大問１
(1) \( -5-(-7) \)
(2) \( (-12) \div \dfrac{4}{3} \)
(3) \( 7-5 \times (-2) \)
(4) \( \sqrt{12}+\sqrt{27} \)
(5) \( (-3a)^2 \times (-2b) \)
(6) \( 3(5x+2y)-4(3x-y) \)
大問２
(1) 一次方程式 \( 5x-6=2x+3 \) の解は， \( x= \) である。
(2) 連立方程式 \( \left \{ \begin{array}{}
2x+y=5 \\
x-2y=5
\end{array} \right. \) の解は，\( x= \) ，\( y= \) である。
(3) \( (x+3)(x-3) \) を展開して整理すると， である。
(4) \( x^2+2x-15 \) を因数分解すると， である。
(5) 二次方程式 \( 2x^2+5x+1=0 \) の解は，\( x= \) である。
(6) \( \sqrt{5}<n<\sqrt{11} \) となるような自然数 \( n \) の値は，\( n= \) である。
(7) 右の図１のように円 \( O \) の周上に，５点 \( A，B，C，D，E \) があるとき，\( ∠x= \) °である。
弧 \( BC \) の円周角なので \( ∠BFC=∠BAC=30° \)
弧 \( CD \) の円周角なので \( ∠CFD=∠CED=34° \)
\( ∠BFD \) は弧 \( BD \) の円周角，\( ∠BOD \) は弧 \( BD \) の中心角なので，
\( ∠BOD=2∠BFD=2(30°+34°)=128° \)
(8) １個１２０円のメロンパンが１０%値上がりした。 このメロンパンを３個買うとき，代金は 円である。
ただし，消費税は考えないものとする。
(9) 右の図２のグラフは，あるクラスの生徒２０人にクイズを6問出し，クイズに正解した問題数と人数の関係を表したものである。２０人がクイズに正解した問題数について次のア～ウの代表値を求めたとき，その値が最も大きいものは である。 次のア～ウのうちから1つ選び，記号で答えなさい。
ア 平均値 イ 中央値 ウ 最頻値
大問３
那覇市に住む太郎さんは，２０１９年から２０２２年までの４年間について那覇市の気温のデータを調べてみた。下の表は，それぞれの年の５月の３１日間について，日最高気温のデータをまとめたもので，図はそのデータをもとに箱ひげ図に表したものである。
このとき，次の各問いに答えなさい。
ただし，日最高気温とは，１日の中での最高気温のことである。
問１ ２０２２年５月の日最高気温を表す箱ひげ図を上の図のＡ～Ｄのうちから１つ選び，記号で答えなさい。
問２ ２０２０年５月の日最高気温の範囲を求めなさい。
問３ 那覇市の５月の日最高気温について，上の表および図から読み取れるものを，次のア～エのうちから１つ選び，記号で答えなさい。
ア ２０２２年の四分位範囲は，他の年の四分位範囲と比べて最も大きい。
イ ２０２２年は，日最高気温が２５℃以下の日数が７日以上あった。
ウ ２０２２年は，日最高気温が３０℃を超えた日があった。
エ どの年も日最高気温の平均値は，中央値よりも小さい。
大問４
２つのさいころＡ，Ｂを同時に投げる。Ａの出た目の数を十の位，Ｂの出た目の数を一の位として２けたの整数 \( n \) をつくる。
このとき，次の各問いに答えなさい。
ただし，どちらのさいころも１から６までの目の出方は，同様に確からしいものとする。
問１ 整数 \( n \) は全部で何通りできるか求めなさい。
問２ \( n≧55 \) となる確率を求めなさい。
問３ 整数 \( n \) が３の倍数となる確率を求めなさい。
大問５
ある電話会社には，１か月の電話使用料金について，次のようなＡ，Ｂ，Ｃの３種類の料金プランがある。
ただし，１か月の電話使用料金は基本料金と通話料金の合計金額とする。
このとき，次の各問いに答えなさい。
ただし，消費税は考えないものとする。
問１ Ａプランで１か月に \( x \) 分通話したときの電話使用料金を \( y \) 円とするとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。
問２ 右の図はＢプランで1か月に \( x \) 分通話したときの電話使用料金を \( y \) 円として \( x \) と \( y \) の関係をグラフに表したものである。Ｂプランで１か月に８０分通話したときの電話使用料金を求めなさい。
