大問１
（１） \( 8+(-4) \div 2 \) を計算しなさい。
（２） \( 3x+y-2(x-3y) \) を計算しなさい。
（３） \( \sqrt{3}+\dfrac{9}{\sqrt{3}} \) を計算しなさい。
（４） \( y \) が \( x \) に反比例し，\( x=-6 \) のとき \( y=10 \) である。\( x=-3 \) のときの \( y \) の値を求めなさい。
（５） ある店で，８月の３１日間，毎日ケーキとプリンが売られていた。下の図は，ケーキとプリンが８月の各日に売れた個数について，それぞれのデータの分布の様子を箱ひげ図に表したものである。この図から読み取れることとして正しいものを，ア～エから全て選び，符号で書きなさい。
ア ケーキとプリンでは，最大値が同じである。
イ ケーキとプリンでは，中央値が同じである。
ウ ケーキとプリンでは，プリンのほうが四分位範囲は大きい。
エ ケーキとプリンでは，ケーキのほうが１９個以上売れた日は多い。
イ ･･･ 中央値は，どちらも \( 15 \) 個。
ウ ･･･ 全部で３１日分のデータなので，第三四分位数は売れた数の少ない方から \( 24 \) 番目
（多い方から \( 8 \) 番目）の値になります。
第三四分位数は，ケーキが \( 20 \) 個，プリンが\( 18 \) 個であることから，
ケーキが \( 19 \) 個以上売れたのは８日以上，プリンが \( 19 \) 個以上売れたのは７日以下なので，
ケーキのほうが１９個以上売れた日は多い。
【正しくない理由】
ア ･･･ 最大値は，ケーキが \( 21 \) 個，プリンが \( 22 \) 個なので，同じではない。
ウ ･･･ 四分位範囲は，ケーキが \( 20-12=8 \) 個，プリンが\( 18-11=7 \) 個なので，
ケーキのほうが大きい。
（６） 右の図は，２つの半径 \( OA，OB \) と 弧 \( AB \) で囲まれたおうぎ形と，長方形 \( OBCD \) を組み合わせた図形である。この図形を，直線 \( AD \) を軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。
おうぎ形 \( OAB \) と長方形 \( OBCD \) を別々に回転させてみます。
おうぎ形 \( OAB \) を直線 \( AD \) を軸として
１回転させてできる立体は半径 \( 3 \; cm \) の半球なので，
体積は，
\( \dfrac{4}{3}\pi{} \times 3^3 \times \dfrac{1}{2}=18 \pi{} \; (cm^3) \)
長方形 \( OBCD \) を直線 \( AD \) を軸として
１回転させてできる立体は
底面の半径 \( 3 \; cm \)，高さ \( 6 \; cm \) の円柱なので，
体積は，
\( \pi{} \times 3^2 \times 6=54 \pi{} \; (cm^3) \)
よって，求める体積は，
\( 18 \pi{}+54 \pi{}=72 \pi{} \; (cm^3) \)
大問２
あるパーティー会場にテーブルが何台かある。これらを全て使い，パーティーの全ての参加者をテーブルごとに分けて座らせたい。いま，参加者をテーブルごとに \( 6 \) 人ずつ分けると，テーブルが不足し，\( 8 \) 人が座れない。次の（１），（２）の問いに答えなさい。
（１） パーティー会場にあるテーブルの台数を \( x \) 台とするとき，参加者の人数を \( x \) を使った式で表しなさい。
プラス，座れない人が \( 8 \) 人いるので，
参加者の人数は，\( 6x+8 \) 人になります。
（２） 参加者をテーブルごとに \( 7 \) 人ずつ分けると，テーブルは \( 2 \) 台余るが，全ての参加者が \( 7 \) 人ずつ座れる。
（ア） パーティー会場にあるテーブルは全部で何台かを求めなさい。
（イ） パーティー会場にあるテーブルを全て使い，全ての参加者をテーブルごとに \( 6 \) 人か \( 7 \) 人のどちらかに分けるとすると，\( 6 \) 人のテーブルは全部で何台になるかを求めなさい。
大問３
右の図のような正三角形 \( ABC \) があり，点 \( P \) は頂点 \( A \) の位置にある。また，\( 0 \) から \( 4 \) までの数字が１つずつ書かれた５枚のカード \( \fbox{0} \) \( \fbox{1} \) \( \fbox{2} \) \( \fbox{3} \) \( \fbox{4} \) が袋の中に入っている。
次の操作を２回行う。
