大問１
（ア） \( 2-8 \)
１． \( -10 \) ２． \( -6 \) ３． \( 6 \) ４． \( 10 \)
（イ） \( -\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{4} \)
１． \( -\dfrac{21}{20} \) ２． \( -\dfrac{11}{20} \) ３． \( \dfrac{11}{20} \) ４． \( \dfrac{21}{20} \)
（ウ） \( \dfrac{3x-y}{4}-\dfrac{5x+2y}{9} \)
１． \( \dfrac{7x-17y}{36} \) ２． \( \dfrac{7x-y}{36} \) ３． \( \dfrac{7x+y}{36} \) ４． \( \dfrac{7x+17y}{36} \)
（エ） \( \dfrac{10}{\sqrt{5}}+\sqrt{80} \)
１． \( 4\sqrt{5} \) ２． \( 4\sqrt{10} \) ３． \( 6\sqrt{5} \) ４． \( 6\sqrt{10} \)
（オ） \( (x-2)^2-(x+3)(x-8) \)
１． \( -x+20 \) ２． \( -x+28 \) ３． \( x+20 \) ４． \( x+28 \)
大問２
（ア） 連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{} ax-by=-10 \\ bx+ay=-11 \\\end{array} \right. \) の解が \( x=3，y=2 \) であるとき，\( a，b \) の値を求めなさい。
１． \( a=-8，b=-1 \) ２． \( a=-4，b=-1 \)
３． \( a=2，b=-5 \) ４． \( a=4，b=-5 \)
（イ） ２次方程式 \( 3x^2-5x-1=0 \) を解きなさい。
１． \( x=\dfrac{-5±\sqrt{13}}{6} \) ２． \( x=\dfrac{-5±\sqrt{37}}{6} \)
３． \( x=\dfrac{5±\sqrt{13}}{6} \) ４． \( x=\dfrac{5±\sqrt{37}}{6} \)
（ウ） 関数 \( y=ax^2 \) について，\( x \) の変域が \( -3≦x≦2 \) のとき，\( y \) の変域は \( 0≦y≦6 \) であった。このときの \( a \) の値を求めなさい。
１． \( a=\dfrac{2}{3} \) ２． \( a=\dfrac{3}{2} \) ３． \( a=2 \) ４． \( a=3 \)
\( a>0 \) で，\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるとき，\( y \) は最大値をとります。
条件より，\( x \) の変域は \( 0 \) を含んでいて，
\( y \) の最小値は \( 0 \) になっているので，
\( a>0 \) であることがわかります。
また，\( x \) の変域 \( -3≦x≦2 \) において，
\( x \) の絶対値が最も大きくなるのは \( x=-3 \) のときなので，
\( x=-3 \) のときの \( y \) の値が \( 6 \) になります。
\( y=ax^2 \) に \( x=-3，y=6 \) を代入すると，
\( 6=a \times (-3)^2 \)
\( 9a=6 \)
\( a=\dfrac{2}{3} \)
（エ） １本 \( 150 \) 円のペンを \( x \) 本と１冊 \( 200 \) 円のノートを \( y \) 冊購入したところ，代金の合計は \( 3000 \) 円以下であった。このときの数量の関係を不等式で表しなさい。
１． \( 150x+200y≧3000 \) ２． \( 150x+200y>3000 \)
３． \( 150x+200y≦3000 \) ４． \( 150x+200y<3000 \)
（オ） 半径が \( 6 \; cm \) の球の体積を求めなさい。ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。
１． \( 36\pi{} \; cm^3 \) ２． \( 144\pi{} \; cm^3 \) ３． \( 162\pi{} \; cm^3 \) ４． \( 288\pi{} \; cm^3 \)
（カ） \( x=143，y= 47 \) のとき，\( x^2-9y^2 \) の値を求めなさい。
１． \( 284 \) ２． \( 384 \) ３． \( 568 \) ４． \( 668 \)
大問３
