大問１
（１） 次の➀～➅の計算をしなさい。
➀ \( -6+4 \)
➁ \( 5 \times (-3)^2 \)
➂ \( 2 \times (-2a) \)
➃ \( 3x+4y-(x-y) \)
➄ \( (12a-8b) \div 4 \)
➅ \( \dfrac{9}{\sqrt{3}}+\sqrt{12} \)
（２） \( (x-1)(y+3) \) を展開しなさい。
（３） \( x^2-2x-15 \) を因数分解しなさい。
（４） 右の図のように，長方形 \( ABCD \) を合同な直角三角形 ア ～ ク に分ける。直角三角形 ア を，点 \( O \) を中心にして，反時計回りに \( 180° \) 回転移動させたとき，ちょうど重なる直角三角形を イ 〜 ク から１つ選び，記号で答えなさい。
この図全体を \( 180° \) 回転させてみても同じことになります。
下の図のように図全体を \( 180° \) 回転させると，直角三角形 ア はもとの状態で オ の位置になります。
よって，ちょうど重なる直角三角形は オ になります。
（５） \( y \) は \( x \) に反比例し，\( x=-4 \) のとき \( y=-3 \) である。\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。
（６） 連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
3x+2y=-1 \\
y=x-3 \\
\end{array} \right. \) を解きなさい。
（７） 右の図で，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。
多角形において，すべての外角の和は必ず \( 360° \) になるので，
\( ∠x \) と隣接する部分の外角を \( ∠y \) とすると，
\( 80°+80°+60°+70°+∠y=360° \)
\( 290°+∠y=360° \)
\( ∠y=70° \)
\( ∠x+∠y=180° \) なので，
\( ∠x+70°=180° \)
\( ∠x=110° \)
大問２
（１） 右の図の直線 \( y=ax+b \) における \( a \) と \( b \) について，正しく表しているものを，次のア～エから１つ選び，記号で答えなさい。
ア \( a+b>0，ab>0 \) イ \( a+b>0，ab<0 \)
ウ \( a+b<0，ab>0 \) エ \( a+b<0，ab<0 \)
（２） 右の図のような \( ∠C=90° \) の直角三角形 \( ABC \) において， \( AB=4 \; cm，AC=3 \; cm \) である。この直角三角形 \( ABC \) を，直線 \( AC \) を回転の軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。
ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。
\( △ABC \) において，三平方の定理より，
\( BC^2=AB^2-AC^2 \)
\( =4^2-3^2 \)
\( =7 \)
\( BC=\sqrt{7} \; (cm) \) (\( BC>0 \) より)
となるので，回転させてできた立体は
底面の半径 \( \sqrt{7} \; cm \)，高さ \( 3 \; cm \) の円すいになります。
よって，求める体積は，
\( (\pi{} \times \sqrt{7}^2) \times 3 \times \dfrac{1}{3}=7\pi{} \; (cm^3) \)
（３） 右の表は，Ａ中学校の生徒 \( 80 \) 人とＢ中学校の生徒 \( 100 \) 人について通学時間を調べ，各階級の相対度数をまとめたものである。\( 20 \) 分以上 \( 25 \) 分未満の階級の生徒の人数は，どちらの中学校の方が何人多いか，答えなさい。
（４） ある部活動で，タオルを \( 30 \) 枚注文することにした。Ａ店とＢ店でタオル \( 1 \) 枚の定価は同じであったが，\( 30 \) 枚注文すると，Ａ店では全てのタオルが \( 1 \) 枚当たり定価の \( 10% \) 引きになり，Ｂ店では注文したタオルのうちの \( 1 \) 枚分が無料になることが分かった。また，タオル \( 30 \) 枚の合計金額は，Ａ店の方が \( 1200 \) 円安かった。このとき，タオル \( 1 \) 枚の定価を求めなさい。ただし，消費税は考えないものとする。
