宮崎県公立高校入試　令和５（2023）年度　解答＆解説

取り出したカードの組み合わせを表に表し，同じ数字になるところに
○をつけてみます。
すべての組み合わせは２５通りで，同じ数字になるのは５通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5} \)

じゃがいもの分量について方程式をつくると，
　\( 50x+120y=1120 \) ･･･ ①
玉ねぎの分量についても，方程式をつくると，
１人分に必要な玉ねぎの量は，カレーは６５ｇ， 肉じゃがは５０ｇ なので，
　\( 65x+50y=820 \) ･･･ ②
①➁を連立方程式として解くと，
　\( x=8，y=6 \)

\( ∠ACB \) は直径 \( AB \) に対する円周角なので，
　\( ∠ACB=90° \)
線分 \( CD \) は \( ∠ACB \) の二等分線なので，
　\( ∠ACD=45° \)
\( ∠CDB \) は \( △ACD \) の外角なので，
　\( ∠CDB=∠CAD+∠ACD=70° \)

\( △BCD \)と\( △DBF \) において，
線分 \( CD \) は \( ∠ACB \) の二等分線なので，
　\( ∠ACD=∠BCD \) ･･･ ➀
弧 \( AE \) の円周角なので，
　\( ∠ACD=∠DBF \) ･･･ ➁
➀➁より，
　\( ∠BCD=∠DBF \) ･･･ ➂
\( CB//DF \) より，錯角は等しいので，
　\( ∠CBD=∠BDF \) ･･･ ➃
➂➃より，２組の角がそれぞれ等しいので，\( △BCD \)∽\( △DBF \)

\( △ACB \) は直角三角形なので，三平方の定理より，
　\( AB^2=AC^2+BC^2 \)
　　　 \( =6^2+3^2 \)
　　　 \( =45 \)
　 \( AB=3\sqrt{5} \; (cm) \) ( \( AB>0 \) より)

線分 \( CD \) は \( ∠ACB \) の二等分線なので，
　\( AD：DB=AC：BC=6：3=2：1 \)
よって，
　\( DB=\dfrac{1}{3}AB \)
　　　\( =\dfrac{1}{3} \times 3\sqrt{5} \)
　　　\( =\sqrt{5} \; (cm) \)

(1) より，\( △BCD \)∽\( △DBF \) であり，
相似比は，\( BC：DB=3：\sqrt{5} \)
相似な三角形の面積比は相似比の２乗の比になるので，
　\( △BCD：△DBF=3^2：\sqrt{5}^2=9：5 \)
　\( △DBF=\dfrac{5}{9}△BCD \) ･･･ ➀

また，相似な三角形の対応する辺の比は等しいので
　\( BC：DB=BD：DF \)
　　 \( 3：\sqrt{5}=\sqrt{5}：DF \)
　　　　\( DF=\dfrac{5}{3} \; (cm) \)

\( CB//DF \) より，\( △DEF \)∽\( △CEB \) なので，
　\( CB：DF=3：\dfrac{5}{3}=9：5 \)

相似な三角形の面積比は相似比の２乗の比になるので，
　\( △DEF：△CEB=5^2：9^2=25：81 \)
四角形 \( BCDF=△CEB-△DEF \) より，
　\( △DEF： \) 四角形 \( BCDF=25：(81-25)=25：56 \)
　\( △DEF=\dfrac{25}{56} \) 四角形 \( BCDF \) ･･･ ➁

線分 \( PQ \) が，赤→緑→オレンジ→青 と進んでいくとすると，
線分 \( PQ \) が動いてできる図形は右の図で灰色の部分になります。
このとき，線分 \( PQ \) は必ず 線分 \( AG \) の中点を通っています。

\( AO=GO \) より，\( △AOH=△GOH \) なので，
\( △GOH \) の部分の面積を \( △AOH \) に移すと，
\( △ABH \) の面積と等しくなっています。

よって，求める面積は，
　\( AB \times AH \times \dfrac{1}{2}=6 \times 6\sqrt{2} \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　　　　　\( =18\sqrt{2} \; (cm^2) \)

問３と同じようにできる立体を考えると，右の図のようになります。
この立体を面 \( O’EF \) で切断すると，
この立体は，四角すい \( O’-ABFE \)，三角すい \( O’-OEF \)，
三角すい \( O’-OGH \) の３つに分かれます。

【四角すい \( O’-ABFE \) の体積】
線分 \( O’O \) は面 \( EFGH \) に対して垂直なので，
点 \( O \) が対角線の交点にあたることから，
四角すい \( O’-ABFE \) の高さは \( 3 \; cm \) になります。
よって，
四角すい \( O’-ABFE=6 \times 6 \times 3 \times \dfrac{1}{3}=36 \; (cm^3) \)

【三角すい \( O’-OGH \) の体積】
\( △BFH \) において，\( FO=HO，BO’=HO’ \) より，
\( BF：O’O＝2：1 \) なので，\( O’O＝\dfrac{1}{2}BF=3 \; (cm) \)
また，\( △OGH=\dfrac{1}{4} \) 正方形 \( EFGH \) なので，
三角すい \( O’-OGH=6 \times 6 \times \dfrac{1}{4} \times 3 \times \dfrac{1}{3}=9 \; (cm^3) \)

【三角すい \( O’-OEF \) の体積】
\( △OGH=△OEF \)，高さ共通より，
三角すい \( O’-OEF \) と三角すい \( O’-OGH \) の体積は等しい。