（ア） 右の図１のように，円 \( O \) の周上に，異なる３点 \( A，B，C \) を \( AB=AC \) となるようにとる。
また，点 \( A \) を含まない \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) 上に２点 \( B，C \) とは異なる点 \( D \) を \( BD>CD \) となるようにとり，線分 \( AD \) と線分 \( BC \) との交点を \( E \) とする。
さらに，\( ∠CAD \) の二等分線と円 \( O \) との交点のうち，点 \( A \) とは異なる点を \( F \) とし，線分 \( AF \) と線分 \( BC \) との交点を \( G \)，線分 \( AF \) と線分 \( CD \) との交点を \( H \) とする。
このとき，次の（ⅰ），（ⅱ）に答えなさい。
（ⅰ） 三角形 \( ACG \) と三角形 \( ADH \) が相似であることを次のように証明した。 (a) ， (b) に最も適するものを，それぞれ選択肢の１～４の中から１つずつ選び，その番号を答えなさい。
［ 証明 ］
\( △ACG \) と \( △ADH \) において，
まず，線分 \( AF \) は \( ∠CAD \) の二等分線であるから，
\( ∠CAF=∠DAF \)
よって，\( ∠CAG=∠DAH \) ･･･ ①
次に，\( AB=AC \) より，\( △ABC \) は二等辺三角形
であり，その２つの底角は等しいから，
(a) ･･･ ➁
また，\( \stackrel{\huge\frown}{ AC } \) に対する円周角は等しいから，
\( ∠ABC=∠ADC \) ･･･ ③
②，③より，\( ∠ACB=∠ADC \)
よって， \( ∠ACG=∠ADH \) ･･･ ➃
➀，④より, (b) から，
\( △ACG \) ∽ \( △ADH \)
(a) の選択肢
１． \( ∠ABC=∠ACB \)
２． \( ∠ACB =∠ADB \)
３． \( ∠AGB =∠CGF \)
４． \( ∠BAD=∠BCD \)
(b) の選択肢
１． １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
２． ２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
３． ３組の辺の比がすべて等しい
４． ２組の角がそれぞれ等しい
(a) ･･･ １． \( ∠ABC=∠ACB \)
(b) ･･･ ４． ２組の角がそれぞれ等しい
（ⅱ） 次の の中の 「あ」「い」 にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。
\( ∠DHF= 61° \) より，
\( ∠AHD=180°-∠DHF=119° \)
（ⅰ）より，\( △ACG \) ∽ \( △ADH \) なので，
\( ∠AGC=∠AHD=119° \)
ここから，\( ∠AGE=180°-∠AGC=61° \)
\( ∠AEB \) は \( △AEG \) の外角なので，
\( ∠AEB=x，∠DAH=y \) とすると，
\( ∠x=∠y+61° \) ･･･ ➀
線分 \( AF \) は \( ∠CAD \) の二等分線なので，
\( ∠FAI=∠DAH=y \)
\( \stackrel{\huge\frown}{ CF } \) に対する円周角なので，
\( ∠FDH=∠FAI=y \)
\( ∠HFI \) は \( △FDH \) の外角なので，
\( ∠HFI=∠FDH+∠DHF=y+61° \)
\( ∠HFD \) は \( △AFI \) の外角なので，
\( ∠HFD=∠FAI+∠AID=y+73° \)
３点 \( D，F，I \) は１直線上にあるので，
\( ∠HFI+∠HFD=180° \)
\( (y+61°)+(y+73°)=180° \)
\( 2y+134°=180° \)
\( y=23° \)
よって，\( ∠x=∠y+61°=84° \)
（イ） ある地域における，３つの中学校の１学年の生徒を対象に，家から学校までの通学時間を調べることにした。右の図２は，Ａ中学校に通う生徒 \( 50 \) 人，Ｂ中学校に通う生徒 \( 50 \) 人，Ｃ中学校に通う生徒 \( 60 \) 人の，それぞれの通学時間を調べて中学校ごとにヒストグラムに表したものである。なお，階級はいずれも，\( 5 \) 分以上 \( 10 \) 分未満，\( 10 \) 分以上 \( 15 \) 分未満などのように，階級の幅を \( 5 \) 分にとって分けている。