なお，解答用紙の (解) には，答えを求める過程を書くこと。
大問３
右の図Ⅰのような，直方体の底面から直方体を切り取った階段状の浴槽に，お湯を一定の水量で入れ続ける。図Ⅱは，空の浴槽にお湯を入れ始めてから \( x \) 分後の水面の高さを \( y \; cm \) として，\( x \) と\( y \) の関係をグラフに表したものである。次の（１），（２）の問いに答えなさい。
（１） お湯を入れ始めてから \( 3 \) 分後の水面の高さを求めなさい。
（２） 水面の高さが \( 20 \; cm \) になった後，水面の上がる速さは，\( 20 \; cm \) までの \( \dfrac{3}{4} \) 倍に変わった。このとき，水面の高さが \( 44 \; cm \) になるのは, お湯を入れ始めてから何分後か，求めなさい。
水面の高さ \( 20 \; cm \) までは，
\( 1 \) 分間あたり，水面の高さは \( 4 \; cm \) ずつ高くなるので，
\( 20 \; cm \) を過ぎてからは，
\( 1 \) 分間あたり，水面の高さは \( 4 \times \dfrac{3}{4}=3 \; (cm) \)
ずつ高くなります。
ここから，
水面の高さが \( 44-20=24 \; (cm) \) 高くなるのに
かかる時間は，\( \dfrac{24}{3}=8 \)（分）なので，
水面の高さが \( 20 \; cm \) になるまでの \( 5 \) 分と合わせて \( 13 \) 分になります。
大問４
右の図のように，線分 \( AB \) を直径とする円 \( O \) の円周上に \( BC=CA，∠BCA =90° \) となる点 \( C \) をとり，辺 \( BC \) を一辺とする正方形 \( BDEC \) を作る。また，線分 \( AD \) と線分 \( BC \) の交点を \( P \)，線分 \( AD \) と円 \( O \) の交点を \( Q \) としたとき，次の（１）～（３）の問いに答えなさい。
（１） \( ∠AQC \) の大きさを求めなさい。
\( △ABC \) は直角二等辺三角形なので，\( ∠ABC=45° \)
弧\( AC \) の円周角なので，\( ∠AQC=∠ABC=45° \)
（２） 三角形 \( ABP \) と三角形 \( CQP \) が相似であることを証明しなさい。
\( △ABP \) と \( △CQP \) において，
弧 \( AC \) の円周角なので，\( ∠ABP=∠CQP \) ･･･ ①
弧 \( BQ \) の円周角なので，\( ∠BAP=∠QCP \) ･･･ ➁
①➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABP \) ∽ \( △CQP \)
（３） \( BD=2 \; cm \) のとき，\( CQ \) の長さを求めなさい。
\( △ACP \) と \( △DBP \) において，
四角形 \( BDEC \) は正方形，\( △ABC \) は直角二等辺三角形なので，
\( AC=BC=DB=2 \; cm \) ･･･ ①
\( ∠ACP=∠DBP=90° \) ･･･ ➁
正方形の向かい合う辺は平行なので，\( BD//CE \) であり，\( BD//AC \)
錯角は等しいので，\( ∠CAP=∠BDP \) ･･･ ➂
①➁➂より，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △ACP≡△DBP \)
対応する辺の長さは等しいので，
点 \( P \) は線分 \( BC \) の中点であり，\( CP=BP=1 \; cm \)
\( △ACP \) において三平方の定理より，
\( AP^2=2^2+1^2=5 \)
\( AP=\sqrt{5} \; (cm) \) (\( AP>0 \) より)
（２）より，\( △ABP \) ∽ \( △CQP \) なので，\( AB：CQ=AP：CP \)
\( △ABC \) は \( AC=BC=2 \; cm \) の直角二等辺三角形なので，
\( AB=\sqrt{2}AC=2\sqrt{2} \; (cm) \)
よって，
\( AB：CQ=AP：CP \)
\( 2\sqrt{2}：CQ=\sqrt{5}：1 \)
\( \sqrt{5}CQ=2\sqrt{2} \)
\( CQ=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{10}}{5} \; (cm) \)