問３ 花子さんは，「私にとっては３種類の料金プランのうちＢプランであると電話使用料金が最も安くなります。」と話している。花子さんの１か月の通話時間は何分から何分までの間と考えられるか，答えなさい。
問２のグラフにＡプランとＣプランの直線を書きたすと
右の図のようになります。
このグラフの中でＢプランが最も安くなるのは，
Ｂプランを表す黒の線が一番下にくるときです。
これにあてはまるのは，緑で色を付けた部分になります。
Ａプランを表す赤の直線の式は \( y=50x \) なので，
黒の直線と交わるとき，つまり，\( y=2000 \) になるときの
\( x \) の値は，
\( 2000=50x \)
\( x=40 \)
Ｃプランを表す青の直線の式は \( y=2960 \) なので，
黒の直線と交わるとき，
つまり，黒の直線の \( y \) の値が \( y=2960 \) になるとき，
基本料金以外にかかる通話料金は，\( 2960-2000=960 \)（円）になります。
１分間当たりの通話料金は４０円なので，
追加料金がかかるのは \( \dfrac{960}{40}=24 \) （分）
よって，\( y=2960 \) になるときの \( x \) の値は，\( x=60+24=84 \)
以上より，Ｂプランが最も安くなるのは４０分から８４分の間になります。
大問６
結奈さんと琉斗さんは，連続する２つの奇数では，大きい奇数の２乗から小さい奇数の２乗をひいた数がどんな数になるか調べた。
\( 1，3 \) のとき \( 3^2-1^2=9-1=8 \)
\( 3，5 \) のとき \( 5^2-3^2=25-9=16 \)
\( 5，7 \) のとき \( 7^2-5^2=49-25=24 \)
結奈さんは，これらの結果から次のことを予想した。
連続する2つの奇数では，大きい奇数の２乗から小さい奇数の２乗をひいた数は８の倍数になる。
上記の<結奈さんの予想>がいつでも成り立つことは，次のように証明できる。
(証明)
\( n \) を整数とすると，連続する２つの奇数は
\( 2n+1，2n +3 \)
と表せる。 大きい奇数の２乗から小さい奇数の２乗をひいた数は
\( (2n+3)^2-(2n+1)^2 \)
\( =4n^2+12n+9-(4n^2+4n+1) \)
\( =8n+8 \)
\( =8(n+1) \)
\( n+1 \) は整数だから， \( 8(n+1) \) は８の倍数である。
したがって，連続する２つの奇数では，大きい奇数の２乗から
小さい奇数の２乗をひいた数は８の倍数になる。
次の各問いに答えなさい。
問１ 二人は，「連続する２つの奇数」を「連続する２つの偶数」に変えたとき，どんな数になるかを調べることにした。琉斗さんは，いくつか計算した結果から次のことを予想した。 にあてはまることばを答えなさい。
連続する２つの偶数では，大きい偶数の２乗から小さい偶数の２乗をひいた数は になる。
問２ 問１の <琉斗さんの予想> がいつでも成り立つことを証明しなさい。
大問７
右の図のような \( ∠B=70° \) の \( △ABC \) がある。
辺 \( AC \) 上に \( ∠ABP=35° \) となるような点 \( P \) を定規とコンパスを使って作図しなさい。
ただし，点を示す記号 \( P \) をかき入れ，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。
手順１ 点 \( B \) を中心に線分 \( AB，BC \) と交わるように弧を描く。
（交点を点 \( D，E \) とします）
手順２ 点 \( D，E \) を中心に弧を描く。
（交点を点 \( F \) とします）
手順３ 点 \( B，F \) を通る直線を描く。
手順３の直線と線分 \( AC \) の交点が作図する点 \( P \) になります。
大問８
右の図のように，関数 \( y=ax^2 \) のグラフ上に２点 \( A，B \) があり，\( x \) 座標はそれぞれ \( -2，1 \) である。
また、この関数は，\( x \) の値が \( -2 \) から \( 1 \) まで増加するときの変化の割合は \( 2 \) である。
このとき，次の各問いに答えなさい。
問１ \( a \) の値は次のように求めることができる。
下の (1)，(2) にあてはまる数や式を答えなさい。
関数 \( y=ax^2 \) について
\( x=-2 \) のとき，\( y= \) (1) である。
\( x=1 \) のとき，\( y=a \) である。
よって，変化の割合が \( 2 \) であることから，
\( a \) の値は (2) である。