また，調べた通学時間を中学校ごとに箱ひげ図に表したところ，右の図３のようになった。箱ひげ図Ｘ～Ｚは, Ａ中学校，Ｂ中学校，Ｃ中学校のいずれかに対応している。
このとき，次の（ⅰ），（ⅱ）に答えなさい。
（ⅰ） 箱ひげ図Ｘ～Ｚと, Ａ中学校，Ｂ中学校，Ｃ中学校の組み合わせとして最も適するものを次の１～６の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
１． Ｘ：Ａ中学校 Ｙ：Ｂ中学校 Ｚ：Ｃ中学校
２． Ｘ：Ａ中学校 Ｙ：Ｃ中学校 Ｚ：Ｂ中学校
３． Ｘ：Ｂ中学校 Ｙ：Ａ中学校 Ｚ：Ｃ中学校
４． Ｘ：Ｂ中学校 Ｙ：Ｃ中学校 Ｚ：Ａ中学校
５． Ｘ：Ｃ中学校 Ｙ：Ａ中学校 Ｚ：Ｂ中学校
６． Ｘ：Ｃ中学校 Ｙ：Ｂ中学校 Ｚ：Ａ中学校
３つのヒストグラムに各階級の累積度数をかき足すと
右の図のようになります。
Ａ・Ｂ・Ｃ各中学校の中央値と第三四分位数は
【Ａ中学校，Ｂ中学校】
中央値 ･･･ 時間の短い方から
\( 25 \) 番目と \( 26 \) 番目の平均値
第三四分位数 ･･･ 時間の短い方から \( 38 \) 番目の値
【Ｃ中学校】
中央値 ･･･ 時間の短い方から
\( 30 \) 番目と \( 31 \) 番目の平均値
第三四分位数 ･･･ 時間の短い方から
\( 45 \) 番目と \( 46 \) 番目の平均値
になります。
まず，中央値に注目すると，Ａ中学校だけ
\( 20 \) 分以上 \( 25 \) 分未満の階級に属しているので，
あてはまる箱ひげ図は「Ｚ」になります。
次に，第三四分位数に注目すると，
Ｂ中学校は \( 25 \) 分以上 \( 30 \) 分未満の階級
Ｃ中学校は \( 20 \) 分以上 \( 25 \) 分未満の階級
に属しているので，
あてはまる箱ひげ図は，
Ｂ中学校が「Ｘ」
Ｃ中学校が「Ｙ」
になります。
（ⅱ） 調べた通学時間について正しく述べたものを次のⅠ～Ⅳの中からすべて選ぶとき, 最も適するものをあとの１～６の中から１つ選び, その番号を答えなさい。
Ⅰ． ３つの中学校のうち，通学時間が \( 30 \) 分以上の生徒の人数は，Ａ中学校が最も多い。
Ⅱ． ３つの中学校のうち，通学時間が \( 10 \) 分以上 \( 15 \) 分未満の生徒の割合は，Ｂ中学校が最も大きい。
Ⅲ． ３つの中学校において，通学時間が \( 15 \) 分以上 \( 20 \) 分未満の生徒の割合はすべて等しい。
Ⅳ． ３つの中学校において，通学時間の平均値はすべて \( 25 \) 分未満である。
１．Ⅰ ２． Ⅱ ３． Ⅲ ４． Ⅳ
５． Ⅰ, Ⅱ ６． Ⅲ, Ⅳ
Ａ中学校 ･･･ \( 7+2+1=10 \)（人）
Ｂ中学校 ･･･ \( 1+7+4=12 \)（人）
Ｃ中学校 ･･･ \( 5+1+1=7 \)（人）
であり，最も多いのはＢ中学校なので，正しくありません。
Ⅱ． 通学時間が \( 10 \) 分以上 \( 15 \) 分未満の生徒の割合というのは，相対度数のことです。
３つの中学校の \( 10 \) 分以上 \( 15 \) 分未満の階級の相対度数は，
Ａ中学校 ･･･ \( 5 \div 50=0.10 \)
Ｂ中学校 ･･･ \( 7 \div 50=0.14 \)
Ｃ中学校 ･･･ \( 9 \div 60=0.15 \)
であり，割合が最も大きいのはＣ中学校なので，正しくありません。
Ⅲ． ３つの中学校の \( 15 \) 分以上 \( 20 \) 分未満の階級の相対度数は，
Ａ中学校 ･･･ \( 10 \div 50=0.20 \)
Ｂ中学校 ･･･ \( 10 \div 50=0.20 \)
Ｃ中学校 ･･･ \( 12 \div 60=0.20 \)
であり，割合はすべて等しいので，正しい。
Ⅳ． ヒストグラムから，通学時間が \( 25 \) 分未満である人数と \( 25 \) 分以上である人数に注目すると，
Ａ中学校 ･･･ \( 25 \) 分未満である人数は \( 32 \) 人，\( 25 \) 分以上である人数は \( 18 \) 人
Ｂ中学校 ･･･ \( 25 \) 分未満である人数は \( 27 \) 人，\( 25 \) 分以上である人数は \( 23 \) 人
Ｃ中学校 ･･･ \( 25 \) 分未満である人数は \( 46 \) 人，\( 25 \) 分以上である人数は \( 14 \) 人
であり，Ａ中学校とＣ中学校は圧倒的に多くなっています。
基準とする値より小さい値の人数と大きい値の人数に大きな差があり，
はずれ値（極端に大きい値，小さい値）がないとき，平均値は，人数が多い方に寄った値になるので，
Ａ中学校とＣ中学校の平均値は \( 25 \) 分未満になると推定できます。
ただし，Ｂ中学校の場合は，\( 25 \) 分未満である人数と\( 25 \) 分以上である人数に大きな差がないので，
