三重県公立高校入試　令和５（2023）年度（後期）　解答＆解説

折れ曲がった部分を通り，２直線 \( l，m \) と平行な直線をひくと，
錯角は等しいので，右の図のように，それぞれの角を分けて求めることができます。

よって，\( ∠x=180°-72°=108° \)

ねじれの位置といえる条件は，
・ どこまで行っても直線 \( AB \) と交わらない
・ 直線 \( AB \) と平行ではない
の２つを両方満たすときです。

この三角柱でこれを満たすのは，直線 \( CF，EF，FD \) になります。

(1) と同様に点 \( C \) の座標を求めると，\( C(4，4) \) で，
２点 \( C，D \) の \( y \) 座標は等しいので，\( D(0，4) \) になります。

直線 イ  \( y=-x+3 \) と \( y \) 軸の交点を \( G \) とすると，
\( △ABD=△ADG+△BDG \) となるので，
　\( △ABD=△ADG+△BDG \)
　　　　　\( =\left( 1 \times 6 \times \dfrac{1}{2} \right)+\left( 1 \times 2 \times \dfrac{1}{2} \right) \)
　　　　　\( =3+1 \)
　　　　　\( =4 \; (cm^2) \)

\( CD=CE \) となるときの点 \( E \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，
\( E(t，-t+3) \) と表すことができます。

点 \( C \) を通り \( y \) 軸と平行な直線と
点 \( E \) を通り \( x \) 軸と平行な直線の交点を \( F \) とすると，
　\( DF=4-(-t+3)=t+1 \)，
　\( EF=4-t \)，
　\( CE=CD=4 \)
となるので，
\( △DEF \) において，三平方の定理より，
　　　　　\( CE^2=DF^2+EF^2 \)
　　　　　　\( 4^2=(t+1)^2+(4-t)^2 \)
　　　　　　\( 16=2t^2-6t+17 \)
　\( 2t^2-6t+1=0 \)
　　　　　　　\( t=\dfrac{-(-6)±\sqrt{(-6)^2-4 \times 2 \times 1}}{2 \times 2} \)
　　　　　　　 \( =\dfrac{3±\sqrt{7}}{2} \)

\( △ABD \) と \( △DAF \) において，
仮定より，\( ∠ABD=∠CBE \) ･･･ ➀
弧 \( CE \) に対する円周角なので，\( ∠DAF=∠CBE \) ･･･ ➁
➀➁より，\( ∠ABD=∠DAF \) ･･･ ➂
\( AB//DF \) より，錯角は等しいので，\( ∠BAD=∠ADF \) ･･･ ➃
➂➃より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABD \) ∽ \( △DAF \)

(1) より，\( △ABD \) ∽ \( △DAF \) なので，
　\( AD：DF=AB：DA \)
　　　 \( 6：3=AB：6 \)
　　　　\( AB=12 \; (cm) \)

線分 \( BD \) は \( ∠ABC \) の二等分線なので，
\( AB=12 \; cm，BC=10 \; cm \) より，
　\( AB：BC=AD：DC \)
　　\( 12：10=6：DC \)
　　　 \( DC=5 \; (cm) \)

\( AB//DG \) より，\( △DGC \) ∽ \( △ABC \) なので，
　\( DG：AB=CD：CA \)
　 \( DG：12=5：(5+6) \)
　　　　\( DG=\dfrac{60}{11} \; (cm) \)

底面の円の中心を \( O \) とし，この円すいを正面から見ると，
右の図のように見えるので，
\( △ABO \) において，三平方の定理より，
　\( AO^2=12^2-4^2=128 \)
　 \( AO=8\sqrt{2} \; (cm) \)（\( AO>0 \)より ）

よって，
この円すいは底面が半径 \( 4 \; cm \) の円，高さが \( 8\sqrt{2} \; cm \) なので，
体積は，
　\( \pi{} \times 4^2 \times 8\sqrt{2} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{128\sqrt{2}}{3}\pi{} \; (cm^3) \)

この円すいを母線 \( AB \) で切って展開すると，右の図のようになります。
おうぎ形の弧と底面の円周の長さは等しいので，おうぎ形の中心角は，
　\( 360° \times \dfrac{8 \times \pi{}}{2 \times 12 \times \pi{}}=360° \times \dfrac{8\pi{}}{24\pi{}} \)
　　　　　　　　　　　\( =120° \)

また，点 \( M \) から点 \( B \) までゆるまないようにひもをかけたとき，
赤線のようになります。

点 \( B \) から線分 \( AB \) の延長線上に垂線をひき，
交点を \( N \) とします。
おうぎ形の中心角が \( 120° \) であることから，
\( △ABN \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形なので，
　\( AN=\dfrac{1}{2}AB=6 \; (cm) \)，
　\( BN=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AB=6\sqrt{3} \; (cm) \)

\( △BMN \) において，三平方の定理より，
　\( BM^2=(6+6)^2+(6\sqrt{3})^2=252 \)
　 \( BM=6\sqrt{7} \; (cm) \)（\( BM>0 \)より ）