問２ ２点 \( A，B \) を通る直線の式を求めなさい。
問１より，\( a=-2 \) なので，\( B \) の \( y \) 座標は，\( y=-2 \) であり，\( B(1，-2) \)
２点 \( A，B \) を通る直線の傾きは \( 2 \) なので，
この直線の式を \( y=2x+b \) とし，\( x=1，y=-2 \) を代入すると，
\( -2=2 \times 1+b \)
\( b=-4 \)
よって，求める直線の式は，\( y=2x-4 \)
問３ \( △OAB \) の面積を求めなさい。
線分 \( AB \) と \( y \) 軸の交点を点 \( C \) とし，
\( △OAC \) と\( △OBC \) に分けて考えます。
問２より，\( C \) の \( y \) 座標は \( -4 \) なので，
線分 \( OC \) を底辺と考えると，
\( △OAC \) は，底辺が \( 4 \)，高さが \( 2 \)，
\( △OBC \) は，底辺が \( 4 \)，高さは \( 1 \) なので，
\( △OAB=△OAC+△OBC \)
\( =\left( 4 \times 2 \times \dfrac{1}{2} \right)+\left( 4 \times 1 \times \dfrac{1}{2} \right) \)
\( =4+2 \)
\( =6 \)
問４ 関数 \( y=ax^2 \) のグラフ上に \( x \) 座標が \( t \) である点 \( P \) をとると，\( △PAB \) の面積と \( △OAB \) の面積が等しくなった。
このとき，点 \( P \) の座標を求めなさい。ただし，点 \( P \) は原点 \( O \) と異なり，\( -2≦t≦1 \) とする。
等積変形の考え方から，\( OP//AB \) のとき，\( △PAB \) と \( △OAB \) の面積が等しくなります。
直線 \( AB \) の傾きは \( 2 \) なので，直線 \( OP \) の式は，\( y=2x \)
よって，点 \( P \) は \( y=-2x^2 \) と \( y=2x \) の交点になるので，
\( -2x^2=2x \)
\( 2x^2+2x=0 \)
\( x^2+x=0 \)
\( x(x+1)=0 \)
\( x=0，-1 \)
\( -2≦t≦1 \) なので，あてはまる \( x \) の値は \( x=-1 \)
\( y=2x \) に代入すると，\( y=-2 \)
以上より，\( P(-1，-2) \)
大問９
図のように，\( △OAB \) があり，辺 \( OA \) 上に点 \( C \) をとる。点 \( C \) を通り，辺 \( AB \) に平行な直線と辺 \( OB \) との交点を点 \( D \) とする。また，下の図のような点 \( E \) をとり，線分 \( EO \) と辺 \( AB \)，線分 \( CD \) との交点をそれぞれ点 \( P \)，点 \( Q \) とし，線分 \( ED \) と辺 \( AB \) との交点を点 \( R \) とする。
このとき，\( RP=RD，∠OQD=110° \) ，
\( ∠BDR =70° \) であった。次の各問いに答えなさい。
問１ \( ∠EPR \) を求めなさい。
問２ \( △REP \) と \( △RBD \) が合同であることを証明しなさい。
\( △REP \) と \( △RBD \) において，
問１より，\( ∠EPR=70° \) ･･･ ➀
仮定より，\( ∠BDR=70° \) ･･･ ➁
➀➁より，\( ∠EPR=∠BDR \) ･･･ ➂
仮定より，\( RP=RD \) ･･･ ➃
対頂角は等しいので，\( ∠ERP=∠BRD \) ･･･ ➄
➂➃➄より，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，\( △REP≡△RBD \)
問３ \( OA：OC=\sqrt{3}：1 \) のとき，\( OQ：QE \) を求めなさい。
\( △OAP \) と \( △OCQ \) において，
\( AB//CD \) より，同位角は等しいので，\( ∠OPA=∠OQC \)
また，\( ∠Q \) は共通なので，
２組の角がそれぞれ等しいので，\( △OAP \) ∽ \( △OCQ \)
対応する辺の比は等しいので，
\( OP：OQ=OA：OC=\sqrt{3}：1 \)
\( △OAB \) と \( △OCD \) においても同様に