計算して求める必要があります。
平均値は，「すべてのデータの合計値 \( \div \) データの総数」で求めることができます。
ヒストグラムにおけるすべてのデータの合計値は，各階級の「階級値 \( \times \) 度数」の合計になります。
Ｂ中学校の平均値は，
\( \dfrac{7.5 \times 9+12.5 \times 7+17.5 \times 10+22.5 \times 1+27.5 \times 11+32.5 \times 1+37.5 \times 7+42.5 \times 4}{50}=22.4 \)
なので，３つの中学校において，通学時間の平均値はすべて \( 25 \) 分未満になっています。
【参考】
Ａ中学校の平均値は，
\( \dfrac{7.5 \times 4+12.5 \times 5+17.5 \times 10+22.5 \times 13+27.5 \times 8+32.5 \times 7+37.5 \times 2+42.5 \times 1}{50}=22.5 \)
Ｃ中学校の平均値は，
\( \dfrac{7.5 \times 14+12.5 \times 9+17.5 \times 12+22.5 \times 11+27.5 \times 7+32.5 \times 5+37.5 \times 1+42.5 \times 1}{60}=18.5 \)
（ウ） 次の の中の「う」「え」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。
また，２点 \( E，F \) は辺 \( AC \) 上の点で，\( BC=CE \) であり，\( BF//DE \) である。
さらに，点 \( G \) は線分 \( DE \) の中点であり，点 \( H \) は線分 \( BF \) と線分 \( CG \) との交点である。
\( AB=24 \; cm，BC=12 \; cm \) のとき，線分 \( GH \) の長さは \( \boxed{ う } \)\( \; \sqrt{ \boxed{ え } } \; cm \) である。
\( ∠ACB = 90°，AB：BC=24：12=2：1 \) より，
\( △ABC \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形で，
補助線 \( CD \) をひくと，
\( △BCD \) は内角が \( 60° \) の二等辺三角形なので，
正三角形になります。
次に，\( △CDE \) に注目すると，
\( CD=CE=12 \; cm \) の二等辺三角形であり，
\( ∠ACB = 90°，∠BCD=60° \) なので，
\( ∠DCE=∠ACB-∠BCD=30° \)
になっています。
また，点 \( G \) は線分 \( DE \) の中点なので，
線分 \( CG \) は。\( ∠DCE \) の二等分線，
線分 \( DE \) の垂直二等分線になっています。
線分 \( CG \) が \( ∠DCE \) の二等分線になることから，
\( ∠DCG=\dfrac{1}{2}∠DCE=15° \)
になっています。
また，\( BF//DE，CG⊥DE \) より，
\( ∠CFB=90° \) なので，
\( △BCF \) において，
\( ∠CBF=180°-(90°+60°+15°)=15° \)
であり，\( ∠DBC=60° \) より，
\( ∠DBF=∠DBC-∠CBF=45° \)
になっています。
点 \( D \) から線分 \( BF \) に垂線をひき，
交点を \( I \) とすると，
\( △DBI \) は直角二等辺三角形になっています。
\( BF//DE，CG⊥DE，DI⊥BF \) より，
\( GH=DI \) なので，
\( GH=DI=\dfrac{1}{\sqrt{2}}BD=6\sqrt{2} \; (cm) \)
（エ） \( 4 \; \% \) の食塩水 \( 300 \; g \) が入ったビーカーから，食塩水 \( a \; g \) を取り出した。その後，ビーカーに残っている食塩水に食塩 \( a \; g \) を加えてよくかき混ぜたところ，\( 12 \; \% \) の食塩水になった。
このとき，\( a \) の値として正しいものを次の１～８の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
１． \( a=18 \) ２． \( a=20 \) ３． \( a=21 \) ４． \( a=24 \)
５． \( a=25 \) ６． \( a=28 \) ７． \( a=30 \) ８． \( a=36 \)
