兵庫県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

駐輪場Ｂの料金は
　\( x=20=20 \times 1 \) のとき \( y=100=100+20 \times 0 \)
　\( x=40=20 \times 2 \) のとき \( y=120=100+20 \times 1 \)
　\( x=60=20 \times 3 \) のとき \( y=140=100+20 \times 2 \)
　･･･
と増えていくので，\( y=240=100+20 \times 7 \) になるのは，
\( x=20 \times 8=160 \) のときになります。

よって，料金が等しくなるのは \( 140 \) 分を超えて \( 160 \) 分までになります。

【参考】
駐輪場Ｂに駐輪する場合をグラフに書き加えると

\( y=320=100+20 \times 11 \) になるのは，
\( x=20 \times 12=240 \) のときになります。

【参考】
グラフで考えると

よって，\( ab+3b \) の値が偶数となる確率は，
　\( 1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4} \)

ここまでより，\( (a-2b)(a-3b) \) が奇数になるのは，
\( a=1，3，5 \) かつ \( b=2，4，6 \) の場合になります。

ここから，すべての組み合わせについて \( (a-2b)(a-3b) \) の値を求めると，
　\( (a，b)=(1，2) \) のとき，
　　\( (a-2b)(a-3b)=(-3) \times (-5)=15 \)
　\( (a，b)=(1，4) \) のとき，
　　\( (a-2b)(a-3b)=(-7) \times (-11)=77 \)
　\( (a，b)=(1，6) \) のとき，
　　\( (a-2b)(a-3b)=(-11) \times (-17)=187 \)
　\( (a，b)=(3，2) \) のとき，
　　\( (a-2b)(a-3b)=(-1) \times (-3)=3 \)
　\( (a，b)=(3，4) \) のとき，
　　\( (a-2b)(a-3b)=(-5) \times (-9)=45 \)
　\( (a，b)=(3，6) \) のとき，
　　\( (a-2b)(a-3b)=(-9) \times (-15)=135 \)
　\( (a，b)=(5，2) \) のとき，
　　\( (a-2b)(a-3b)=1 \times (-1)=-1 \) → \( 3 \) 未満
　\( (a，b)=(5，4) \) のとき，
　　\( (a-2b)(a-3b)=(-3) \times (-7)=21 \)
　\( (a，b)=(5，6) \) のとき，
　　\( (a-2b)(a-3b)=(-7) \times (-13)=91 \)
となり，\( 3 \) 以上になる組み合わせは \( 8 \) 通りです。
すべての組み合わせは \( 6 \times 6=36 \)（通り）なので，
その確率は \( \dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9} \) です。

関数 \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) について，
\( x \) の変域が \( -2≦x≦4 \) のとき，\( x \) の変域は \( 0 \) を含んでいるので，
\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
\( x \) の絶対値が最も大きいのは \( x=4 \) のときなので，
このときの \( y \) の値は，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times 4^2=4 \)
であり，最大値は \( 4 \) になります。

よって，\( y \) の変域は，\( 0≦y≦4 \) になります。

平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので，
線分 \( AD，BC \) の交点を \( M \) とすると，点 \( M \) は，線分 \( BC \) の中点になります。
点 \( B \) の \( x \) 座標は \( 4 \)，点 \( C \) の \( x \) 座標は \( 0 \) なので，
点 \( M \) の \( x \) 座標は \( \dfrac{0+4}{2}=2 \)

点 \( M \) は，線分 \( AD \) の中点でもあるので，
点 \( D \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，点 \( A \) の \( x \) 座標が \( -2 \) であることから，
　\( \dfrac{-2+t}{2}=2 \)
　 \( -2+t=4 \)
　　　　 \( t=6 \)
となり，点 \( D \) の \( x \) 座標は \( 6 \) になります。

点 \( D \) は \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点なので，\( x=6 \) を代入すると，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times 6^2=9 \)

よって，点 \( D \) の座標は \( D(6，9) \) になります。

点 \( M \) は線分 \( AD \) の中点なので，\( A(-2，1)，D(6，9) \) より，
点 \( M \) の \( y \) 座標は，\( \dfrac{1+9}{2}=5 \) になります。
点 \( M \) は線分 \( BC \) の中点でもあるので，\( B(4，4) \) より，
点 \( C \) の \( y \) 座標は，\( 6 \) になります。
ここから，点 \( C \) の座標は，\( C(0，6) \) になります。

直線 \( AB \) と \( y \) 軸の交点を \( F \) とすると，
直線 \( AB \) の式は \( y=\dfrac{1}{2}x+2 \) なので，点 \( F \) の座標は \( F(0，2) \) になります。

\( y \) 軸上に \( △ABE’=2△ABC \) になるような点 \( E’ \) をとると，
\( CE’=CF=4 \) となる（注）ので，点 \( E’ \) の座標は \( E’(0，10) \) になります。
このとき，点 \( E’ \) を通り直線 \( AB \) と平行な直線の式は \( y=\dfrac{1}{2}x+10 \) であり，
点 \( E \) もこの直線上の点なので，
　\( \dfrac{1}{2}x+10=2x+8 \)
　　\( x+20=4x+16 \)
　　　　\( 3x=4 \)
　　　　 \( x=\dfrac{4}{3} \)
\( y=2x+8 \) に代入すると，
　\( y=2 \times \dfrac{4}{3}+8=\dfrac{32}{3} \)