\( △OAB \) ∽ \( △OCD \) なので，
\( OB：OD=OA：OC=\sqrt{3}：1 \)
\( △ODE≡△OPB \) であり，\( OE=OB，OD=OP \) なので，
\( OE：OP=OB：OD=\sqrt{3}：1=3：\sqrt{3} \) ･･･ ➀
また，\( OP：OQ=\sqrt{3}：1=\sqrt{3}：1 \) ･･･ ➁ なので，
➀➁より，\( OE：OP：OQ=3：\sqrt{3}：1 \)
ここから，\( OQ：OE=1：3 \)
よって，
\( OQ：QE=OQ：(OE-OQ)=1：2 \)
\( △ODE \) と \( △OPB \) において，
\( ∠ODE=180°-∠BDR=110° \) ･･･ ➀
\( AB//CD \) より，同位角は等しいので，
\( ∠OPB=∠OQD=110° \) ･･･ ➁
➀➁より，\( ∠ODE=∠OPB=110° \) ･･･ ➂
問２より，\( △REP≡△RBD \) なので，
\( ∠OED=∠OBP \) ･･･ ➃
\( ER=BR \) ･･･ ➄
仮定より，\( RP=RD \) ･･･ ⑥
➄➅より，
\( ER+RD=BR+RP \)
\( ED=BP \) ･･･ ⑦
➂➃⑦より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △ODE≡△OPB \)
大問１０
右の図１の四角すい \( OABCD \) において，面 \( ABCD \) は
\( AB=AD=\sqrt{3} \; cm，BC=CD=2 \; cm \) の四角形である。
また，辺 \( OA \) は面 \( ABCD \) と垂直で， \( OA=3 \; cm \)，
\( ∠OBC=90° \) である。
このとき，次の各問いに答えなさい。
問１ 辺 \( OB \) の長さを求めなさい。
問２ 四角すい \( OABCD \) において，\( △OBC \) や \( △QAC \) で三平方の定理を利用することにより， \( AC=\sqrt{7} \; cm \) であることが分かった。
このことによって，分かることがらとして正しくないものを，次のア～エのうちから１つ選び，記号で答えなさい。
ア \( ∠ABC=90° \) である。
イ 線分 \( AC \) は，３点 \( A，B，C \) を通る円の直径である。
ウ 四角形 \( ABCD \) は台形である。
エ 点 \( D \) は，３点 \( A，B，C \) を通る円の周上にある。
\( AC^2=AB^2+BC^2=(\sqrt{3})^2+2^2=(\sqrt{7})^2 \)
\( (\sqrt{7})^2=(\sqrt{3})^2+2^2 \)
が成り立つので，\( ∠ABC=90° \) である。
イ 直径に対する円周角は \( 90° \) になるので，\( △ABC \) が \( ∠B=90° \) の直角三角形であることから，
線分 \( AC \) は，３点 \( A，B，C \) を通る円の直径である。
エ \( △ABC \) と \( △ADC \) において，
\( AB=AD，BC=DC，AC \)共通 より，
３組の辺がそれぞれ等しいので，\( △ABC≡△ADC \)
対応する角は等しいので，\( ∠ADC=∠ABC=90° \)
よって，イと同様に，\( ∠D \) は直径 \( AC \) に対する円周角です。
ここから，点 \( D \) も線分 \( AC \) を直径とする円上の点といえます。
ウ 台形は向かい合う１組の辺が平行な四角形なので，
四角形 \( ABCD \) が台形であるとき，\( AB//CD，AD//BC \) が少なくとも１つは成り立ちます。
このとき，\( ∠B=90° \) より，\( ∠BAD=90°，∠BCD=90° \) のどちらかは成り立つ必要があります。
エ より，四角形 \( ABCD \) は，線分 \( AC \) を直径とする円に内接するので，
向かい合う角の和は \( 180° \) になります。
ここで，\( ∠BAD=90° \) と仮定すると，\( ∠BCD \) も \( 90° \) になりますが，
\( AB=AD=\sqrt{3} \; cm，BC=CD=2 \; cm \) より，線分 \( BD \) の長さが等しくなりません。
よって，\( ∠BAD \) も \( ∠BCD \) も \( 90° \) ではなく，\( AB//CD，AD//BC \) はどちらも成り立ちません。
