静岡県公立高校入試　令和７（2025）年度　解答＆解説

手順３と手順５の直線の交点が求める点 \( O \) になります。

毎分 \( x \; L \) の割合で \( y \) 分間水を入れると満水（\( 90 \; L \)）になるので，
　\( xy=90 \)
　 \( y=\dfrac{90}{x} \)

これをもとに，袋Ａ，Ｂから取り出した玉の組み合わせを樹形図に書き出すと，
袋Ａから取り出した玉に書いてある数と，袋Ｂから取り出した玉に書いてある数が
同じである組み合わせは \( 7 \) 通り，すべての組み合わせは \( 16 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{7}{16} \)

昨年の１月の二酸化炭素の排出量を \( x \; kg \)，昨年の２月の二酸化炭素の排出量を \( y \; kg \) とすると，
\( \left\{ \begin{array}{}
0.8x+1.1y=498 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
0.2x-0.1y=42 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
➀ \( \times 10 \) すると，
　\( 8x+11y=4980 \) ･･･ ➀’
➁ \( \times 40 \) すると，
　\( 8x-4y=1680 \) ･･･ ➁’
➁’\( – \) ➀’すると，
　\( 15y=3300 \)
　　\( y=220 \)
➁’に代入すると，
　\( 8x-4 \times 220=1680 \)
　　　　　　 \( 8x=2560 \)
　　　　　　　\( x=320 \)
となり，昨年の１月の二酸化炭素の排出量は \( 320 \; kg \)，
昨年の２月の二酸化炭素の排出量は \( 220 \; kg \)
なので，今年の１月の二酸化炭素の排出量は
　\( 0.8 \times 320=256 \; (kg) \)
今年の２月の二酸化炭素の排出量は
　\( 1.1 \times 220=242 \; (kg) \)

今年の１月の二酸化炭素の排出量は，昨年の１月より \( 20\% \) 減少しているので，
昨年から今年の１月の二酸化炭素の排出量の減少分は，\( 0.2x \)
今年の１月の二酸化炭素の排出量は，\( 0.8x \)

今年の２月の二酸化炭素の排出量は，昨年の２月より \( 10\% \) 増加しているので，
昨年から今年の２月の二酸化炭素の排出量の増加分は，\( 0.1y \)
今年の２月の二酸化炭素の排出量は，\( 1.1y \)
と表すことができます。

ここから，
今年の１月と２月の，二酸化炭素の排出量の合計は \( 0.8x+1.1y \) と表すことができ，
これが \( 498 \; kg \) なので，方程式で表すと，
　\( 0.8x+1.1y=498 \) ･･･ ➀

次に，昨年から今年で１月と２月の二酸化炭素の排出量の合計は \( 42 \; kg \) 減少していたので，
昨年から今年の二酸化炭素の排出量の合計の減少分は \( 0.2x-0.1y \) と表すことができ，
これが \( 42 \; kg \) なので，方程式で表すと，
　\( 0.2x-0.1y=42 \) ･･･ ➁

となります。

点 \( M \) を通り，面 \( DEL \) と平行な面と線分 \( KL \) の交点を \( P \)，
点 \( N \) を通り，面 \( DEL \) と平行な面と線分 \( KL \) の交点を \( Q \)
とし，この三角柱を面 \( ADLK \)，点 \( M \) を通り，面 \( DEL \) と平行な面，
点 \( N \) を通り，面 \( DEL \) と平行な面 で切断すると，
下の図のような三角柱が残り，この三角柱の中に直角三角形 \( NPM \) ができます。

ここから，線分 \( MP \) と \( NP \) の長さを求めることができれば，
三平方の定理を使って線分 \( MN \) の長さを求められます。

以上より，\( △NPM \) において，三平方の定理より，
　\( MN^2=MP2+PN^2 \)
　　　　\( =2^2+(\sqrt{13})^2 \)
　　　　\( =17 \)
　 \( MN=\sqrt{17} \; (cm) \)（\( MN>0 \) より）

図６に累積度数を書き込んでいくと下のようになり，
\( 60 \) 番目と \( 61 \) 番目の記録は，\( 24 \) 回以上 \( 28 \) 回未満の階級に含まれているので，
この階級の度数は，\( 25 \) 人になります。

ア ･･･ 図６のヒストグラムは，\( 120 \) 人の記録を集計しているので，
　　　 第１四分位数は，記録の少ない方から \( 30 \) 番目と \( 31 \) 番目の記録の平均値になります。
　　　 \( 30 \) 番目と \( 31 \) 番目の記録は，\( 20 \) 回以上 \( 24 \) 回未満の階級に含まれていることから，
　　　 第１四分位数も \( 20 \) 回以上 \( 24 \) 回未満の階級に含まれるので，正しくありません。

