千葉県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

エの展開図は赤の面が重なるので
立方体になりません。

点 \( P \) が直線 \( y=x \) 上の点となるのは，
\( x \) 座標と \( y \) 座標の値が等しいときなので，
　\( (a，b)=(1，1)，(2，2)，(3，3)， \)
　　　　　 \( (4，4)，(5，5)，(6，6) \)
の \( 6 \) 通りです。

また，
大きいさいころの出た目の数は \( 1～6 \) の \( 6 \) 通り，
小さいさいころの出た目の数も \( 1～6 \) の \( 6 \) 通り，
なので，
すべての組み合わせは \( 6 \times 6=36 \) 通り

よって，求める確率は \( \dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6} \)

この円は \( 1<x≦4 \) の範囲では，
\( x \) 座標と \( y \) 座標の値が
ともに自然数になる点を通らないので，
あてはまる組み合わせは円周上にはありません。

点 \( P \) がこの円の内部にあるのは，
　\( (a，b)=(1，1)，(1，2)，(1，3)， \)
　　　　　 \( (2，1)，(2，2)，(2，3)， \)
　　　　　 \( (3，1)，(3，2) \)
の \( 8 \) 通りです。

すべての組み合わせは \( 36 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9} \)

\( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) に対する円周角なので，
　\( ∠BAC=∠BDC=63° \)

（１）より，\( ∠BAC=∠BDC=63° \) で，
\( ∠BAC \) は \( △ACE \) の外角なので，
　\( ∠DCF=∠BAC-∠CEA=25° \)
\( ∠BFC \) は \( △DCF \) の外角なので，
　\( ∠BFC=∠BDC+∠DCF=88° \)

円すいの展開図において，
側面のおうぎ形の弧の長さと底面の円周の長さは
等しくなります。

おうぎ形の半径を \( r_1 \)，底面の円の半径を \( r_2 \)，
おうぎ形の弧の長さ（底面の円の円周の長さ）をℓとすると，
おうぎ形の弧の長さは，ℓ \( =2\pi{} \times r_1 \times \dfrac{90°}{360°} \)
底面の円周の長さは，ℓ \( =2\pi{} \times r_2 \)
と表せるので，
　\( 2\pi{} \times r_1 \times \dfrac{90°}{360°}=2\pi{} \times r_2 \)
　　　　　\( \dfrac{1}{4}r_1=r_2 \)
　　　　　　\( r_1=4r_2 \)

手順１　２点 \( O’，A \) を通る直線を描く。
手順２　２点 \( O’，A \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( B，C \) とします。)
手順３　２点 \( B，C \) を通る直線を描く。
(直線 \( O’A \) との交点を \( D \) とします。)
手順４　２点 \( A，D \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( E，F \) とします。)
手順５　２点 \( E，F \) を通る直線を描く。
(直線 \( O’A \) との交点を \( G \) とします。)
手順６　点 \( A \) を中心に線分 \( GA \) を半径とする円弧を描く。

手順６の円弧と直線 \( O’A \) との交点が
求める点 \( O \) になります。

さらに，（１）より，\( O’A=4OA \) なので，
線分 \( O’A \) の垂直二等分線 \( m \) を描くことで，
\( DA=2OA \) となる点 \( D \) を作図できます。
（点 \( D \) は直線 \( m \) と直線 \( O’A \) の交点）

次に，線分 \( DA \) の垂直二等分線 \( n \) を描くことで，
\( GA=OA \) となる点 \( G \) を作図できます。
（点 \( G \) は直線 \( n \) と直線 \( O’A \) の交点）

最後に，点 \( A \) を中心に線分 \( GA \) を半径とする
円弧を描くと，直線 \( O’A \) との交点が求める点 \( O \)
になります。

点 \( Q \) は，\( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，
点 \( P \) と \( y \) 座標が等しいので，
\( x \) 座標は \( -3 \) であり，\( Q \left(-3，\dfrac{9}{2} \right) \)

平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので，
\( PQ=RS=6 \) であり，
点 \( R \) の \( x \) 座標は \( 6 \)
ここから，\( y \) 座標は，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times 6^2=18 \)
であり，\( R(6，18) \)

２点 \( Q，R \) を通る直線の式を \( y=ax+b \) とすると，
傾き \( a=\dfrac{18-\dfrac{9}{2}}{6-(-3)}=\dfrac{3}{2} \)
\( y=\dfrac{3}{2}x+b \) に \( x=6，y=18 \) を代入すると，
　\( 18=\dfrac{3}{2} \times 6+b \)
　 \( b=9 \)