よって，四角形 \( ABCD \) は台形ではありません。
問３ 四角すい \( OABCD \) の体積を求めなさい。
問４ 右の図２のように，図１の四角すい \( OABCD \) の表面に，点 \( A \) から辺 \( OB \) を通って点 \( C \) まで糸をかける。かける糸の長さが最も短くなるときの糸の長さを求めなさい。
面 \( △OAB \) と面\( △OBC \) を右の図のように展開するとき，
\( AC \) 間の距離が最も短くなるのは，\( AC \) 間を直線で結ぶときなので，線分 \( AC \) の長さを求めます。
\( AB=\sqrt{3} \; cm，OA=3 \; cm，OA⊥AB \) より，
\( AB：OA=\sqrt{3}：3=1：\sqrt{3} \) なので，
\( △OAB \) は，３辺の比が \( 1：2：\sqrt{3} \) の直角三角形なので，
\( ∠OBA=60° \)
点 \( A \) から辺 \( BC \) の延長線に垂線をひき，交点を点 \( E \) とすると，
\( ∠OBE=90°，∠OBA=60° \) より，\( ∠ABE=30° \) なので，
\( △ABE \) は，３辺の比が \( 1：2：\sqrt{3} \) の直角三角形です。
よって，\( AB=\sqrt{3} \; cm \) より，\( AE=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \; cm，BE=\dfrac{3}{2} \; cm \)
\( △ACE \) において，三平方の定理より，
\( AC^2=AE^2+CE^2 \)
\( =\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2+\left( \dfrac{3}{2}+2 \right)^2 \)
\( =\dfrac{3}{4}+\dfrac{49}{4} \)
\( =\dfrac{52}{4} \)
\( AC=\dfrac{2\sqrt{13}}{2}=\sqrt{13} \; (cm) \) (\( AC>0 \)より)
大問１１
正 \( n \) 角形のそれぞれの辺上に頂点から頂点までに，ある規則にしたがって碁石を並べる。
このとき，次の各問いに答えなさい。
ただし，\( n \) は３以上の自然数とする。
図１は [規則１] にしたがって，正三角形と正四角形の辺上に碁石を並べたものである。
碁石を等間隔に並べる。
図２は [規則２] にしたがって，正三角形と正四角形の辺上に碁石を並べたものである。
問１ [規則１] にしたがって，正五角形の辺上に碁石を並べるときに必要な碁石の個数を求めなさい。
問２ [規則１] にしたがって，正 \( n \) 角形の辺上に碁石を並べるときに必要な碁石の個数を \( n \) を使った式で表しなさい。
正三角形 ･･･ ３本の辺に３個ずつ並べるので，\( 3 \times 3=9 \)（個）
正四角形 ･･･ ４本の辺に４個ずつ並べるので，\( 4 \times 4=16 \)（個）
正五角形 ･･･ ５本の辺に５個ずつ並べるので，\( 5 \times 5=25 \)（個）
よって，
正 \( n \) 角形 ･･･ \( n \) 本の辺に \( n \) 個ずつ並べるので，\( n \times n=n^2 \)（個）
問３ [規則２] にしたがって碁石を並べるときに必要な碁石の個数を調べる。必要な碁石の個数は，正三角形で６個，正四角形で１２個である。必要な碁石の個数が８７０個となるのは正何角形であるか答えなさい。
正三角形 ･･･ ３本の辺に２個ずつ並べるので，\( 3 \times 2=6 \)（個）
正四角形 ･･･ ４本の辺に３個ずつ並べるので，\( 4 \times 3=12 \)（個）
正五角形 ･･･ ５本の辺に４個ずつ並べるので，\( 5 \times 4=20 \)（個）
よって，
正 \( n \) 角形 ･･･ \( n \) 本の辺に \( n-1 \) 個ずつ並べるので，\( n \times n-1=n(n-1) \)（個）
ここで，\( 870=30 \times 29 \) なので，必要な碁石の個数が８７０個となるのは正三十角形のとき。
碁石の数を表す式は \( n(n-1) \) なので，\( 30 \times 29 \) で試してみると，\( 870 \) になることがわかります。
この方法は「\( n^2≦500 \) を満たす \( n \) のうち最も大きい値を求めなさい」のような問題にも使えます。
