{3} \)

右の図から
\( x=0 \) のとき，\( y=x^2 \) が \( y=0 \) を通るので，
\( y \) が整数になるのは，\( y=0 \) のとき

\( x=1 \) のとき，\( y=x^2 \) が \( y=1 \) を通るので，
\( y \) が整数になるのは，\( y=0，1 \) のとき

\( x=2 \) のとき，\( y=x^2 \) が \( y=4 \) を通るので，
\( y \) が整数になるのは，\( y=0，1，2，3，4 \) のとき

\( x=3 \) のとき，\( y=\dfrac{8}{x} \) が \( y=\dfrac{8}{3} \) を通っていて，
\( 2<\dfrac{8}{3}<3 \)  なので，
\( y \) が整数になるのは，\( y=0，1，2 \) のとき

\( x=4 \) のとき，\( y=\dfrac{8}{x} \) が \( y=2 \) を通るので，
\( y \) が整数になるのは，\( y=0，1，2 \) のとき

\( t=8 \) の場合を考えると，
\( 5<x<8 \) のとき，\( y=\dfrac{8}{x} \) が
\( 1≦y<2 \) の範囲を通るので，
\( y \) が整数になるのは，\( y=0，1 \) のとき

なので，あてはまる点の数の合計は，
　\( n=14+2 \times 4=22 \)（個）

ここから，\( t>8 \) であることがわかります。

\( t>8 \) の場合，
\( x>8 \) のとき，\( y=\dfrac{8}{x} \) は
\( 0<y<1 \) の範囲を通るので，
\( y \) が整数になるのは，\( y=0 \) のとき

\( △DPH \) と \( △EPH \) に注目すると，
辺 \( HP \) を共有する直角三角形になっています。

ここから，三平方の定理より，
\( HP^2 \) を\( △EPH，△DPH \) の両方から表し，
方程式にすると，
　\( (10-t)^2+10^2=(6\sqrt{6})^2-10^2 \)
　 \( t^2-20t+200=116 \)
　　\( t^2-20t+84=0 \)
　 \( (t-6)(t-14)=0 \)
　　　　　　　　 \( t=6 \) (\( 0<t<10 \) より)

このとき，
\( △APD \) は
\( AD=10 \; cm，AP=18 \; cm \) の直角三角形なので，
三平方の定理より，
　\( DP^2=10^2+18^2=424 \)
　 \( DP=2\sqrt{106} \; (cm) \)

\( △DEP \) は
\( DE=20 \; cm，EP=8 \; cm \) の直角三角形なので，
三平方の定理より，
　\( DP^2=20^2+8^2=464 \)
となり，最短ではなくなるので
問題の条件にあてはまりません。

立体 \( X \) において，\( △ABC \) は
\( AB=BC=10 \; cm \) の直角二等辺三角形であり，
\( AC//PQ \) なので，\( △PFQ \) は
\( FP=FQ=8 \; cm \) の直角二等辺三角形になっています。

台形 \( ABFP \) と台形 \( CBFQ \) は合同なので，
線分 \( AP，BF，CQ \) を延長した交点を \( O \) とすると，
立体 \( X \) は，三角すい \( O-ABC \) から三角すい \( O-PFQ \) を取り除いたものになっています。

\( △OBC \) と \( △OFQ \) において，
\( OF=x \; cm \) とすると，\( BC//FQ \) より
\( △OBC \) ∽ \( △OFQ \) なので，
　　 \( OB：OF=BC：FQ \)
　\( (10+x)：x=10：8 \)
　　\( 8(10+x)=10x \)
　　　　　 \( 2x=80 \)
　　　　　　\( x=40 \; (cm) \)