大問４
右の図において，直線①は関数 \( y=-x \) のグラフ，直線②は関数 \( y=-3x \) のグラフであり，曲線③は関数 \( y=ax^2 \) のグラフである。
点 \( A \) は直線①と曲線③との交点で，その \( x \) 座標は \( -6 \) である。点 \( B \) は曲線③上の点で，線分 \( AB \) は \( x \) 軸に平行である。点 \( C \) は直線②と線分 \( AB \) との交点である。
また，点 \( D \) は \( x \) 軸上の点で，線分 \( AD \) は \( y \) 軸に平行である。点 \( E \) は線分 \( AD \) 上の点で，\( AE=ED \) である。
さらに，原点を \( O \) とするとき，点 \( F \) は直線②上の点で，\( CO：OF=2：1 \) であり，その \( x \) 座標は正である。
このとき，次の問いに答えなさい。
（ア） 曲線③の式 \( y=ax^2 \) の \( a \) の値として正しいものを次の１～６の中から１つずつ選び，その番号を答えなさい。
１． \( a=\dfrac{1}{9} \) ２． \( a=\dfrac{1}{6} \) ３． \( a=\dfrac{2}{9} \)
４． \( a=\dfrac{1}{3} \) ５． \( a=\dfrac{4}{9} \) ６． \( a=\dfrac{2}{3} \)
（イ） 直線 \( EF \) の式を \( y=mx+n \) とするときの（ⅰ） \( m \) の値と，（ⅱ） \( n \) の値として正しいものを，それぞれ次の１～６の中から１つずつ選び，その番号を答えなさい。
（ⅰ） \( m \) の値
１． \( m=-\dfrac{7}{4} \) ２． \( m=-\dfrac{12}{7} \) ３． \( m=-\dfrac{7}{5} \)
４． \( m=-1 \) ５． \( m=-\dfrac{6}{7} \) ６． \( m=-\dfrac{4}{3} \)
（ⅱ） \( n \) の値
１． \( n=-\dfrac{11}{4} \) ２． \( n=-\dfrac{18}{7} \) ３． \( n=-\dfrac{15}{7} \)
４． \( n=-2 \) ５． \( n=-\dfrac{13}{7} \) ６． \( n=-\dfrac{11}{6} \)
点 \( D \) の座標は \( D(-6，0) \) です。
線分 \( AB \) は \( x \) 軸に平行で，点 \( C \) は線分 \( AB \) 上の点であることから，
点 \( A \) と点 \( C \) の \( y \) 座標は等しいので，点 \( C \) の \( y \) 座標は \( 6 \) です。
点 \( C \) は \( y=-3x \) 上の点でもあるので，\( y=-3x \) に \( y=6 \) を代入すると，
\( 6=-3x \)
\( x=-2 \)
となり，点 \( C \) の座標は \( C(-2，6) \) です。
線分 \( AB \) と \( y \) 軸の交点を \( H \)，
点 \( F \) から \( y \) 軸に垂線をひき，
交点を \( I \) とすると，
\( △OCH \) ∽ \( △OFI \) であり，
\( CH：FI=CO：OF=2：1 \)
点 \( C \) の \( x \) 座標は \( -2 \) なので，
\( CH=2，FI=1 \) であり，
点 \( F \) の \( x \) 座標は \( 1 \) になります。
点 \( F \) は \( y=-3x \) 上の点なので，
\( y=-3 \times 1=-3 \)
であり，点 \( F \) の座標は \( F(1，-3) \) です。
また，点 \( E \) は線分 \( AD \) の中点なので，
点 \( E \) の座標は \( E(-6，3) \) です。
ここから，直線 \( EF \) の傾き \( m \) は，
\( m=\dfrac{-3-3}{1-(-6)}=-\dfrac{6}{7} \)
\( y=-\dfrac{6}{7}x+n \) に \( x=1，y=-3 \) を代入すると，
\( -3=-\dfrac{6}{7} \times 1+n \)
\( n=-3+\dfrac{6}{7} \)
\( =-\dfrac{15}{7} \)
（ウ） 次の の中の「お」「か」「き」 にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。
\( △CEF：△COG=3：2 \) になるとき，高さは等しくなります。