点 \( P \) の \( x \) 座標が \( p \) のとき，
\( P，Q \) の座標は \( P \left( p，\dfrac{1}{2}p^2 \right)，Q \left( -p，\dfrac{1}{2}p^2 \right) \)
と表すことができます。

このとき，\( PQ \) の長さは \( 2p \) と表せるので，
点 \( R \) の \( x \) 座標は \( 2p \) であり，
点 \( R \) の座標は \( R(2p，2p^2) \)
と表すことができます。

平行四辺形の向かい合う辺は平行なので，
点 \( S \) と点 \( R \) の \( y \) 座標は等しく，
\( S(0，2p^2) \) と表すことができ，
\( SH \) の長さは \( 2p^2-\dfrac{1}{2}p^2=\dfrac{3}{2}p^2 \)

よって，\( SH=2PQ \) となるとき，
　　　　\( \dfrac{3}{2}p^2=2 \times 2p \)
　　　　\( 3p^2=8p \)
　\( p(3p-8)=0 \)
　　　　　 \( p=\dfrac{8}{3} \) (\( p>0 \) より)

\( △EBF \) と \( △ECA \) において，
仮定より，\( ∠BEF=∠CEA=90° \) ･･･ ➀
\( △EBC \) は直角二等辺三角形なので，
　\( EB=EC \) ･･･ ②
\( △ABD \) は直角三角形なので，
　\( ∠EBF=90°-∠EAC \) ･･･ ③
\( △ECA \) は直角三角形なので，
　\( ∠ECA=90°-∠EAC \) ･･･ ➃
③➃より，
　\( ∠EBF=∠ECA \) ･･･ ➄
➀➁➄より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
　\( △EBF≡△ECA \)

（２）より，\( △EBF≡△ECA \) なので，
　\( BF=CA=15 \; cm \)
\( DF=x \; cm \) とすると，
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので，
　　　　\( BD：CD=DA：DF \)
　　　\( (15+x)：6=9：x \)
　　　　 \( x^2+15x=54 \)
　　\( x^2+15x-54=0 \)
　\( (x-3)(x+18)=0 \)
　　　　　　　　\( x=3 \; (cm) \) ( \( x>0 \) より)

\( ∠FBE=∠FCD，∠FEB=∠FDC=90° \)
より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △EBF \) ∽ \( △DCF \)
相似比は，
　\( FB：FC=15：3\sqrt{5}=\sqrt{5}：1 \)
相似な三角形の面積比は相似比の２乗の比と等しく，
　\( △EBF：△DCF=(\sqrt{5})^2：1^2=5：1 \)

よって，
　\( △EBF=5△DCF \)
　　　　　\( =5 \times \left(3 \times 6 \times \dfrac{1}{2} \right) \)
　　　　　\( =45 \; (cm^2) \)

 \( △OAM \) と \( △OPN \) において，
\( ∠AMO=∠PNO=90°，∠O \) 共通より，
２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △OAM \) ∽ \( △OPN \)

\( OM=MN \) より，\( OM：ON=1：2 \) なので，
\( OA：OP=OM：ON=1：2 \)

\( △OAB \) ∽ \( △OPQ \) なので，
\( AB：PQ=OA：OP=1：2 \)

\( △OAB \) ∽ \( △OPQ \) より，
\( AB：PQ=1：4 \) のとき，
\( OM：ON=1：4 \) なので，
　\( OM：MN=OM：(ON-OM) \)
　　　　　　 \( =1：(4-1) \)
　　　　　　 \( =1：3 \)

　（ａ）　
直線 \( O’H \) の式を \( y=ax+n \) とすると，
　傾き \( a=\dfrac{1-n}{6-0}=\dfrac{1-n}{6} \)
なので，\( y=\dfrac{1-n}{6}x+n \)
\( x=10，y=p \) を代入すると，
　\( p=\dfrac{1-n}{6} \times 10+n \)
　　\( =\dfrac{5(1-n)}{3}+n \)
　　\( =-\dfrac{2}{3}n+\dfrac{5}{3} \)

　（ｂ）　
直線 \( O’F \) の式を \( y=bx+n \) とすると，
　傾き \( b=\dfrac{-1-n}{4-0}=\dfrac{-1-n}{4} \)
なので，\( y=\dfrac{-1-n}{4}x+n \)
\( x=10，y=q \) を代入すると，
　\( q=\dfrac{-1-n}{4} \times 10+n \)
　　\( =\dfrac{5(-1-n)}{2}+n \)
　　\( =-\dfrac{3}{2}n-\dfrac{5}{2} \)