大問１
１ \( 3-(-4) \)
２ \( 4(x-2y)+3(x+3y-1) \)
３ \( \dfrac{15}{8}x^2y \div \left( -\dfrac{5}{6}x \right) \)
４ \( (\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+3)-\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
５ \( (3x+1)(x-4)-(x-3)^2 \)
大問２
１ \( 4x^2-9y^2 \) を因数分解せよ。
２ 三角すいの底面積を \( S \)，高さを \( h \)，体積を \( V \) とすると，\( V=\dfrac{1}{3}Sh \) と表される。この等式を \( h \) について解け。
３ 次のア～エのうち、正しいものを１つ選び、その記号を書け。
ア \( 3 \) の絶対値は \( -3 \) である。
イ \( m，n \) が自然数のとき，\( m-n \) の値はいつも自然数である。
ウ \( \sqrt{25}=±5 \) である。
エ \( \dfrac{4}{3} \) は有理数である。
４ ２つのさいころを同時に投げるとき,出る目の数の和が５の倍数となる確率を求めよ。ただし，さいころは，１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。
和が５の倍数（５，１０）になる組み合わせは７通り，すべての場合の数は３６通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{7}{36} \)
５ 下の図のような, 相似比が \( 2：5 \) の相似な２つの容器Ａ，Ｂがある。 何も入っていない容器Ｂに，容器Ａを使って水を入れる。このとき，容器Ｂを満水にするには，少なくとも容器Ａで何回水を入れればよいか，整数で答えよ。
６ 下の図のように, ２点 \( A，B \) と直線 \( l \) がある。直線 \( l \) 上にあって，\( ∠APB=90° \) となる点 \( P \) を１つ，解答欄に作図せよ。ただし，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。
手順１ 線分 \( AB \) を描く
手順２ ２点 \( A，B \) を中心に円弧を描く
（交点を点 \( C，D \) とします）
手順３ 直線 \( CD \) を描く
（線分 \( AB \) との交点を点 \( E \) とします）
手順４ 点 \( E \) を中心に円弧を描く
手順４の円弧と直線 \( l \) の交点が求める点 \( P \) になります。
線分 \( AB \) の上下に２か所できます。
どちらを書いても大丈夫です。
７ 連続する３つの自然数がある。最も小さい自然数の２乗と中央の自然数の２乗の和が，最も大きい自然数の１０倍より５大きくなった。この連続する３つの自然数を求めよ。ただし，用いる文字が何を表すかを最初に書いてから方程式をつくり，答えを求める過程も書くこと。
大問３
１ ある中学校の１組，２組，３組で数学のテストを行った。
(1) 下の図１は，１組３０人の結果をヒストグラムに表したものである。このヒストグラムでは，例えば，４０点以上５０点未満の生徒が５人いることがわかる。また，下のア～エの箱ひげ図には，１組３０人の結果を表したものが１つ含まれている。ア～エのうち，１組３０人の結果を表した箱ひげ図として，最も適当なものを１つ選び，その記号を書け。
第一四分位数は８番目の人の得点，第二四分位数は１５番目と１６番目の人の得点の平均値，
第三四分位数は２３番目の人の得点になります。
ヒストグラムから，
最小値が含まれる範囲は３０点以上４０点未満，
第一四分位数が含まれるのは５０点以上６０点未満，
第二四分位数が含まれるのは６０点以上７０点未満，
第三四分位数が含まれるのは７０点以上８０点未満，
最大値が含まれるのは９０点以上１００点未満
なので，これらがすべてあてはまるのは イ になります。
(2) 右の図２は，２組と３組それぞれ３０人の結果を箱ひげ図に表したものである。この箱ひげ図から読みとれることとして，下の➀，➁は，「ア 正しい」，「イ 正しくない」，「ウ この箱ひげ図からはわからない」のどれか。ア〜ウのうち，最も適当なものをそれぞれ１つ選び，その記号を書け。
➀ 四分位範囲は，３組より２組の方が大きい。
➁ 点数が４５点以下の生徒は，３組より２組の方が多い。
２ 太郎さんは，午前９時ちょうどに学校を出発して，図書館に向かった。学校から図書館までは一本道であり，その途中に公園がある。学校から公園までの \( 1200 \; m \) の道のりは分速 \( 80 \; m \) の一定の速さで歩き，公園で１０分間休憩した後，公園から図書館までの \( 1800 \; m \) の道のりは分速 \( 60 \; m \) の一定の速さで歩いた。
(1) 太郎さんが公園に到着したのは午前何時何分か求めよ。
(2) 太郎さんが学校を出発してから \( x \) 分後の学校からの道のりを \( y \; m \) とするとき, 太郎さんが学校を出発してから図書館に到着するまでの \( x \) と \( y \) の関係を表すグラフをかけ。