点 \( E \) を通り，直線➁と平行な直線と
\( x \) 軸の交点を \( E’ \)，
点 \( G \) を通り，直線➁と平行な直線と
\( x \) 軸の交点を \( G’ \) とすると，
等積変形の考え方より，
\( △CEF=△CE’F，△COG=△COG’ \)
になります。
また，\( OE’=OG’ \) となるとき，
\( △CE’F \) と\( △COG’ \) の高さは等しくなります。
直線 \( EE’ \) は \( y=-3x \) と平行なので，
傾きは \( -3 \) であり，\( E(-6，3) \) であることから，
\( E’(-5，0) \) になっています。
このとき，\( OE’=OG’=5 \) なので，
\( G’(5，0) \) になっています。
直線 \( GG’ \) は \( y=-3x \) と平行なので，
この直線の式を \( y=-3x+b \) とすると，
\( G’(5，0) \) を通るので，
\( 0=-3 \times 5+b \)
\( b=15 \)
よって，直線 \( GG’ \) の式は \( y=-3x+15 \)
直線 \( BD \) は \( B(6，6)，D(-6，0) \) を通るので，
傾き \( =\dfrac{6-0}{6-(-6)}=\dfrac{1}{2} \)
直線 \( BD \) の式を \( y=\dfrac{1}{2}x+c \) とし，
\( x=6，y=6 \) を代入すると，
\( 6=\dfrac{1}{2} \times 6+c \)
\( c=3 \)
よって，直線 \( BD \) の式は \( y=\dfrac{1}{2}x+3 \)
点 \( G \) は直線 \( GG’ \) と直線 \( BD \) の交点なので，
\( -3x+15=\dfrac{1}{2}x+3 \)
\( -6x+30=x+6 \)
\( 7x=24 \)
\( x=\dfrac{24}{7} \)
\( PE’ \) は \( △OPE’ \) の高さ，\( QG’ \) は \( △OQG’ \) の高さになっています。
ここから，\( OE’=OG’ \) であるとき，\( PE’=QG’ \) になることを確認していきます。
\( △OPE’ \) と \( △OQG’ \) において，
\( PE’//QG’ \) であり，
錯角は等しいので，\( ∠PE’O=∠QG’O \) ･･･ ➀
対頂角は等しいので，\( ∠POE’=∠QOG’ \) ･･･ ➁
仮定より，\( OE’=OG’ \) ･･･ ➂
①②③より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △OPE’ \) と \( △OQG’ \)
対応する辺は等しいので，\( PE’=QG’ \)
よって，\( OE’=OG’ \) であるとき，\( PE’=QG’ \) である，
つまり，\( OE’=OG’ \) であるとき，\( △CE’F \) と\( △COG’ \) の高さは等しくなります。
大問５
右の図１のように，\( 1，2，3，4，5，6 \) の数が１つずつ書かれた６枚のカードがある。
大，小２つのさいころを同時に1回投げ，大きいさいころの出た目の数を \( a \)，小さいさいころの出た目の数を \( b \) とする。出た目の数によって，次の【操作１】，【操作２】を順に行い，残ったカードについて考える。
【操作１】 \( a \) の約数が書かれたカードをすべて取り除く。
【操作２】 \( b \) が書かれたカードを取り除く。ただし，【操作１】により, \( b \) が書かれたカードをすでに
取り除いていた場合は，残っているカードのうち，最も大きい数が書かれたカードを取り除く。
例
大きいさいころの出た目の数が \( 4 \)，小さいさいころの出目の数が \( 2 \) のとき，\( a=4，b=2 \) だから，
【操作１】 図１の \( \fbox{1} \) と \( \fbox{2} \) と \( \fbox{4} \) のカードを取り除くと，図２のようになる。
【操作２】 【操作１】で \( \fbox{2} \) のカードをすでに取り除いているので，図２の，最も大きい数が書かれた \( \fbox{6} \) のカードを取り除くと，図３のようになる。
この結果，残ったカードは \( \fbox{3}，\fbox{5} \) となる。
いま，図１の状態で，大，小２つのさいころを同時に１回投げるとき，次の問いに答えなさい。ただし，大，小２つのさいころはともに，\( 1 \) から \( 6 \) までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。
