愛媛県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

①，② のグラフにおいて，
\( x=t \) (\( t \) は \( 0 \) 以外の数)とすると，
\( at^2<bt^2 \) となるので，
両辺を \( t^2 \) で割ると，\( a<b \)

よって，\( c<a<b \)

手順１　２点 \( B，C \) を中心に辺 \( BC \) を
　　　　半径とする円弧を描く。
　　　　(交点を点 \( D \) とします。)
手順２　２点 \( B，D \) を通る直線を描く。
手順３　点 \( B \) を中心に円弧を描く。
　　　　(辺 \( AB \)，直線 \( BD \) との交点を
　　　　点 \( E，F \) とします。)
手順４　２点 \( E，F \) を中心に円弧を描く。
　　　　(交点を点 \( G \) とします。)
手順５　２点 \( B，G \) を通る直線を描く。

\( 30° \) が \( 60° \) の半分であることに注目します。

辺 \( BC \) を１辺とする正三角形 \( BCD \) を描き，
\( ∠DBC \) の二等分線と辺 \( CD \) の交点を
点 \( E \) とすると，
線分 \( BE \) と辺 \( AC \) の交点が求める点 \( P \) になります。

\( △PBH \) と \( △APH \) は，
\( 30°，60°，90° \) の直角三角形であることから，
\( BH=x \; m \) とすると，
\( PH=\sqrt{3}x \; m \) と表すことができるので，
　\( BH：PH=PH：AH \)
　　\( x：\sqrt{3}x=\sqrt{3}x：(x+10) \)
　\( x(x+10)=3x^2 \)
　\( 2x^2-10x=0 \)
　　\( x(x-5)=0 \)
　　　　　 \( x=5 \; (m) \) (\( x>0 \) より)

このレンガを \( x \) 個並べたとき，きれいな円ができるとすると，
内側の円の円周の長さは \( 12\pi{}x \; cm \)
外側の円の円周の長さは \( 14\pi{}x \; cm \)
と表すことができます。

また，内側の円の直径を \( d \; cm \) とすると，
外側の円の直径を \( d+30 \; cm \) と表すことができるので，
内側の円の円周の長さは \( \pi{}d \; cm \)
外側の円の円周の長さは \( \pi{}(d+30) \; cm \)
と表すことができます。

点 \( A \) の \( x \) 座標は \( x=-4 \) なので，
\( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times (-4)^2=4 \)
点 \( B \) の座標は \( (8，16) \) であることから，
直線 ➁ のの式を \( y=ax+b \) とすると，
　\( a=\dfrac{16-4}{8-(-4)}=1 \)
\( y=x+b \) に \( x=8，y=16 \) を代入すると，
　\( 16=8+b \)
　 \( b=8 \)

よって，求める直線の式は，\( y=x+8 \)

点 \( P，Q \) の \( x \) 座標は \( t \) であり，
点 \( Q \) は \( y=x+8 \) 上の点なので，
\( y \) 座標は，\( y=t+8 \) と表すことができます。

点 \( Q，S \) の \( y \) 座標の値は等しいので，
点 \( S \) の \( y \) 座標は，\( y=t+8 \)

点 \( P \) は \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( t \) なので，
\( y \) 座標は \( \dfrac{1}{4}t^2 \) と表すことができ，
ここから，線分 \( PQ \) の長さは，
\( t+8-\dfrac{1}{4}t^2 \) と表すことができます。

また，線分 \( PR \) の長さは，\( -t \) と表すことができ，
正方形はすべての辺の長さが等しいので，
　\( t+8-\dfrac{1}{4}t^2=-t \)
　\( 4t+32-t^2=-4t \)
　\( t^2-8t-32=0 \)
　　　　　　 \( t=4-4\sqrt{3} \) (\( t<0 \) より)