秋田県公立高校入試　令和７（2025）年度　解答＆解説

辺 \( AD \) と辺 \( PQ，PR \) の交点をそれぞれ \( E，F \) とすると，
対頂角は等しいので，\( ∠PEF=∠AEQ=25° \)，
正三角形 \( PQR \) の内角なので，\( ∠EPF=60° \)
ここから，\( △PEF \) の外角なので，\( ∠EFR=∠PEF+∠EPF=25°+60°=85° \)

正方形の向かい合う辺は平行なので，錯角は等しく，
\( ∠FHC=∠EFR=85° \)

辺 \( BC \) と辺 \( QR，PR \) の交点をそれぞれ \( G，H \) とすると，
対頂角は等しいので，\( ∠RGH=∠BGQ=x \)，
正三角形 \( PQR \) の内角なので，\( ∠GRH=60° \)
ここから，\( △RGH \) の外角なので，\( ∠GHF=∠RGH+∠GRH=x+60° \)

３点 \( G，H，C \) は一直線上の点なので，
　\( ∠GHF+∠FHC=180° \)
　　\( (x+60°)+85°=180° \)
　　　　　　　　　 \( x=35° \)

 \( \stackrel{\huge\frown}{ AD } \) に対する円周角なので，
　\( ∠ACD=∠ABD=x \)
直径 \( AC \) に対する円周角なので，
　\( ∠ADC=90° \) ，
線分 \( AC \) と線分 \( BD \) の交点を点 \( E \) とすると，
　\( ∠CDE=∠ADC-∠ADE \)
　　　　　\( =90°-44° \)
　　　　　\( =46° \)
三角形の内角の和は \( 180° \) なので，
　\( ∠ACD=180°-(∠CDE+∠CED) \)
　　　　　\( =180°-(46°+80°) \)
　　　　　\( =54° \)

\( △CDF \) と \( △CBE \) に注目すると，
　\( CD：CB=CF：CE=1：2 \)
　\( ∠C \) は共通
なので，
\( △CDF \) ∽ \( △CBE \) で，相似比は \( 1：2 \)
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので，
　\( DF：BE=1：2 \)
　　 \( 5：BE=1：2 \)
　　　　\( BE=10 \; (cm) \)

\( △AGE \) と \( △ADF \) に注目すると，
\( △CDF \) ∽ \( △CBE \) より，
\( DF // BE \) なので，
　\( ∠AGE=∠ADF，∠AEG=∠AFD \)
であり，\( △AGE \) ∽ \( △ADF \)
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので，
　\( GE：DF=AE：AF \)
　\( GE：DF=1：2 \)
　　 \( GE：5=1：2 \)
　　　　\( GE=\dfrac{5}{2} \; (cm) \)

このとき，\( △OAP \) に注目すると，
正方形の対角線はそれぞれの中点で交わるので，
　\( AP=\dfrac{1}{2}AC \)
　　　\( =\dfrac{1}{2} \times  \sqrt{2}AB \)
　　　\( =\dfrac{1}{2} \times  \sqrt{2} \times 6 \)
　　　\( =3\sqrt{2} \; (cm) \)

三平方の定理より，
　\( OP^2=OA^2-AP^2 \)
　　　　\( =6^2-(3\sqrt{2})^2 \)
　　　　\( =18 \)
　　\( OP=3\sqrt{2} \; (cm) \) (\( OP>0 \) より)

手順１　点 \( A \) を中心に円弧を描く。
（辺 \( BC \) との交点を点 \( D，E \) とします。）
手順２　２点 \( D，E \) を中心に円弧を描く。
（交点を点 \( F \) とします。）
手順３　２点 \( A，F \) を通る直線を描く。

\( y=ax+b \) の直線は右下がりになっているので，
傾き \( a \) は負の値になります。
また，グラフより \( y \) 切片 \( b \) は正の値になっています。

点 \( A \) はア上の点で，\( x \) 座標は \( 4 \) なので，
\( y \) 座標は
　\( y=\dfrac{12}{4}=3 \)
であり，点 \( A \) の座標は \( A(4，3) \)

点 \( B \) は \( y \) 軸上の点で，
\( y \) 座標は \( 1 \) なので，
点 \( B \) の座標は \( B(0，1) \)

直線 \( AB \) の式を \( y=ax+b \) とすると，
　\( a=\dfrac{3-1}{4-0}=\dfrac{1}{2} \)
\( y=\dfrac{1}{2}x+b \) に \( x=0，y=1 \) を代入すると，
　\( 1=0+b \)
　\( b=1 \)

よって，求める直線の式は \( y=\dfrac{1}{2}x+1 \)

長方形の内角は \( 90° \) なので，
　\( ∠PBC=∠ABC-∠ABP \)
　　　　　\( =90°-60° \)
　　　　　\( =30° \) ･･･ ➀
\( △BPE \) は \( △BCE \) を折り返したものなので，
　\( △BPE≡△BCE \)
であり，対応する角は等しいので，
　\( ∠PBE=∠CBE \) ･･･ ➁
➀➁より，
　\( ∠PBE=\dfrac{1}{2}∠PBC=15° \)