(3) 花子さんは，午前９時２０分ちょうどに図書館を出発し，一定の速さで走って学校へ向かった。途中で太郎さんと出会い，午前９時４５分ちょうどに学校に到着した。 花子さんが太郎さんと出会ったのは午前何時何分何秒か求めよ。
この直線の傾きは，\( \dfrac{0-3000}{45-20}=-120 \)
この直線の式を \( y=-120x+b \) とすると，
\( (20，3000) \) を通るので，
\( 3000=-120 \times 20+b \)
\( b=5400 \)
よって，この直線の式は，\( y=-120x+5400 \)
グラフより，花子さんが太郎さんと出会ったのは公園と図書館の間なので，
太郎さんが公園から図書館まで歩いた直線の式を求めます。
歩いた速さが傾きになるので，
この直線の式を \( y=60x+c \) とすると，
\( (25，1200) \) を通るので，
\( 1200=60 \times 25+c \)
\( c=-300 \)
よって，この直線の式は，\( y=60x-300 \)
この２本の直線の式を連立方程式として解くと，
\( x=\dfrac{95}{3}，y=1600 \)
\( \dfrac{95}{3}=31+\dfrac{2}{3} \)（分）で，\( \dfrac{2}{3} \)分 \( =60 \times \dfrac{2}{3}=40 \) 秒なので，
２人が出会ったのは，９時３１分４０秒になります。
大問４
右の図１において, 放物線 ➀ は関数 \( y=ax^2 \) のグラフであり、直線 ➁ は関数 \( y=\dfrac{1}{2}x+3 \) のグラフである。 放物線 ➀ と直線 ➁ は，２点 \( A，B \) で交わっており，\( x \) 座標はそれぞれ \( -2，3 \) である。
このとき，次の問いに答えなさい。
１ 関数 \( y=\dfrac{1}{2}x+3 \) について，\( x \) の変域が \( -2≦x≦3 \) のときの \( y \) の変域を求めよ。
２ \( a \) の値を求めよ。
放物線 ➀ は点 \( A(-2，2) \) を通るので，
\( 2=a \times (-2)^2 \)
\( 4a=2 \)
\( a=\dfrac{1}{2} \)
３ 下の図２のように, 放物線 ➀ 上に，\( x \) 座標が \( -2 \) より大きく \( 3 \) より小さい点 \( C \) をとり，線分 \( AC，BC \) を隣り合う２辺とする平行四辺形 \( ACBD \) をつくる。
(1) 直線 \( AC \) が \( x \) 軸と平行になるとき, 平行四辺形 \( ACBD \) の面積を求めよ。
直線 \( AC \) が \( x \) 軸と平行なので，点 \( C \) の \( y \) 座標は \( 2 \) であり，
\( 2=\dfrac{1}{2}x^2 \)
\( x^2=4 \)
\( x=±2 \)
\( x=-2 \) は点 \( A \) になるので，あてはまるのは \( x=2 \)
よって，\( AC=2-(-2)=4 \)
問１より，点 \( B \) の \( y \) 座標は \( \dfrac{9}{2} \)，点 \( C \) の \( y \) 座標は \( 2 \) なので，
平行四辺形 \( ACBD \) の高さは，\( \dfrac{9}{2}-2=\dfrac{5}{2} \)
以上より，平行四辺形 \( ACBD \) の面積は，\( 4 \times \dfrac{5}{2}=10 \)
(2) 点 \( D \) が \( y \) 軸上にあるとき，点 \( D \) の \( y \) 座標を求めよ。
平行四辺形の向かい合う辺は平行で長さが等しいので，\( AC//BD \) になっています。
このとき，
・ 点 \( A \) から点 \( C \) までの \( x \) の増加量と点 \( D \) から点 \( B \) までの \( x \) の増加量
・ 点 \( A \) から点 \( C \) までの \( y \) の増加量と点 \( D \) から点 \( B \) までの \( y \) の増加量
はどちらも等しくなります。
点 \( D \) から点 \( B \) までの \( x \) の増加量が \( 3 \) なので，
点 \( A \) から点 \( C \) までの \( x \) の増加量も \( 3 \) になります。
このとき，点 \( C \) の \( x \) 座標が \( -2+3=1 \) になることから，
点 \( C \) の \( y \) 座標は，\( y=\dfrac{1}{2} \times 1^2=\dfrac{1}{2} \)
であり，点 \( A \) から点 \( C \) までの \( y \) の増加量は \( \dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{3}{2} \)
点 \( D \) の \( y \) 座標を \( t \) とすると，