よって，中央値（メジアン）は，\( \dfrac{7+8}{2}=7.5 \)（日）

下線部 \( b \) ･･･ 箱ひげ図のデータだけでは平均値を求めることはできません。

豊岡市の箱ひげ図から，第三四分位数が \( 15.5 \) 日になっていることに注目すると，
全部で１２か月分のデータを集計しているので，第三四分位数になるのは，
値の小さい方から９番目と１０番目の値の平均値になります。

９番目の値を \( x \) 日，１０番目の値を \( y \) 日とすると，
　\( \dfrac{x+y}{2}=15.5 \)
　 \( x+y=31 \)
になります。
\( x，y \) はともに整数で，\( x≦y \) であることから，
\( y=15 \) のときは \( x+y=31 \) を満たさないので，\( y≧16 \) であるとわかります。
\( y=16 \) のとき，\( x=15 \) なので，\( x≦15 \) であるとわかります。
ここから，降水日数が \( 16 \) 日未満の月は９か月あったことがわかります。

よって，\( 12 \) 日以上 \( 16 \) 日未満の階級の累積度数は，
　\( 9 \div 12=0.75 \)

２月４日から６日までの３日間のブライアスコアは，
　\( \{ (x-1)^2+(y-1)^2+(0.5-1)^2 \} \div 3=\{ (x-1)^2+(y-1)^2+0.25 \} \div 3 \)

と表すことができ，これらが等しいので，
　\( (x^2+y^2+0.25) \div 3=\{ (x-1)^2+(y-1)^2+0.25 \} \div 3 \)
　　　　\( x^2+y^2+0.25=(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)+0.25 \)
　　　　　　　　　　　\( 0=-2x-2y+2 \)
　　　　　　　　　　 \( 2y=-2x+2 \)
　　　　　　　　　　　\( y=-x+1 \)

同様に，ア～ウの３通りについて，
２月７日から９日までの３日間のブライアスコアを \( x \) を使った式で表し，
ブライアスコアの関係を方程式として解くと，

【ア　２月７日と８日の場合】
２月７日から９日までの３日間のブライアスコアは
　\( \{ (x-1)^2+(-x+1-1)^2+(0.5-0)^2 \} \div 3=\{ (x-1)^2+x^2+0.25 \} \div 3 \)
と表すことができます。
ここから，ブライアスコアの関係を方程式として解くと，
　\( \{ x^2+(x-1)^2+0.25 \} \div 3-\dfrac{2}{15}=\{ (x-1)^2+x^2+0.25 \} \div 3 \)
　　　　　　　　　　　　　　　 \( -\dfrac{2}{15}=0 \)
となるので不適

【イ　２月７日と９日の場合】
２月７日から９日までの３日間のブライアスコアは
　\( \{ (x-1)^2+(-x+1-0)^2+(0.5-1)^2 \} \div 3=\{ (x-1)^2+(-x+1)^2+0.25 \} \div 3 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\( =\{ 2(x-1)^2+0.25 \} \div 3 \)
と表すことができます。
ここから，ブライアスコアの関係を方程式として解くと，
　\( \{ x^2+(x-1)^2+0.25 \} \div 3-\dfrac{2}{15}=\{ 2(x-1)^2+0.25 \} \div 3 \)
　　　 \( \{ x^2+(x-1)^2+0.25 \}-\dfrac{2}{5}=2(x-1)^2+0.25 \)
　　　　　　　　　　　\( x^2-(x-1)^2=\dfrac{2}{5} \)
　　　　　　　　\( x^2-(x^2-2x+1)=\dfrac{2}{5} \)
　　　　　　　　　　　　　　 \( 2x-1=\dfrac{2}{5} \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　\( 2x=\dfrac{7}{5} \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　 \( x=\dfrac{7}{10}=0.7 \)
となり，\( 0≦x<0.5 \) を満たさないので不適

【ウ　２月８日と９日の場合】
２月７日から９日までの３日間のブライアスコアは
　\( \{ (x-0)^2+(-x+1-1)^2+(0.5-1)^2 \} \div 3=(x^2+x^2+0.25) \div 3 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \( =(2x^2+0.25) \div 3 \)
と表せるので，方程式として解くと，
　\( \{ x^2+(x-1)^2+0.25 \} \div 3-\dfrac{2}{15}=(2x^2+0.25) \div 3 \)
　　　 \( \{ x^2+(x-1)^2+0.25 \}-\dfrac{2}{5}=2x^2+0.25 \)
　　\( x^2+(x^2-2x+1)+0.25-\dfrac{2}{5}=2x^2+0.25 \)
　　　　　\( 2x^2-2x+1+0.25-\dfrac{2}{5}=2x^2+0.25 \)
　　　　　　　　　　　　　\( -2x+\dfrac{3}{5}=0 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　 \( 2x=\dfrac{3}{5} \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　\( x=\dfrac{3}{10}=0.3 \)
となり，\( 0≦x<0.5 \) を満たしています。

よって，雨が降った日の組み合わせは，ウ　２月８日と９日になります。