よって，
　\( ∠BEP=180°-(∠PBE+∠BPE) \)
　　　　　\( =180°-(15°+90°) \)
　　　　　\( =75° \)

仮定から，
　\( ∠A=∠H \) ･･･ ➀
対頂角は等しいから,
　\( ∠AIP=∠HIF \) ･･･ ➁
➀，➁より，２組の角がそれぞれ等しいから，
　\( △API \) ∽ \( △HFI \)

【\( AI \) の長さを求める】
\( HP=DC=AB=12 \; cm \) なので，
\( IH=4 \; cm \) より，\( IP=8 \; (cm) \)
\( △API \) において，三平方の定理より，
　\( AI^2=8^2-6^2=28 \)
　 \( AI=2\sqrt{7} \; (cm) \)

【\( IF \) の長さを求める】
\( △API \) ∽ \( △HFI \) より，
　\( IP：IF=AI：HI \)
　　\( 8：IF=2\sqrt{7}：4 \)
　　　 \( IF=\dfrac{16\sqrt{7}}{7} \; (cm) \)

【\( FD \) の長さを求める】
\( △API \) ∽ \( △HFI \) より，
　\( PA：FH=AI：HI \)
　　\( 6：FH=2\sqrt{7}：4 \)
　　　　\( FH=\dfrac{12\sqrt{7}}{7} \; (cm) \)
折り返す前後の同じ線分なので，
　\( FD=FH=\dfrac{12\sqrt{7}}{7} \; cm \)

以上より，
　\( BC=AD=AI+IF+FD \)
　　　　　　 \( =2\sqrt{7}+\dfrac{16\sqrt{7}}{7}+\dfrac{12\sqrt{7}}{7} \)
　　　　　　 \( =6\sqrt{7} \; (cm) \)

\( a \) と \( b \) の組み合わせとそれぞれの場合における \( a-b \) の値を表に書き出すと，
\( -1≦a-b≦1 \) を満たす組み合わせは \( 16 \) 通り，
全ての組み合わせは \( 36 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{16}{36}=\dfrac{4}{9} \)

\( x=4 \) のとき，
点 \( P \) は，点 \( A \) から \( 4 \; cm \)，
点 \( Q \) は，点 \( A \) から \( 8 \; cm \)
移動していて，
右の図の位置に２点 \( P，Q \) はあるので，
　\( y=4 \times 6 \times \dfrac{1}{2}=12 \; (cm^2) \)

【\( 0≦x≦3 \) の場合】
\( x=3 \) のとき，
点 \( P \) は \( 3 \; cm \)，点 \( Q \) は \( 6 \; cm \)
移動しているので，
\( 0≦x≦3 \) のとき，
点 \( P \) は，辺 \( AB \) 上，点 \( Q \) は，辺 \( AD \) 上
にあります。
この範囲のとき，\( y \) を \( x \) の式で表すと，
　\( y=x \times 2x \times \dfrac{1}{2}=x^2 \)

【\( 3≦x≦6 \) の場合】
\( x=6 \) のとき，
点 \( P \) は \( 6 \; cm \)，点 \( Q \) は \( 12 \; cm \)
移動しているので，
\( 3≦x≦6 \) のとき，
点 \( P \) は，辺 \( AB \) 上，点 \( Q \) は，辺 \( DC \) 上
にあります。
この範囲のとき，\( y \) を \( x \) の式で表すと，
　\( y=x \times 6 \times \dfrac{1}{2}=3x \)

\( 6≦x≦12 \) における \( △APQ \) の底辺を \( AP \)，
高さを \( AD \) とすると，
\( x \) 秒後は，\( AP=12-x \; (cm)，AD=6 \; (cm) \) と表すことができるので，
　\( y=(12-x) \times 6 \times \dfrac{1}{2} \)
　　\( =-3x+36 \)
\( y=8 \) を代入すると，
　 \( 8=-3x+36 \)
　\( 3x=28 \)
　 \( x=\dfrac{28}{3} \)

\( △ACD \) の底辺を \( CD \)，\( △APQ \) の底辺を \( PQ \)
と考えると，高さは共通なので，
\( y \) の値，つまり，\( △APQ \) の面積が
\( △ACD \) の面積の半分になるとき，
\( PQ \) の長さは辺 \( CD \) の長さの半分になります。

点 \( D \) から辺 \( BC \) に垂線をひいた交点を
\( F \) とすると，\( DF=6 \; cm，FC=8 \; cm \) なので，
三平方の定理より，
　\( CD^2=6^2+8^2=100 \)
　 \( CD=10 \; (cm) \) (\( CD>0 \) より)

\( y \) の値が \( △ACD \) の面積の半分になるとき，
\( PQ=5 \; cm \) なので，
　\( 3x+x+5=6+7+15+10 \)
　　　　　\( 4x=33 \)
　　　　　　\( x=\dfrac{33}{4} \)