イ ･･･ 各組の人数は \( 30 \) 人なので，中央値は，記録の少ない方から \( 15 \) 番目と \( 16 \) 番目の記録の
　　　 平均値になっています。

　　　 図７の箱ひげ図から，１組の中央値は \( 25 \) 回なので，
　　　 \( 15 \) 番目の記録は \( 25 \) 回以下，\( 16 \) 番目の記録は \( 25 \) 回以上
　　　 であることがわかります。
　　　 \( 16 \) 番目の記録が \( 25 \) 回の場合，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 14 \) 人以下
　　　 \( 16 \) 番目の記録が \( 26 \) 回以上の場合，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 15 \) 人
　　　 なので，どちらの場合においても，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 15 \) 人以下になります。

　　　 同様に，３組の中央値は \( 24 \) 回なので，
　　　 \( 15 \) 番目の記録は \( 24 \) 回以下，\( 16 \) 番目の記録は \( 24 \) 回以上
　　　 であることがわかります。
　　　 \( 16 \) 番目の記録が \( 24 \) 回または \( 25 \) 回の場合，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 14 \) 人以下
　　　 \( 16 \) 番目の記録が \( 26 \) 回以上の場合，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 15 \) 人
　　　 なので，どちらの場合においても，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 15 \) 人以下になります。

ウ ･･･ 四分位範囲の大きさは，箱ひげ図の箱の長さで比較することができ，
　　　 箱の長さが長い方が四分位範囲が大きくなります。

　　　 図７より，２組の方が４組より箱の長さが長いので，
　　　 四分位範囲は，２組の方が４組より大きく，正しくありません。

エ ･･･ 図６より，記録が \( 36 \) 回以上 \( 40 \) 回未満の生徒の人数は，\( 3 \) 人であることがわかります。
　　　 図７より，２組，３組，４組の最大値は \( 36 \) 回未満なので，
　　　 記録が \( 36 \) 回以上の生徒は１組にしかいないことがわかります。
　　　 また，１組の最大値が \( 36 \) 回であることから，\( 37 \) 回，\( 38 \) 回，\( 39 \) 回の生徒はいません。

　　　 以上より，１組で上体起こしの記録が \( 36 \) 回の生徒の人数は，\( 3 \) 人であると判断できます。

\( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) で，\( x \) の変域が \( -2≦x≦3 \) のとき，
\( x \) の変域は \( 0 \) を含んでいるので，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるのは \( x=3 \) のときなので，
\( y \) の最大値は，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times 3^2=\dfrac{9}{4} \)

よって，求める \( y \) の変域は \( 0≦y≦\dfrac{9}{4} \) になります。

点 \( F \) は，直線 \( OB \) 上の点です。
直線 \( OA \) は原点と \( A(2，4a) \) を通るので，
傾きは \( \dfrac{4a-0}{2-0}=2a \) と表すことができます。

点 \( D \) は，直線 \( y=ax^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( -2 \) なので，\( y \) 座標は \( 4a \) と表すことができる。
点 \( E \) は線分 \( DO \) の中点にあたるので，
点 \( E \) の \( y \) 座標は \( 2a \) ･･･ （あ）

点 \( C \) は，直線 \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( -2 \) なので，\( y \) 座標は \( 1 \) である。
直線 \( CA \) の式を \( y=mx+n \) とすると，
　\( m=\dfrac{4a-1}{2-(-2)}=\dfrac{4a-1}{4} \)
\( y=\dfrac{4a-1}{4}x+n \) に \( x=2，y=4a \) を代入すると，
　\( 4a=\dfrac{4a-1}{4} \times 2+n \)
　 \( n=\dfrac{4a+1}{2} \)
なので，直線 \( CA \) の式は \( y=\dfrac{4a-1}{4}x+\dfrac{4a+1}{2} \)
この直線において，\( x=-1 \) のときの \( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{4a-1}{4} \times (-1)+\dfrac{4a+1}{2} \)
　　\( =\dfrac{4a+3}{4} \) ･･･ （い）

（あ）と（い）の値は等しくなるので，
　\( 2a=\dfrac{4a+3}{4} \)
　 \( a=\dfrac{3}{4} \)

ここから，点 \( A \) の \( x \) 座標から点 \( E \) の \( x \) 座標を引いた値と
点 \( B \) の \( x \) 座標から点 \( G \) の \( x \) 座標を引いた値は等しくなります。

弧の長さは中心角の大きさに比例するので，
　\( \stackrel{\huge\frown}{ DP }=2 \pi{} \times 9 \times \dfrac{92°}{360°} \)
　　　\( =18 \pi{} \times \dfrac{23}{90} \)
　　　\( =\dfrac{23}{5}\pi{} \; (cm) \)