袋からカードを１枚取り出し，そのカードに書かれた数字の回数だけ，\( P \) を正三角形の頂点から頂点へ左回りに移動させる。\( P \) を移動させた後，取り出したカードを袋に戻す。
例えば，１回目に \( \fbox{2} \) のカードを，２回目に \( \fbox{0} \) のカードを取り出したとき，１回目の操作後に \( P \) は頂点 \( C \) にあり，２回目の操作後も \( P \) は頂点 \( C \) にある。
次の（１）～（３）の問いに答えなさい。
（１） １回目の操作後に \( P \) が頂点 \( A \) にある確率を求めなさい。
\( \fbox{0} \) \( \fbox{1} \) \( \fbox{2} \) \( \fbox{3} \) \( \fbox{4} \) のカードのうち，
操作後に \( P \) が頂点 \( A \) にあるのは，
\( \fbox{0} \) または \( \fbox{3} \) のカードを取り出したときなので，
その確率は \( \dfrac{2}{5} \)
（２） １回目の操作後に \( P \) が頂点 \( A \) にあり，２回目の操作後も \( P \) が頂点 \( A \) にある確率を求めなさい。
なので，あてはまるのは２回とも \( \fbox{0} \) または \( \fbox{3} \) のカードを取り出したときになります。
取り出したカードに書かれている数字の組み合わせを表にすると，
２回とも \( \fbox{0} \) または \( \fbox{3} \) のカードを取り出す
組み合わせは４通り，すべての場合の数は２５通り
なので，確率は \( \dfrac{4}{25} \)
（３） ２回目の操作後に \( P \) が頂点 \( A \) にある確率を求めなさい。
１回目と２回目に取り出したカードに書かれている数の和で判断すればいいことになります。
頂点 \( A \) に移動するのは，
カードの数の和が \( 0，3，6 \) のいずれかになるとき
頂点 \( B \) に移動するのは，
カードの数の和が \( 1，4，7 \) のいずれかになるとき
頂点 \( C \) に移動するのは，
カードの数の和が \( 2，5，8 \) のいずれかになるとき
です。
取り出したカードに書かれている数字の組み合わせとその和を表にすると，
\( 0，3，6 \) のいずれかになる組み合わせは８通り，
すべての場合の数は２５通り
なので，確率は \( \dfrac{8}{25} \)
大問４
右の図１のように，\( P \) 駅があり，\( P \) 駅から東に向かうまっすぐな線路がある。また，\( P \) 駅には，車両全体の長さが \( 160 \; m \) の電車が停車しており，図２のように，電車の先頭部分は地点 \( A \) にある。電車は，\( P \) 駅を出発してから \( 20 \) 秒間は次第に速さを増していき，その後は \( P \) 駅を出発してから \( 40 \) 秒後まで一定の速さで走行する。電車が \( P \) 駅を出発してから \( x \) 秒後の地点 \( A \) から電車の先頭部分までの距離を \( y \; m \) とすると，\( x \) と \( y \) の関係は右の表のようになり，\( 0≦x≦20 \) の範囲では，\( x \) と \( y \) の関係は \( y=ax^2 \) で表されるという。
次の（１）～（５）の問いに答えなさい。
（１） \( a \) の値を求めなさい。
（２） 表中のア，イに当てはまる数を求めなさい。
（３） \( x \) の変域を \( 20≦x≦40 \) とするとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。
（４） 右の図に，\( x \) と \( y \) の関係を表すグラフをかきなさい。 \( (0≦x≦40) \)
（５） 線路と平行な道路がある。太郎さんは，はじめ，道路上で，電車の先頭部分と並ぶ位置にいた。電車が \( P \) 駅を出発すると同時に太郎さんも走り始め，この道路を東に向かって一定の速さで走った。太郎さんは，走り始めた直後は電車より前方を走っていたが，走り始めてから \( 10 \) 秒後に電車の先頭部分に追いつかれた。その後，太郎さんの横を電車が通り過ぎていき，やがて太郎さんは電車に完全に追い越された。太郎さんが電車に完全に追い越されたのは，電車が \( P \) 駅を出発してから何秒後であったかを求めなさい。
太郎さんは，一定の速さで \( 10 \) 秒間に \( 50 \; m \) 走ったことになります。