点 \( D \) から点 \( B \) までの \( y \) の増加量は \( \dfrac{9}{2}-t \) と表せるので，
\( \dfrac{9}{2}-t=-\dfrac{3}{2} \)
\( t=6 \)
大問５
下の図のように，３点 \( A，B，C \) が円 \( O \) の周上にあり， \( AB=AC \) である。点 \( A \) を通り線分 \( BC \) に平行な直線を \( l \) とし，直線 \( l \) 上に点 \( D \) を \( AB=AD \) となるようにとる。直線 \( BD \) と線分 \( AC \) との交点を \( E \) ，直線 \( BD \) と円 \( O \) との交点のうち，点 \( B \) と異なる点を \( F \) とする。また，直線 \( CF \) と直線 \( l \) との交点を \( G \) とする。ただし， \( ∠CAD \) は鋭角とする。
このとき，次の問いに答えなさい。
１ \( △ACG≡△ADE \) であることを証明せよ。
\( △ACG \) と \( △ADE \) において，
仮定より，\( AB=AC，AB=AD \) なので，
\( AC=AD \) ･･･ ➀
\( ∠A \) は共通 ･･･ ➁
\( △ABD \) は \( AB=AD \) の二等辺三角形なので，
\( ∠ABF=∠ADE \) ･･･ ➂
弧 \( AF \) の円周角なので，
\( ∠ABF=∠ACF \) ･･･ ➃
➂➃より，\( ∠ACF=∠ADE \) ･･･ ➄
➀➁➄より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △ACG≡△ADE \)
２ \( AG=4 \; cm，GD=2 \; cm \) のとき,
(1) 線分 \( BC \) の長さを求めよ。
問１より，\( △ACG≡△ADE \) なので，
\( AC=AD=6 \; cm，AE=AG=4 \; cm， \)
\( EC=AC-AE=2 \; cm \)
仮定より，直線 \( l \; // \) 線分 \( BC \) なので，
\( ∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE \)
２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ADE \) ∽ \( △CBE \)
対応する辺の長さは等しいので，
\( AE：CE=AD：BC \)
\( 4：2=6：BC \)
\( BC=3 \; (cm) \)
(2) \( △DGF \) の面積を求めよ。
\( △CBF \) と \( △DGF \) において，
直線 \( l \; // \) 線分 \( BC \)，\( BC=3 \; cm，GD=2 \; cm \) より，
\( △CBF \) ∽ \( △DGF \) で，相似比は \( 3：2 \)
よって，面積比は，
\( △CBF：△DGF=3^2：2^2=9：4 \)
\( △CBF=\dfrac{9}{4}△DGF \)
直線 \( l \; // \) 線分 \( BC \) なので，
\( ∠CBF=∠GDF，∠BCF=∠DGF \)
２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △CBF \) ∽ \( △DGF \)
補助線 \( BG \) を引くと，\( △CBF \) と \( △CBG \) は底辺の比が \( CF：CG=3：5 \) で高さが共通なので，
\( △CBF：△CBG=3：5 \)
\( △CBG=\dfrac{5}{3}△CBF \)
\( =\dfrac{5}{3} \times \dfrac{9}{4}△DGF \)
\( =\dfrac{15}{4}△DGF \) ･･･ ➀
点 \( A \) から線分 \( BC \) に垂線をひき，交点を \( H \) とすると，\( △ABC \) は \( AB=AC=6 \; cm \)，
\( BC=3 \; cm \) の二等辺三角形なので，
\( CH=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{3}{2} \; (cm) \)
三平方の定理より，
\( AH^2=AC^2-CH^2 \)
\( =36-\dfrac{9}{4} \)
\( =\dfrac{135}{4} \)
\( AH=\dfrac{3\sqrt{15}}{2} \; (cm) \) （\( AH>0 \) より）
線分 \( AH \) は，\( △CBG \) の高さにあたるので，
\( △CBG=3 \times \dfrac{3\sqrt{15}}{2} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{9\sqrt{15}}{4} \; (cm^2) \) ･･･ ➁
➀➁より，
\( \dfrac{15}{4}△DGF=\dfrac{9\sqrt{15}}{4} \)
\( △DGF=\dfrac{3\sqrt{15}}{5} \; (cm^2) \)
