長崎県公立高校入試　令和７（2025）年度　Ｂ問題　解答＆解説

この式において，\( x，y \) の値がともに整数となるのは，\( x \) が \( 15 \) の約数になるときです。
\( 15 \) の正の約数は \( 1，3，5，15 \) なので，
　\( x=1 \) のとき，\( y=\dfrac{15}{1}=15 \)
　\( x=3 \) のとき，\( y=\dfrac{15}{3}=5 \)
　\( x=5 \) のとき，\( y=\dfrac{15}{5}=3 \)
　\( x=15 \) のとき，\( y=\dfrac{15}{15}=1 \)

反比例を表すグラフは右の図のように２本あります。
\( x，y \) の値がともに整数となる点を求めるので，
負の約数についても考える必要があります。
\( 15 \) の負の約数は \( -1，-3，-5，-15 \) なので，
　\( x=-1 \) のとき，\( y=\dfrac{15}{-1}=-15 \)
　\( x=-3 \) のとき，\( y=\dfrac{15}{-3}=-5 \)
　\( x=-5 \) のとき，\( y=\dfrac{15}{-5}=-3 \)
　\( x=-15 \) のとき，\( y=\dfrac{15}{-15}=-1 \)

\( △FGH \) において，三平方の定理より，
　\( FH^2=4^2+5^2=41 \)
\( △BFH \) において，三平方の定理より，
　\( BH^2=3^2+41=50 \)
　 \( BH=5\sqrt{2} \; (cm) \)（ \( BH>0 \) より）

\( l//m \) より同位角は等しいので，右の図のように，
下の三角形の外角は \( 42° \) になっています。
よって，
　\( x+20°=42° \)
　　　　 \( x=22° \)

手順１　２点 \( A，B \) を中心に円弧を描く
（交点を \( C，D \) とします。）
手順２　２点 \( C，D \) を通る直線を描く
（線分 \( AB \) との交点を \( E \) とします。）
手順３　点 \( E \) を中心に線分 \( AB \) を半径とする
円弧を描く

２つの数の積が奇数になるのは（奇数）\( \times \)（奇数）のときなので，袋Ａから取り出した玉が \( 1，3，5 \) の３通りの場合に限られます。
ここから，（奇数）\( \times \)（奇数）の組み合わせが \( 15 \) 通りになるのは，右の図のように，袋Ｂの中に奇数が書かれている球が５個入っているときになります。

関数 \( y=ax^2 \; (a>0) \) について，
\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，
\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるとき，
\( y \) の値は最大値をとります。

\( x \) の変域が \( -4≦x≦2 \) なので，
\( y \) の最小値は \( 0 \)，
\( x \) の絶対値が最も大きくなるのは
\( x=-4 \) のときなので，
　\( y=(-4)^2=16 \)

よって，\( y \) の変域は，\( 0≦y≦16 \) になります。

点 \( B \) は \( y=x^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( 2 \) なので，\( y \) 座標の値は，
　\( y=2^2=4 \)

直線 \( AB \) の式を \( y=mx+n \) とすると，
\( A(-4，16)，B(2，4) \) を通るので，
　\( m=\dfrac{4-16}{2-(-4)}=-2 \)
\( y=x+n \) に \( x=2，y=4 \) を代入すると，
　\( 4=-2 \times 2+n \)
　\( 4=-4+n \)
　\( n=8 \)

点 \( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とするとき，
\( P，Q \) の座標は
　\( P(t，t^2)，Q(t+3，(t+3)^2) \)
と表すことができます。

直線 \( AB \) の傾きが \( -2 \) であることから，
直線 \( PQ \) の傾きも \( -2 \) なので，
　\( \dfrac{(t+3)^2-t^2}{(t+3)-t}=-2 \)
　　　　 \( \dfrac{6t+9}{3}=-2 \)
　　　　　\( 6t+9=-6 \)
　　　　　　　 \( t=-\dfrac{5}{2} \)

点 \( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とするとき，
\( R，S \) の座標は
　\( P(t，-2t+8)，Q(t+3，-2(t+3)+8) \)
と表すことができます。

このとき，線分 \( PR，QS \) の長さは，
　\( PR=(-2t+8)-t^2=-t^2-2t+8 \)
　\( QS=\{-2(t+3)+8\}-(t+3)^2 \)
　　　\( =(-2t+2)-(t^2+6t+9) \)
　　　\( =-t^2-8t-7 \)
と表すことができます。

\( △ABC \) において，三平方の定理より，
　\( AB^2=(2\sqrt{3})^2+(\sqrt{6})^2=18 \)
　 \( AB=3\sqrt{2} \; (cm) \)
\( △ABC \) ∽ \( △ACD \) なので，
　 \( AB：AC=AC：AD \)
　\( 3\sqrt{2}：2\sqrt{3}=2\sqrt{3}：AD \)
　　\( 3\sqrt{2}AD=12 \)
　　　　\( AD=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2} \; (cm) \)

\( △ADC \) において，
\( ∠ADC \) は直径 \( AC \) に対する円周角なので，
　\( ∠ADC=90° \)
\( ∠ADC=90°，∠BAC=45° \) より，
\( △ADC \) は直角二等辺三角形であり，
　\( AD=CD \)

\( △AOD \) と \( △COD \) において，
\( AD=CD，AO=CO，DO \) は共通より
３組の辺がそれぞれ等しいので，
　\( △AOD≡△COD \)
対応する角は等しいので，
　\( ∠AOD=∠COD=90° \)

\( △ABC \) と \( △ACD \) はどちらも直角二等辺三角形であることから，
\( △BCD=\dfrac{1}{2}△ABC \) なので，
　\( △BCD=\dfrac{1}{2}△ABC \)
　　　　　\( =\dfrac{1}{2} \times \left( 2\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} \times \dfrac{1}{2} \right) \)
　　　　　\( =3 \; (cm^2) \)

（１）と同様に影付きの部分を \( △BCD \) と考えると，求める体積は
\( △ABC \) を１回転させてできる円すいから
\( △ADO \) を１回転させてできる円すいと
\( △CDO \) を１回転させてできる円すいを
取り除いたものになります。

\( △ABC \) を１回転せてできる円すいの体積は，
　\( \{ \pi{} \times (2\sqrt{3})^2 \} \times 2\sqrt{3} \times \dfrac{1}{3}=8\sqrt{3}\pi{} \; (cm^3) \)
\( △ADO，△CDO \) を１回転せてできる円すいの
体積は，
　\( \{ \pi{} \times (\sqrt{3})^2 \} \times \sqrt{3} \times \dfrac{1}{3}=\sqrt{3}\pi{} \; (cm^3) \)
なので，求める立体の体積は，
　\( 8\sqrt{3}\pi{}-2 \times \sqrt{3}\pi{}=6\sqrt{3}\pi{} \; (cm^3) \)

　（カ）　
右の図より，半径 \( a \; cm  \) の円に接する正方形の１辺の長さは \( 2a \; cm  \) なので，周の長さは
　\( 2a \times 4=8a \; (cm) \)

　（キ）　
右の図のように，半径 \( a \; cm  \) の円に接する正六角形を６個の正三角形に分けると，１辺の長さは \( \dfrac{2}{\sqrt{3}}a=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}a \; (cm)  \) なので，周の長さは
　\( \dfrac{2\sqrt{3}}{3}a \times 6=4\sqrt{3}a \; (cm) \)