ここから，太郎さんが走った状態を表す関係式は \( y=5x \) ということになり，
これを（４）のグラフに書き加えると，
右の図のようになります。
求める時間を \( t \) 秒後とすると，
車両全体の長さが \( 160 \; m \) であることから，
\( t \) 秒後には
電車の方が太郎さんよりも \( 160 \; m \) 多く走っている
ことになります。
右のグラフから，電車の方が太郎さんよりも \( 160 \; m \) 多く走っているのは \( 20≦x≦30 \) のどこかであると推測できます。
\( 20≦x≦30 \) の範囲において，電車が走った状態を表す関係式は \( y=20x-200 \) なので，
\( t \) 秒後に走った道のりを表す方程式は，
\( (20t-200)-5t=160 \)
\( 15t-200=160 \)
\( 15t=360 \)
\( t=24 \)（秒後）
大問５
右の図で，四角形 \( ABCD \) は平行四辺形であり，\( ∠BAD \) の二等分線と辺 \( CD \)，辺 \( BC \) を延長した直線との交点をそれぞれ \( E，F \) とする。また，点 \( G \) は線分 \( AF \) 上の点で，\( ∠ABG=∠CBE \) である。
次の（１），（２）の問いに答えなさい。
（１） \( △ABG≡△FBE \) であることを証明しなさい。
\( △ABG \) と \( △FBE \) において，
仮定より，\( ∠ABG=∠FBE \) ･･･ ➀
仮定より，\( ∠BAG=∠DAF \) ･･･ ➁
平行四辺形の向かい合う辺は平行なので，\( AD//BC \) であり，
錯角は等しく，\( ∠BFE=∠DAF \) ･･･ ➂
➁➂より，\( ∠BAG=∠BFE \) ･･･ ④
④より，\( △ABF \) は底角が等しいので，
二等辺三角形であり，\( BA=BF \) ･･･ ➄
➀④➄より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABG≡△FBE \)
（２） \( AB=5 \; cm，BC=4 \; cm \) のとき，
（ア） \( AE \) の長さは，\( EF \) の長さの何倍であるかを求めなさい。
仮定より，\( BC=4 \; cm \)，
（１）より \( BF=AB=5 \; cm \) なので，
\( CF=1 \; cm \)
平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので，
\( DA=BC=4 \; cm \)
ここから，\( △EAD \) と \( △EFC \) の相似比は，
\( DA：CF=4：1 \)
よって，\( AE：FE=4：1 \) であり，
\( AE \) の長さは，\( EF \) の長さの \( 4 \) 倍になります。
（イ） 平行四辺形 \( ABCD \) の面積は，\( △BEG \) の面積の何倍であるかを求めなさい。
\( AG：GE \) がわかれば，平行四辺形 \( ABCD \) と \( △BEG \) の面積比がわかると考えることができます。
ここまでの問題から，
\( △ABG≡△FBE，AE：FE=4：1 \) なので，
\( AE：AG=AE：FE=4：1 \) であり，
\( AG：GE=AG：(AE-AG)=1：3 \)
\( △ABG \) と \( △BEG \) は高さが共通なので，
\( △ABG：△BEG=AG：GE=1：3 \) ･･･➀
ここから，
\( △ABG：△ABE=1：4 \) ･･･ ➁
\( △ABE \) と平行四辺形 \( ABCD \) の底辺を
\( AB \) と考えると，高さが共通なので，
\( △ABE： \) 平行四辺形 \( ABCD=1：2 \)
\( =4：8 \) ･･･ ➂
➁➂より，
\( △ABG： \) 平行四辺形 \( ABCD=1：8 \) ･･･ ➃
➀➃より，
\( △BEG： \) 平行四辺形 \( ABCD=3：8 \)
よって，平行四辺形 \( ABCD \) の面積は，\( △BEG \) の面積の \( \dfrac{8}{3} \) 倍になります。
大問６
右の図のように，平面上に座標軸，原点 \( O \)，
点 \( A(10，0) \) がある。この平面上に，\( x \) 座標が \( 1 \) 以上 \( 10 \) 以下の整数で，\( y \) 座標が \( 1 \) 以上 \( 8 \) 以下の整数である点 \( P \) をとり，\( O \) と \( A \)，\( A \) と \( P \)，\( P \) と \( O \) をそれぞれ結び，\( △OAP \) をつくる。