（ア） 次の の中の「く」「け」「こ」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。
（イ） 次の の中の「さ」「し」「す」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。
大問６
右の図は，点 \( A \) を頂点とし，\( BC=CD \) の二等辺三角形 \( BCD \) を底面，三角形 \( AEB \)，三角形 \( ABD \)，三角形 \( ADF \) を側面とする三角すいの展開図であり，\( ∠AEB=∠AFD=90° \) である。
また，点 \( G \) は辺 \( AB \) 上の点で，\( AG：GB=1：2 \) であり，点 \( H \) は辺 \( AD \) の中点である。
\( AE=10 \; cm，BC=5 \; cm，BD=6 \; cm \) のとき，この展開図を組み立ててできる三角すいについて，次の問いに答えなさい。
（ア） この三角すいの体積として正しいものを次の１～６の中から１つずつ選び，その番号を答えなさい。
１． \( 30 \; cm^3 \) ２． \( 40 \; cm^3 \)
３． \( 50 \; cm^3 \) ４． \( 100 \; cm^3 \)
５． \( 120 \; cm^3 \) ６． \( 160 \; cm^3 \)
展開図を組み立ててできる立体は右の図のようになります。
\( △BCD \) は二等辺三角形なので，
点 \( C \) から辺 \( BD \) に垂線をひいた交点を \( M \) とすると，
点 \( M \) は辺 \( BD \) の中点であり，\( BM=3 \; cm \) になります。
ここから，\( △BCM \) は３辺の比が \( 3：4：5 \) の直角三角形なので，\( CM=4 \; cm \) になります。
よって，この立体の体積は，
\( \left( 6 \times 4 \times \dfrac{1}{2} \right) \times 10 \times \dfrac{1}{3}=40 \; (cm^3) \)
（イ） 次の の中の「せ」「そ」「た」「ち」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。
組み立てた立体を辺 \( AB，AD \) で切断し，
面 \( ABC，ADC \) だけを展開すると右の図のようになります。
点 \( G \) から 線分 \( AI \) に垂線をひき，交点を \( P \)，
点 \( H \) から 線分 \( AI \) に垂線をひき，交点を \( Q \)
とすると，
\( △AGP \) ∽ \( △ABI \)，\( △AHQ \) ∽ \( △ADI \)
になっています。
\( △AGP \) ∽ \( △ABI \) であることから，\( AG：GB=1：2 \) より，\( AG：AB=1：3 \) なので，
\( GP：BI=AG：AB \)
\( GP：5=1：3 \)
\( GP=\dfrac{5}{3} \; (cm) \)
\( AP：AI=AG：AB \)
\( AP：10=1：3 \)
\( AP=\dfrac{10}{3} \; (cm) \)
\( △AHQ \) ∽ \( △ADI \)であることから，点 \( H \) は辺 \( AD \) の中点なので，
\( AH：AD=1：2 \) であり，
\( HQ：DI=AH：AD \)
\( HQ：5=1：2 \)
\( HQ=\dfrac{5}{2} \; (cm) \)
\( AQ：AI=AH：AD \)
\( AQ：10=1：2 \)
\( AQ=5 \; (cm) \)
右の図のように線分 \( GH \) を斜辺とする三角形 \( GHR \) を考えると，
\( GR=PQ=AQ-AP=5-\dfrac{10}{3}=\dfrac{5}{3} \; (cm) \)
\( HR=HQ+GP=\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{25}{6} \; (cm) \)
なので，三平方の定理より，
\( GH^2=GR^2+HR^2 \)
\( =\left( \dfrac{5}{3} \right)^2+\left( \dfrac{25}{6} \right)^2 \)
\( =\dfrac{25}{9}+\dfrac{25^2}{36} \)
\( =\dfrac{25 \times 4}{36}+\dfrac{25^2}{36} \)
\( =\dfrac{25(4+25)}{36} \)
\( GH=\dfrac{5\sqrt{29}}{6} \; (cm) \)