次の（１）～（３）の問いに答えなさい。
（１） \( P \) のとり方は，全部で何通りあるかを求めなさい。
（２） 次の文章は，\( △OAP \) が直角三角形となる \( P \) のとり方について，花子さんが考えたことをまとめたものである。 ア ～ エ にそれぞれ当てはまる数を書きなさい。
① \( ∠OAP=90° \) となる \( P \) のとり方は，全部で ア 通りある。
➁ \( ∠AOP=90° \) となる \( P \) のとり方は，ない。
➂ \( ∠OPA=90° \) となる \( P \) のとり方は，点 \( (5， \) イ \( ) \)，点 \( (1， \) ウ \( ) \) など，
全部で エ 通りある。
あてはまる点は，\( (10，1)，(10，2)，(10，3)，(10，4)，(10，5)，(10，6)，(10，7)，(10，8) \) の８通り
イ ， ウ ， エ
直角三角形において，\( 90° \) である頂点から斜辺に垂線をひいたときにできる２つの直角三角形は，相似になっています。
点 \( P \) の座標を \( P(s，t) \) とし，
点 \( P \) から線分 \( OA \) に垂線をひいた交点を点 \( Q \) とすると，
\( OQ=s，PQ=t，QA=10-s \) と表すことが
でき，\( △OPQ \) ∽ \( △PAQ \) なので，
\( OQ：PQ=PQ：AQ \)
\( s：t=t：(10-s) \)
\( t^2=s(10-s) \) ･･･ ➀
➀において，
\( s=1 \) のとき，
\( t^2=1 \times (10-1)=9 \)
\( t=3 \; (t>0) \)
\( s=2 \) のとき，
\( t^2=2 \times (10-2)=16 \)
\( t=4 \; (t>0) \)
\( s=3 \) のとき，
\( t^2=3 \times (10-3)=21 \)
\( t=\sqrt{21} \; (t>0) \) ･･･ 整数ではないので×
\( s=4 \) のとき，
\( t^2=4 \times (10-4)=24 \)
\( t=2\sqrt{6} \; (t>0) \) ･･･ 整数ではないので×
\( s=5 \) のとき，
\( t^2=5 \times (10-5)=25 \)
\( t=5 \; (t>0) \)
\( s=6 \) のとき，
\( t^2=6 \times (10-6)=24 \)
\( t=2\sqrt{6} \; (t>0) \) ･･･ 整数ではないので×
\( s=7 \) のとき，
\( t^2=7 \times (10-7)=21 \)
\( t=\sqrt{21} \; (t>0) \) ･･･ 整数ではないので×
\( s=8 \) のとき，
\( t^2=8 \times (10-8)=16 \)
\( t=4 \; (t>0) \)
\( s=9 \) のとき，
\( t^2=9 \times (10-9)=9 \)
\( t=3 \; (t>0) \)
以上より，あてはまる点は，
\( (1，3) \) ･･･ ウ ，\( (2，4)，(5，5) \) ･･･ イ ，\( (8，4)，(9，3) \) の５通り ･･･ エ
（３） \( △OAP \) の内角が全て鋭角となる \( P \) のとり方は，全部で何通りあるかを求めなさい。
大きい三角形）を除けばいいということです。
（２）で直角三角形になる条件はわかったので，鈍角三角形になる条件を見つけていくことになります。
点 \( P \) の \( x \) 座標は \( 1≦x≦10 \) なので，\( ∠OAP，∠AOP \) が \( 90° \) より大きくなることはありません。
ここから，\( ∠OPA>90° \) となる条件を見つければいいことになります。
「整数」という条件だけをはずして
\( ∠OPA=90° \) となるように \( P \) を動かし，
その移動した点をつなぐ（軌跡といいます）と，
\( (5、0) \) を中心とする半円を描きます。
つまり，\( ∠OPA \) は直径 \( OA \) に対する円周角になっています。
右の図において，
\( P \) が半円の内側にあるとき，\( ∠OPA>90° \)
\( P \) が半円の外側にあるとき，\( ∠OPA<90° \)
になるので，
\( P \) が半円の外側にあるのは右の図の３７通りです。
(\( x=10 \) の点は，\( ∠OPA=90° \) となるので除く)
